李繼清，孫鳳玲，王 爽，田 雨

（1.華北電力大學水利與水電工程學院，北京 102206；2.水利部節(jié)約用水促進中心，北京 100038；3.中國水利水電科學研究院，北京 100038）

0 引 言

由于徑流的不確定性，預報值與實際值之間往往存在差異，徑流預報誤差不可避免。通過研究徑流預報誤差特性能進一步提高預報精度，為流域水資源優(yōu)化配置提供依據(jù)［1］。對于多支流流域這個巨大的水文系統(tǒng)而言，一方面，非線性的徑流時間序列是流域產(chǎn)生復雜行為的根源［2，3］，這種行為往往也會導致徑流預報誤差具有復雜性；另一方面，徑流受多種因素的影響，本身存在著不確定性，這種不確定性必然會使徑流預報誤差也具有不確定性。因此，研究具有復雜性［2，4］、多重不確定性［5，6］的多支流河流徑流預報誤差往往涉及多變量問題。

目前，多變量水文分析的研究方法主要有正態(tài)變換法、非參數(shù)方法、經(jīng)驗頻率法及多元聯(lián)合分布函數(shù)等。宋松柏等［7］研究了5 種常用3 維非對稱Copulas 函數(shù)在水文干旱特性分析中的應用技術問題；葉磊等［8］采用多變量M-K 檢驗法對長江上游干支流控制站洪水過程和低徑流過程多變量進行趨勢分析。大多數(shù)多變量水文分析研究多采用基于Copula 函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)，而應用混合分布模型研究的較少。事實上，研究水文數(shù)據(jù)的單一分布模型是在假設該數(shù)據(jù)符合某種假定分布的條件下進行的，分布模型單一、有限，往往會出現(xiàn)數(shù)據(jù)與假定分布類型不符的情況?；旌戏植寄Ｐ妥鳛槎鄠€單一分布模型的凸組合，具有形狀靈活、結構簡單、模擬性能好、緩解由分布假設不正確引起的問題等優(yōu)點。張悅［9］采用P-Ⅲ混合分布模型研究了長江口非一致性水文頻率計算，頻率計算結果合理可靠；Jianzhu Li等［10］針對洪水樣本的非平穩(wěn)性與不連續(xù)性，提出了一種改進的混合分布模型，為非平穩(wěn)洪水頻率分析提供了新視角；孫鳳玲［11］等采用k均值聚類法構建了不同預見期的混合tLocation-Scale 分布模型，并將模型應用于雅礱江流域，模擬結果準確可靠?；诖耍瑯嫿ǚ从硰搅黝A報誤差多重不確定性、緩解分布假設不正確問題的多源徑流預報誤差混合分布模型，并將其應用于具有多支流的長江上游流域，選取干流屏山站、朱沱站、寸灘站及清溪場站，支流高場站、北碚站、武隆站共7座代表性水文站Elmm 神經(jīng)網(wǎng)絡（Elman Neural Network，ENN）徑流預報值與實際值，分汛期、非汛期研究各水文站最佳邊緣分布模型，進而基于水文站之間的相關關系，構建了長江上游干流水文站朱沱站、寸灘站及清溪場站的多源徑流預報誤差混合分布模型，并與混合tLocation-Scale 分布模型、常用的算術平均組合模型、簡單加權平均組合模型及方差倒數(shù)組合模型對比分析，驗證模型合理性與可行性。

1 研究區(qū)域概況

長江干流宜昌市以上為長江上游，長4 504 km，占長江全長的70.4%，控制流域面積100 萬km2，主要支流有雅礱江、岷江、沱江、嘉陵江、烏江，是一個具有多支流的復雜流域系統(tǒng)。掌握長江上游徑流預報誤差規(guī)律，對開發(fā)利用長江流域豐富的水資源具有重要意義。本文選取長江上游干支流7座代表性水文站作為研究對象，自上至下有：屏山水文站、高場水文站、朱沱水文站、北碚水文站、寸灘水文站、武隆水文站、清溪場水文站，地理位置［12］見圖1。分別選取7 座水文站2013.08.08-2016.12.31的日徑流預報序列和實際序列，研究長江上游各代表性水文站徑流預報誤差特性。

圖1 長江上游干支流7站的地理位置圖Fig.1 Geographic location map of 7 stations in the upper reaches of the Yangtze River

