廖永福

(福建省廈門(mén)第二中學(xué) 361009)

復(fù)數(shù)的考查主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的幾何意義等.其中復(fù)數(shù)的運(yùn)算是考查的重中之重，其它方面的考查大多圍繞復(fù)數(shù)的運(yùn)算展開(kāi).

1 復(fù)數(shù)的運(yùn)算

復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要是指加、減、乘、除和乘方運(yùn)算，是高考的高頻考點(diǎn)，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵.

例1 (2018年全國(guó)Ⅲ卷理2)(1+i)(2-i)=( ).

A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i

分析根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算．

解析(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.

故選D.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．

A．1 B．-1 C．i D．-i

分析可用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解，也可用虛數(shù)單位的性質(zhì)求解，還可用驗(yàn)證法求解.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題. 解法1是常規(guī)方法；解法2根據(jù)算式的特點(diǎn)，利用-1=i2另辟蹊徑，巧妙作答；解法3根據(jù)單選題的特點(diǎn)，用驗(yàn)證法直接找出正確選項(xiàng).

例3 (2020年全國(guó)Ⅱ卷文2)(1-i)4=( ).

A．-4 B．4 C．-4i D．4i

分析根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和完全平方公式進(jìn)行求解即可.

解析(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.故選A.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例4 (2021年全國(guó)甲卷理3)已知(1-i)2z=3+2i，則z=( ).

分析可用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解，也可用復(fù)數(shù)相等的定義求解，還可用驗(yàn)證法求解.

解法2 設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則

(1-i)2(a+bi)=3+2i.

即2b-2ai=3+2i.

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得2b=3且-2a=2，

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.解法1是常規(guī)解法；解法2設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求解；解法3根據(jù)單選題的特點(diǎn)，用驗(yàn)證法直接找出正確選項(xiàng).

練習(xí)1 (2020年全國(guó)新高考Ⅱ卷2)(1+2i)·(2+i)=( ).

A．4+5i B．5i C．-5i D．2+3i

練習(xí)3(2021年全國(guó)乙卷文2)設(shè)iz=4+3i，則z=( ).

A．-3-4iB．-3+4i C．3-4i D．3+4i

2 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念包括復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的相等、實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)等，這些概念一般都和復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合起來(lái)考查，準(zhǔn)確理解概念是解題的關(guān)鍵.

分析利用復(fù)數(shù)的除法法則求出z即可.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)虛部的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

例6 (2020年全國(guó)Ⅰ卷文2)若z=1+2i+i3，則|z|=( ).

分析先根據(jù)i2=-1將z化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求解．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．

A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i

分析利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．

a-i=(2+i)x=2x+xi.

又因?yàn)閍∈R，所以a=2x且x=-1，所以a=-2.

例9 (2017年浙江卷12)已知a,b∈R，(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位)則a2+b2=____，ab=____．

分析先利用乘法公式展開(kāi)(a+bi)2，再利用復(fù)數(shù)相等的定義求出a2,b2的值.

解析(a+bi)2=a2-b2+2abi.

解得a2=4,b2=1.所以a2+b2=5,ab=2．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．

A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i

3 復(fù)數(shù)的性質(zhì)

復(fù)數(shù)有許多特殊的性質(zhì)，如模的性質(zhì)和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等，熟記這些性質(zhì)，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，提高解題效率.

3.1 模的性質(zhì)

(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；

(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|；

(4)|zn|=|z|n(n∈N*).

例10 (2020年全國(guó)Ⅰ卷理1)若z=1+i，則|z2-2z|=( ).

分析注意到z2-2z=z(z-2)，可用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(2)求解.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)模的定義及其性質(zhì)(2)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

分析利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(3)求解.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)模的定義及其性質(zhì)(3)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

分析利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(4)求解.

所以|z2|=|-3|，即|z|2=3.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)模的定義及其性質(zhì)(4)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)6(2018年上海卷9)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+i)z=1-7i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=____．

3.2 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)

分析利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(5)求解.

故選D.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(5)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i

①

②

由①×5+②，得24z=24+24i，

所以z=1+i.故選C.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)和(2)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i

A．1-i B．1+i C．-i D．i

4 復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的，即

因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，使問(wèn)題的解決更加直觀明了.

例15 (2019年全國(guó)Ⅰ卷理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

分析由復(fù)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出z的表達(dá)式，再由|z-i|=1求解．

解析由題意，得z=x+yi.

因?yàn)閨z-i|=1，所以|x+yi-1|=1.

所以x2+(y-1)2=1．

故選C．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

分析先求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)幾何意義得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第幾象限.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于基礎(chǔ)題.

分析根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義畫(huà)出圖形，找到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量z1-z2，求出模即可.

圖1

所以O(shè)Z1=Z1P=OP=2.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于中檔題.

練習(xí)10(2020年北京卷2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i·z=( )．

A．1+2i B．-2+i C．1-2i D．-2-i

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

練習(xí)答案

1.B 2.D 3.C 4.D 5.C 6.5；