張浩

一個向量在另一個向量上的投影是一個很重要的概念。一個向量在另一個向量上的投影是一個實數(shù)，不是一個向量，而這個實數(shù)的值與投影的長度有關，也與投影的方向有關.很多學生無法正確理解“向量上的投影”這個概念，對此，筆者對其進行了進一步的研究.

（1）代數(shù)定義：向量在向量方向上的投影為| | cos < ，? >=| ||0|?cos < ， 0 >=? ?0，其中 0是的單位向量.從投影的表達式 cos< ， >上看，當? ≠ ，≠? 時，式中| |>0，cos < ， >可以是正數(shù)也可以是負數(shù)，也可以是零，所以向量在向量方向上的投影可以是正數(shù)也可以是負數(shù)，也可以是零，即下列2種情況：

①當∈[0， ]時，cos < ， >∈[0，1]， 所以向量在向量方向上的投影為;

②當∈（ ，π]時，cos < ， >∈-1，0，所以向量在向量方向上的投影為;

（2）幾何表示：已知和，向量在向量方向上的投影，可用圖1、2表示.

用一束垂直于向量所在直線的太陽光去照射向量，則在向量所在的直線上留下的向量的影子--線段 MN，線段MN 就是向量在向量方向上的投影，其中點M 是向量的起點在直線上的投影，點N 是向量的終點在直線上的投影.

圖1 中，從 M 到 N 的方向與向量的方向一致，此時投影 MN 表示一個正數(shù).由投影的代數(shù)意義知，投影 MN = cos< ， >，我們將向量向下平移，使其與向量共起點，由銳角三角函數(shù)的定義知cos< ， >就表示線段 MN 的長度，也就是說，若從M 到 N 的方向與的方向一致，則投影MN 所表示的值等于投影 MN 的長度.

圖2 中，從 M 到 N 的方向與向量的方向不一致，則向量在向量方向上的投影 MN 表示一個負數(shù).由于投影 MN = cos< ， >，而此時向量與向量的夾角< ， >是一個鈍角，該夾角的余弦值是負的，即cos < ， ><0，若夾角< ， >的補角為θ（θ為銳角），則 cos < ， >=-cos θ，即投影MN = ?（- cosθ）=-（cos θ）= -MN ，也就是說，若從 M 到 N 的方向與的方向不一致，則投影 MN 的值等于投影 MN 的長度值的相反數(shù).

綜上，可以得到由投影長度求投影值的公式：

這里MN 是指投影 MN 的長度.投影 MN 的值與線段 MN 的長度相等或互為相反數(shù)，而投影 MN 的長度是非負數(shù)，即MN ≥0，所以投影 MN 的長度MN 是投影 MN 的絕對值，則由投影值求投影長度的公式：

例1. ABCD -A′B′C′D′為單位正方體.（1）求向量 C A′在 C D 上的投影;（2）求向量 C A′在 D C 上的投影.

解析：（1）由于 A′D⊥DC，所以向量 C A′在 C D 上的投影是 CD，又從 C 到 D 的方向與 C D相同，所以所求投影 CD 的值就是線段 CD 的長度，即投影為1;

（2）向量 C A′在 C D 上的投影仍然是 CD，但從 C 到 D 的方向與向量 D C 的方向相反，所以所求投影的值是線段 CD 長度值的相反數(shù)，即投影為-1.

解答本題，需根據(jù)投影的長度求投影的值.

例2.如圖3，已知點A 是空間內一點，平面α 經(jīng)過點 P，向量為其法向量，點 A 不在平面 α上，求點 A 到平面α 的距離.

解析：作向量 P A，若 P A 與不共面，可以平移向量，使向量 P A與共面，過 P 作直線 AA′的垂線，垂足為 A′，則 AA′為向量 P A在向量上的投影，點 A到平面α的距離就是線段 AA′的長度.由投影的概念可知，AA′=P A? n0， 因此點 A 到平面α 的距離 d =P A? n0.

根據(jù)投影值與投影的長度之間的關系可知，根據(jù)公式（1）可以由投影的長度求投影值.而在解題時，通常需利用公式（2），由投影值的大小求出投影的長度.

（作者單位：陜西省神木市第七中學）