通過對研究期內的徑流預報誤差進行分析，發(fā)現(xiàn)多源徑流預報誤差混合分布模型具有較好的擬合效果，為進一步驗證多源混合分布模型良好的擬合效果，分別研究徑流量變化大、影響因素多的汛期（5-10月）及徑流量變化相對平緩的非汛期（11月-次年4月）徑流預報誤差特性。

2 多源徑流預報誤差混合分布模型

鑒于多支流徑流預報誤差的復雜性、多重不確定性，構建多源徑流預報誤差混合分布模型。該模型綜合考慮上下游、干支流水文站的徑流預報誤差不確定性，從多源徑流預報誤差、邊緣分布及混合分布模型三方面構建模型，為多支流流域徑流預報誤差研究提供新方法。多源徑流預報誤差混合分布模型框架圖見圖2。

圖2 多源徑流預報誤差混合分布模型框架圖Fig.2 Block diagram of mixed distribution model of multi-source runoff forecast error

2.1 多源徑流預報誤差

對于短期、中長期徑流預報，設xt(i)是預報未來第t(i)時刻（h、日、月、旬）徑流所產(chǎn)生的誤差，采用相對值的形式如式（1）表示（以下簡稱徑流預報誤差）：

對于具有n源匯入特性的河流，第t(i)時的徑流預報誤差序列為X={X1，X2，…，Xn}，各徑流預報誤差序列對應的邊緣分布為F(X1)，F(xiàn)(X2)，…，F(xiàn)(Xn)， 密度函數(shù)為f(x1)，f(x2)，…，f(xn)。其中，Q?t(i)、Qt(i)分別為第t(i)時的徑流預報值和實際值。

2.2 邊緣分布

采用的單一分布模型主要有常用的正態(tài)分布、對稱的Logistic 分布、具有豐富多樣曲線類型的廣義極值分布及tLocation-Scale分布。此處主要介紹tLocation-Scale分布。

t分布（t-distribution），也叫學生t分布，常常用于根據(jù)小樣本來估計呈正態(tài)分布且方差未知的總體的均值。tLocation-Scale 分布是含有位置參數(shù)和尺度參數(shù)的t分布，即若X～tLocation-Scale（μ，σ，v），則tLocation-Scale 分布的概率密度函數(shù)見式（2）。

式中：μ為位置參數(shù)，σ為尺度參數(shù)，v為自由度，位置參數(shù)μ反映tLocation-Scale 分布的位置，其值大于零時對稱軸在x軸的右邊，反之則在左邊，概率密度函數(shù)關于對稱軸左右對稱；σ為尺度參數(shù)，反映數(shù)據(jù)的集中程度，決定圖形的形態(tài)。

相對于P-Ⅲ型分布，tLocation-Scale 分布左右對稱，且能無限延伸，可以降低異常值的影響，從而獲得穩(wěn)定的魯棒性［13］，能較好地反映徑流預報誤差正負相間、左右大致對稱的特性。

2.3 混合分布模型

混合分布模型能夠應用簡單的結構模擬復雜分布，是處理復雜數(shù)據(jù)的一種有效工具。相對于單一分布，混合分布模型不再單一地、片面地假定數(shù)據(jù)符合某種分布類型，極大地緩解了單一分布由于分布假定不正確引起的問題。建立混合分布模型是研究多支流河流徑流預報誤差強而有力的手段，其模型構建主要包括模型建立、模型求解、模型評價三方面。

2.3.1 模型建立

以具有一條支流匯入的河流為例，建立多源徑流預報誤差混合分布模型。對于支流匯入后的干流水文控制站，其徑流預報誤差雙重不確定性主要來源于上游及支流，適宜構建含有上游、支流的多源徑流預報誤差混合分布模型。多源徑流預報誤差混合分布模型的建立主要可分為兩步，一是構建上游干流水文站、支流水文站徑流預報誤差邊緣分布模型，并選取模擬效果較好的單一分布作為最佳邊緣分布模型；二是基于各水文站徑流預報誤差之間的相關關系與邊緣分布，將上游干流、支流的流量占下游干流總流量的比值作為混合分布權重，構建下游干流多源徑流預報誤差混合分布模型，見公式（3）。

