李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830027)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.時量120分鐘，滿分150分．

第Ⅰ卷

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.設φ∈R，則“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數(shù)”是“φ=π”的( ).

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

A.第一象限 B. 第二象限

C.第三象限 D. 第四象限

3.已知|a|=2|b|≠0，且關于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是( ).

A. 恒大于0 B. 恒小于0

C. 等于0 D. 無法判斷

7.如圖1，在等邊△ABC中，D,E分別是線段AB,AC上異于端點的動點，且BD=CE，現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，當點D從點B滑動到點A的過程中，則下列選項中錯誤的是( ).

A. ∠ADB的大小不會發(fā)生變化

B. 二面角A-BD-C的平面角的大小不會發(fā)生變化

C.BD與平面ABC所成的角變大

D.AB與DE所成的角先變小后變大

圖1

8.設(lnx)2-lnx-2=0的兩根是α，β，則logαβ+logβα=( ).

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選出的得5分，部分選出的得2分，有選錯的得0分)

10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：中位數(shù)為2，極差為5；

乙地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2；

丙地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0；

丁地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3．

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的有( ).

A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地

圖2

B. 若b2=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線

C. 若∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線

D. 若∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線

12.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=5，AD=BC=7，M，N，P，Q分別為棱AB，CD，AD，BC的中點，則( ).

A. 直線MN是線段AB和CD的垂直平分線

B. 四邊形MQNP為正方形

D. 經(jīng)過三棱錐A-BCD各個頂點的球的表面積為55π

第Ⅱ卷

三、填空題(本題共4小題，每小題5分)

13.直線y=x與曲線y=2ln(x+m)相切，則m=____．

14.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，則|a1|+|a2|+…+|a7|=____.

15.在我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中，卷下第二十六題是：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？滿足題意的答案可以用數(shù)列表示，該數(shù)列的通項公式可以表示為an=____.

四、解答題(共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

已知{bn-an}為等差數(shù)列，{bn}的前n項和為Sn，且a1=2，b1=2，b3=14，____，是否存在正整數(shù)k，使得Sk>2021？若存在，求k的最小值；若不存在，說明理由．

19.(本小題滿分12分)如圖3，在棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中點，且∠BCD=120°．

(1)求證：PA⊥CD；

(2)求直線PD與平面CDM所成角的正弦值．

圖3

(1)求橢圓C的方程；

21.(本小題滿分12分)在一個系統(tǒng)中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備).已知某計算機網(wǎng)絡服務器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡就不會斷掉．設三臺設備的可靠度均為r(0

(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求r的最小值；

(2)當r=0.9時，求能正常工作的設備數(shù)X的分布列；

(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當前的計算機網(wǎng)絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗可知，計算機網(wǎng)絡斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟損失．為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟損失，有以下兩種方案：

方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.9，更新設備硬件總費用為8萬元；

方案2：對系統(tǒng)的設備進行維護，使得設備可靠度維持在0.8，設備維護總費用為5萬元．

請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策?

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令F(x)=af(x)-x2，若F(x)<1-2ax在x∈(1,+∞)恒成立，求整數(shù)a的最大值．

參考答案

一、選擇題

1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C

8.D 9.AC 10.AD 11.BCD 12.ACD

二、填空題

三、解答題

因為sinA>0，

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，

由余弦定理，得

由△ABC為銳角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2，

18.選①：由log2an+1=log2an+1，得

log2an+1-log2an=1.

所以{log2an}是首項為log2a1=1，公差為1的等差數(shù)列.

所以log2an=1+(n-1)×1=n，故an=2n．

又b1=2，b3=14，a1=2，a3=8，

所以b1-a1=0，b3-a3=6.

所以等差數(shù)列{bn-an}的公差

所以bn-an=b1-a1+(n-1)d=3(n-1).

所以bn=2n+3(n-1)，

由Sn>2021得n≥10，即存在正整數(shù)k，使得Sk>2021，且k的最小值為10．

選②：由an+1=an+2n,得a2-a1=21，a3-a2=22，a4-a3=23，…,an-an-1=2n-1(n≥2).

又a1=2，所以an=2n(n≥2).

顯然a1=2也滿足an=2n(n≥2)，故an=2n.

以下解法同選①．

(an+1-2an)(an+1+an)=0.

所以{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n.

以下解法同選①．

19.(1)因底面ABCD是菱形，且∠BCD=120°，

所以∠CDA=60°.

連接AC，所以△CDA為等邊三角形．

取CD的中點O，連接AO，PO，則AO⊥CD，PO⊥CD，又AO∩PO=O，AO，PO?平面AOP，

所以CD⊥平面AOP.

又PA?平面AOP，所以CD⊥PA．

(2)因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，OP?平面PCD，OP⊥CD，

所以OP⊥平面ABCD.

又OA?平面ABCD，所以OP⊥OA，

又OA⊥CD，PO⊥CD，

所以OA，OP，CD兩兩垂直.

圖4

設n=(x,y,z)為平面CDM的法向量，則

令y=1，則z=-1，故n=(0,1,-1).

由以上兩式解得a2=4，b2=2.

(2)存在這樣的直線．

設所求直線與橢圓相交兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，

(1+2k2)x2+12kx+14=0.

①

②

△=(12k)2-4×14×(1+2k2)>0，

可得x2=2x1.

③

21.(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,則P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值為0.8.

(2)設X為能正常工作的設備數(shù),由題意可知,X～B(3,r).

所以X的分布列為

X0123P0.0010.0270.2430.729

(3)設方案1，方案2的總損失分別為X1,X2.

采用方案1，更換部分設備的硬件, 使得設備可靠度達到0.9,由(2) 可知計算機網(wǎng)絡斷掉的概率為0.001,不斷掉的概率為0.999,因此E(X1) =80000+0.001×500000=80500(元).

采用方案2, 對系統(tǒng)的設備進行維護, 使得設備可靠度達到0.8,由(1) 可知計算機網(wǎng)絡斷掉的概率為0.008,因此E(X2)=50000+0.008×500000=54000(元).

因此, 從期望損失最小的角度, 決策部門應選擇方案2.

①當a≤0時，由f′(x)>0，

所以?x0∈(3,4)，使得

從而h(x)在(1,x0)單調(diào)遞減，在[x0,+∞)單調(diào)遞增.

所以a

故整數(shù)a的最大值為3．