李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，時(shí)量120分鐘．滿分150分．

第Ⅰ卷

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

2.設(shè)全集U=R，集合A={x|0

圖1

A. {x|x≥1} B. {x|x≤1}

C. {x|0

3.有下列四個(gè)命題：

①?x∈R，2x2-3x+4>0;

②?x∈{1,-1,0}，2x+1>0;

④?x0∈N*，使x0為29的約數(shù).

其中真命題的個(gè)數(shù)為( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)-g(x)=x3-2x2，則f(2)+g(2)=( ).

A. 16 B. -16 C. 8 D. -8

圖2

6.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是( ).

A.每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54

A.39米 B.43米 C.49米 D.53米

圖3

A.ln2-2 B.ln2-1 C.ln3-2 D.ln3-1

12.已知大于1的三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足(lga)2-2lgalgb+lgblgc=0，則a，b，c的大小關(guān)系不可能是( ).

A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)．

14.已知向量a=(-1,2)，b=(m,1)，若向量a+b與a垂直，則m=____．

15.鳳山媽祖不僅是美麗汕尾的景點(diǎn)之一，更是漁民航海的方向標(biāo)．一艘漁船向正北方向航行，在A處看到媽祖在北偏東30°方向．繼續(xù)航行了30海里到達(dá)B處，看到媽祖在北偏東75°方向．問B處與媽祖的距離是____海里．

三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)為研究家庭收入和食品支出的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10個(gè)家庭的樣本，得到數(shù)據(jù)見下表所示．10個(gè)家庭的月收入額與食品支出額數(shù)據(jù)(單位：百元)

家庭12345678910收入x()20303340151326383543支出y()7981154810910

(1)恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重．一個(gè)家庭或個(gè)人收入越少，用于購買生存性的食物的支出在家庭或個(gè)人收入中所占的比重就越大．對(duì)一個(gè)國家而言，一個(gè)國家越窮，每個(gè)國民的平均支出中用來購買食物的費(fèi)用所占比例就越大．恩格爾系數(shù)達(dá)59%以上為貧困，50～59%為溫飽，40～50%為小康，30～40%為富裕，低于30%為最富裕．根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)估計(jì)這個(gè)國家達(dá)到最富裕(恩格爾系數(shù)<30%)的家庭比例；

18.(本小題滿分12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CA1與AB的中點(diǎn)．

(1)證明：EF∥平面BCC1B1；

(2)求B1F與平面AEF所成角的正弦值．

(1)證明：Sn+1=2Sn+λ；

(2)是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(1)求拋物線C的方程；

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+t)+t．

(1)若x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且f(x)-k≥0在定義域內(nèi)恒成立，求k的取值范圍；

(2)當(dāng)t≤2時(shí)，證明：f(x)>t．

請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).

(1)寫出曲線C的參數(shù)方程以及直線l1，l2的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線l1與曲線C分別交于O，A兩點(diǎn)，直線l2與曲線C分別交于O，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．

(1)若a=2，求不等式f(x)≤3的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>4恒成立，求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A

8.D 9.D 10.A 11.D 12.D

二、填空題

三、解答題

17.(1)由題意可知，10個(gè)家庭的恩格爾系數(shù)見下表所示：

家庭 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 恩格爾系數(shù)/%35 3024.24 27.5 33.33 30.77 30.77 26.32 25.71 23.26

≈0.20．

18.如圖4，連接AC1，BC1．

因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以E為AC1的中點(diǎn).

又因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC1．

又EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1,

所以EF∥平面BCC1B1．

(2)以點(diǎn)A1為原點(diǎn)建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz.

圖4

則A(0,0,6)，B1(0,4,0)，E(2,0,3)，F(xiàn)(0,2,6).

記B1F與平面AEF所成角為θ，則

所以Sn+1(Sn+1-2Sn-λ)=0.

因?yàn)閍n>0，所以Sn+1>0.

所以Sn+1-2Sn-λ=0.

所以Sn+1=2Sn+λ.

(2)因?yàn)镾n+1=2Sn+λ，Sn=2Sn-1+λ(n≥2)，

相減，得an+1=2an(n≥2).

所以{an}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列.

因?yàn)镾2=2S1+λ，即a2+a1=2a1+λ.

所以a2=1+λ>0，得λ>-1.

若使{an}是等比數(shù)列，

解得λ=1，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．

故存在λ=1，使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列．

又點(diǎn)Q(x0,4)在拋物線上，所以42=p2,p>0,解得p=4，所以拋物線的方程為y2=8x.

故y1+y2=8m,y1y2=-8n.

解得n=3m-2，所以直線AB的方程為x+2=m(y+3)，恒過定點(diǎn)(-2,-3)．

21.(1)因?yàn)閒(x)=ex-ln(x+t)+t，

因?yàn)閤=0是f(x)的極值點(diǎn)，

解得t=1，經(jīng)檢驗(yàn)t=1符合題意，此時(shí)函數(shù)f(x)=ex-ln(x+1)+1，其定義域?yàn)?-1,+∞).

設(shè)g(x)=ex(x+1)-1，則

g′(x)=ex(x+1)+ex>0，

所以g(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(0)=0，所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0.

即f′(x)>0.

當(dāng)-1

因此f(x)的最小值為f(0)=2.

因?yàn)閒(x)-k≥0在定義域內(nèi)恒成立，

所以k≤f(x)min=2，即k≤2.

(2)要證f(x)=ex-ln(x+t)+t>t，

即證ex-ln>(x+t)>0.

設(shè)F(x)=ex-ln(x+t)，即證F(x)>0.

當(dāng)t≤2，x∈(-t,+∞)時(shí)，ln(x+t)≤ln(x+2)，

故只需證明當(dāng)t=2時(shí)，F(xiàn)(x)>0.

故F′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0∈(-1,0).

當(dāng)x∈(-2,x0)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)∈(x0,+∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，

從而當(dāng)x=x0時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值.

綜上，當(dāng)t≤2時(shí)，F(xiàn)(x)>0，即f(x)>t．

22.(1)依題意，曲線C：(x-3)2+(y-4)2=25.