式中：wk為第k個水文站的邊緣分布權重系數(shù)；f[xk；μk，σk，νk]為第k個支流水文站邊緣分布的概率密度函數(shù)。

除了構造多源徑流預報誤差混合分布模型外，基于組合理論，利用常用的組合方法包括算術平均法、簡單加權平均法及方差倒數(shù)法對邊緣分布模型的權重進行組合，構造各邊緣分布的混合分布模型，并與基于聚類法的混合tLocation-Scale 分布模型一同作為對比模型。簡單加權平均法［14］通過對邊緣分布模型的誤差平方和從大到小進行排序，假設第i個邊緣分布模型在l個邊緣分布模型排序中處于第j位，則該模型的權重計算公式見式（4）。方差倒數(shù)法通過邊緣分布模型的誤差平方和的大小評價邊緣分布模型的優(yōu)劣，確定模型權重，第i個邊緣分布模型的權重計算公式見式（5）。

式中：Ei為第i個邊緣分布模型的誤差平方和。

2.3.2 模型求解

參數(shù)估計方法主要有矩法、最小二乘法、似然估計法、貝葉斯估計法等。極大似然法是被使用最廣泛的參數(shù)估計方法，具有無偏性、相合性、有效性等性質。該方法是一種實用的參數(shù)估計方法，對于一些密度函數(shù)本身就比較復雜的分布而言，其參數(shù)可能沒有解析解，但是仍然能利用計算機程序語言來獲得參數(shù)的極大似然估計［15］。多源徑流預報誤差混合分布模型參數(shù)估計采用極大似然法，求解步驟主要包括：首先，根據(jù)上游、支流水文站的徑流預報誤差樣本數(shù)據(jù)，以tLocation-Scale 分布為例構造似然函數(shù)見公式（6）；并對似然函數(shù)取對數(shù)，從而進行整理，見公式（7）；然后，對似然函數(shù)進行求導，解似然函數(shù)（8），求出上游、支流水文站邊緣分布中未知參數(shù)的似然估計值；最后，計算上游、支流水文站的流量占下游干流水文站流量的權重作為上游、支流水文站邊緣分布在混合分布模型中的權重，見公式（9），進而求解多源徑流預報誤差混合分布模型。

式中：分別為支流、干流水文站年平均流量，m3/s。

2.3.3 模型評價

徑流預報誤差分布模型的擬合優(yōu)度評價指標采用均方根誤差、判定系數(shù)和平均絕對百分比誤差。均方根誤差εRMSE是反映真實值與擬合值之間偏差的函數(shù)；判定系數(shù)ηCOD表示分布模型對因變量的解釋程度，其值的范圍為0～1。當均方根誤差越小，判定系數(shù)越大時，模型性能越好，其計算公式分別見式（10）、（11）。平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）表示真實值和擬合值絕對誤差與真實值比值的算術平均值［16］，其公式見式（12）。MAPE不受量綱的影響，能夠穩(wěn)定地反應擬合模型的誤差水平，當MAPE值小于10%時，擬合精度為高精度；當MAPE 值介于10%到20%之間時，擬合精度為良好；當MAPE值介于20%到30%之間時，擬合精度為可行；當MAPE值大于30%時，擬合精度為差［17］。

式中：xt(i)分別為t(i)時的徑流預報誤差經(jīng)驗頻率與理論頻率。

3 結果與分析

3.1 長江上游徑流預報誤差邊緣分布

應用公式（1）計算得到長江上游7座水文站汛期、非汛期日徑流預報誤差序列，邊緣分布采用正態(tài)分布、Logistic分布、廣義極值及tLocation-Scale 分布進行構建，利用極大似然法估計各分布模型參數(shù)，繪制各水文站擬合曲線圖。限于文章篇幅，僅展示汛期、非汛期朱沱站、北碚站及清溪場站的擬合曲線圖，見圖3。

圖3 長江上游3站汛期、非汛期日徑流預報誤差邊緣分布擬合曲線圖Fig.3 Fitting curve of edge distribution of daily runoff forecast error in flood season and non-flood season for three stations in the upper reaches of the Yangtze River

由圖3可知，對于長江上游汛期日徑流預報誤差而言，高場站、朱沱站的廣義極值分布、tLocation-Scale 分布模型擬合效果相似，且均優(yōu)于其他邊緣分布，兩站的誤差序列特性表現(xiàn)出相似性；對于屏山站、北碚站、寸灘站、武隆站及清溪場站，tLocation-Scale 分布模型的擬合效果較好，且均優(yōu)于其他分布模型。從圖中也不難發(fā)現(xiàn)，各水文站的日徑流預報誤差均集中在均值附近，表現(xiàn)出尖峰性，尾部較正態(tài)分布厚，具有厚尾性，特別是屏山站、北碚站及武隆站厚尾性較為明顯。非汛期日徑流預報誤差序列擬合特性表現(xiàn)出與汛期相似的特征。

應用公式（10）、（11）及（12）計算各水文站汛期、非汛期邊緣分布模型的均方根誤差、判定系數(shù)及平均絕對百分比誤差，此處展示汛期擬合指標圖，見圖4。由圖4 可知，長江上游7 座水文站汛期日徑流預報誤差序列邊緣分布中，平均絕對百分比誤差除清溪場站的廣義極值分布模型擬合精度為可行外，其余各邊緣分布模型擬合精度為良好及以上；各水文站的tLocation-Scale 分布模型均方根誤差最小，判定系數(shù)也更接近1，擬合效果最好。對于長江上游各代表性水文站非汛期日徑流預報誤差序列，屏山站適宜選取廣義極值分布模型作為最佳邊緣分布，而其余水文站則適宜選取tLocation-Scale 分布模型。由此可見，tLocation-Scale 分布模型在描述長江上游各代表水文站汛期、非汛期日徑流預報誤差特性方面具有明顯優(yōu)勢。

圖4 長江上游水文站汛期日徑流預報誤差邊緣分布擬合指標圖Fig.4 Fit index graph of error margin distribution of daily runoff forecast in flood season at hydrological stations in the upper reaches of the Yangtze River

3.2 長江上游多源徑流預報誤差混合分布模型

變量間的相關性描述方法主要有相關圖、相關系數(shù)及統(tǒng)計顯著性等。常用的相關系數(shù)法主要有Pearson（皮爾遜）相關系數(shù)法、Kendall（肯德爾等級）相關系數(shù)及Spearman（斯皮爾曼等級）相關系數(shù)法等。采用Kendall 相關系數(shù)法計算各水文站的月、日徑流預報誤差序列相關系數(shù)及雙側顯著性檢驗，其計算公式見（13），計算發(fā)現(xiàn)：各干支流水文站汛期、非汛期徑流預報誤差序列之間的相關系數(shù)均為1，說明各變量之間具有較強的相關性；雙側顯著性檢驗結果均為零，說明雙側顯著性水平為0.01時，變量間的相關性顯著。

式中：n為樣本數(shù)目；xi、xj分別為變量X的第i、j個樣本值；yi、yj分別為變量Y的第i、j個樣本值；sgn(·)為符號函數(shù)。

基于干、支流水文站徑流預報誤差之間的相關關系，應用公式（3）構建長江上游干流水文站的多源徑流預報誤差混合分布模型，同時構造算術平均組合模型、簡單加權平均組合模型、方差倒數(shù)組合模型及混合tLocation-Scale 分布模型作為多源徑流預報誤差混合分布模型的對比模型。采用極大似然法估計汛期分布模型參數(shù)（見表1），并繪制水文站各模型分布函數(shù)圖（見圖5）。

表1 朱沱站、寸灘站及清溪場站汛期各分布模型參數(shù)估計值Tab.1 Estimated values of distribution model parameters at Zhutuo Station，Cuntan Station and Qingxi Station

限于文章篇幅，僅展示汛期、非汛期朱沱站、寸灘站的模型分布函數(shù)圖。由圖5可知，對于朱沱站，多源徑流預報誤差混合分布模型在［-40%，-15%］誤差區(qū)間與經(jīng)驗分布函數(shù)存在一定的偏差，但因位于此區(qū)間的誤差數(shù)較少，對擬合結果的影響較小，在其他誤差區(qū)間擬合情況較好；寸灘站、清溪場站的多源徑流預報誤差混合分布模型整體擬合效果較好，混合tLocation-Scale 分布模型偏差較大；從圖中也不難看出，多源徑流預報誤差混合分布模型較其他模型的擬合較好，最佳邊緣分布模型與方差倒數(shù)組合模型擬合效果接近，而混合tLocation-Scale 分布模型擬合效果最差。對于非汛期日徑流預報誤差，各模型擬合效果相似，混合tLocation-Scale分布模型擬合效果較汛期好，需進一步結合擬合指標值進行確定，各模型評價指標值見表2。

表2 長江上游干流水文站汛期、非汛期徑流預報誤差擬合指標值Tab.2 Error fitting index value of runoff forecast in flood season and non-flood season for hydrological stations in the upper reaches of the Yangtze River

圖5 朱沱站、寸灘站站汛期、非汛期各模型擬合分布函數(shù)圖Fig.5 Model fitting distribution function diagram of Zhutuo Station and Cuntan Station in flood season and non-flood season

由表2可知，對于平均絕對百分比誤差而言，無論是汛期還是非汛期，朱沱站、寸灘站及清溪場站的平均絕對百分比誤差最大為24.37%，最小為2.50%，擬合精度為可行及以上，3 座水文站的多源徑流預報誤差混合分布模型的平均絕對百分比誤差均小于10%，為高精度擬合；而對于均方根誤差，3 座水文站汛期多源徑流預報誤差混合分布模型的均方根誤差均小于其他模型，最大值為0.015 0，顯示出較好的擬合效果；對于非汛期，應結合判定系數(shù)指標判斷擬合效果優(yōu)劣。對于判定系數(shù)，朱沱站、寸灘站及清溪場站汛期多源徑流預報誤差混合分布模型較其他分布模型指標值大，最小值為0.999 3，擬合效果較好。對于非汛期日徑流預報誤差序列，朱沱站擬合指標值最優(yōu)的為方差倒數(shù)組合模型，寸灘站及清溪場站為最佳邊緣分布模型。多源徑流預報誤差混合分布模型描述汛期徑流特性顯示出較好的優(yōu)勢，而對于非汛期，徑流變化平緩，最佳邊緣分布具有較好的擬合效果，多源徑流預報誤差混合分布模型次之。

3.3 長江上游多源徑流預報誤差隨機模擬

采用Metropolis Hasting（MH）抽樣法對長江上游朱沱站、寸灘站及清溪場站3座水文站的多源徑流預報誤差混合分布模型隨機模擬3 000 組徑流預報誤差序列，并與實際序列的均值、變差系數(shù)及偏態(tài)系數(shù)進行比較，分析模擬徑流預報誤差序列特性。汛期、非汛期實際和模擬徑流預報誤差序列特征值見表3。由表3 可知，朱沱站、寸灘站及清溪場站3 座水文站汛期、非汛期日徑流預報模擬誤差序列與實際誤差序列均值相對誤差絕對值最小為0.590 8，最大為8.231 7，不超過10%；變差系數(shù)相對誤差絕對值最小為0.146 3，最大為10.817 4，不超過11%；偏態(tài)系數(shù)規(guī)律相似。模擬預報誤差序列可與預報徑流疊加，對預報徑流序列進行修正，進一步提高徑流預報精度。

表3 各時期朱沱站、寸灘站及清溪場站日徑流預報模擬誤差與實際誤差特征值Tab.3 The characteristic values of simulated error and actual error of daily runoff forecast at Zhutuo Station，Cuntan Station and Qing Xichang Station in each period

4 結 論

徑流預報是流域水資源規(guī)劃配置、實施最嚴格水資源管理的主要依據(jù)。研究徑流預報誤差特性可以有效地提高徑流預報精度，為流域水資源管理提供理論依據(jù)?；趖Location-Scale分布模型穩(wěn)定的魯棒性，結合干支流水文站徑流預報誤差序列之間的相關性，構建了多源徑流預報誤差混合分布模型，并將其應用于長江上游流域，主要得結論如下。

（1）長江上游7座代表性水文站汛期、非汛期日徑流預報誤差（除屏山站非汛期外）的最佳邊緣分布模型為tLocation-Scale分布；

（2）朱沱站、寸灘站及清溪場站的汛期多源徑流預報誤差混合分布模型擬合效果明顯優(yōu)于最佳邊緣分布、混合tLocation-Scale 分布模型、算術平均組合模型、簡單加權平均組合模型、方差倒數(shù)組合模型。非汛期多源徑流預報誤差混合分布模型僅次于最佳邊緣分布模型；

（3）多源徑流預報誤差混合分布模型產(chǎn)生的模擬誤差序列與實際誤差序列均值、變差系數(shù)相對誤差不超過11%，偏態(tài)系數(shù)變化規(guī)律相似。多源徑流預報誤差混合分布模型描述徑流預報誤差序列具有可行性和合理性，將模擬的徑流預報誤差序列與預報徑流序列進行疊加處理，對預報徑流進行修正，可得到更加準確的來水信息，還可在本文的研究基礎上增加其他邊緣分布，探索其在徑流預報誤差方面的適用性，針對無資料地區(qū)可結合衛(wèi)星數(shù)據(jù)進行研究，為流域水資源優(yōu)化配置提供堅實的基礎。