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        運(yùn)用剛體的不形變特性 求解相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題

        2022-05-23 01:35:22王偉民
        數(shù)理化解題研究 2022年13期
        關(guān)鍵詞:剛體中點(diǎn)墻面

        王偉民

        (安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 236652)

        例題1如圖1所示,細(xì)棒AB水平放置在地面,A端緊挨著墻面,C為AB棒的中點(diǎn).現(xiàn)讓棒的A端沿著墻面勻速上移,當(dāng)B端與C點(diǎn)的速度大小相等時(shí),AB棒與水平地面的夾角為( ).

        A.30° B.45° C.60 D.90°

        圖1 圖2

        分析在細(xì)棒AB按題目所給條件運(yùn)動(dòng)過程中,棒的兩端點(diǎn)分別在豎直墻面和水平地面上運(yùn)動(dòng),細(xì)棒與墻面和地面始終圍成一個(gè)直角三角形,因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹芯€等于斜邊的一半,所以,棒AB的中點(diǎn)C到直角頂點(diǎn)O的距離始終等于AB長度的一半,因此,在棒AB的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心,棒長一半為半徑的四分之一圓弧.我們用多種方法對(duì)該問題進(jìn)行解析——

        解法1——微元法

        解析如圖2所示,設(shè)棒長AB=L,在棒運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻,棒AB與水平地面的夾角∠ABO=θ,此后在時(shí)間元內(nèi),A端運(yùn)動(dòng)一段微元dL到E,與此同時(shí),B端在水平地面運(yùn)動(dòng)到D,棒的中點(diǎn)C沿弧線運(yùn)動(dòng)到H.

        先確定端點(diǎn)B速度的大小.

        =dLtanθ

        ∴vB=vtanθ

        再確定AB中點(diǎn)C的速度大小.

        圖2中,分別過E和B作EF∥OB,BF∥DE,兩線相交于F,則四邊形EFBD為平行四邊形,∴BF=DE,∵DE=AB=L,∴BF=DE=L.

        設(shè)∠HOC=dθ,則∠ABF=∠AGE=∠HDO-∠HBO=∠HOB-∠COB=dθ,

        ∴△OCH∽△BAF(同為等腰三角形),

        故,本題的正確選項(xiàng)是A.

        解法2——確定瞬心法

        剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題中,在剛體上取任意兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)分別作這兩點(diǎn)在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向的垂線,兩垂線的交點(diǎn)便是該時(shí)刻剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的速度瞬心.

        解析如圖3所示,設(shè)棒AB在運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻,它與水平地面的夾角為θ,分別過A、B作AD⊥OA,BD⊥OB,兩線交于點(diǎn)D,則D為該時(shí)刻棒AB的瞬心,易知四邊形ADBO是矩形,其對(duì)角線的交點(diǎn)便是AB的中點(diǎn)C,當(dāng)B、C兩點(diǎn)的速度相等時(shí),有DC=DB

        ∴∠DBC=60°,∴θ=30°

        圖3 圖4

        解法3——根據(jù)“剛體上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)所確定直線方向上的分量相等”進(jìn)行求解

        由于剛體不形變,所以,剛體在運(yùn)動(dòng)過程中(包含平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)),剛體上任何兩點(diǎn)之間的距離保持不變,因此,剛體上任意兩點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度在這兩點(diǎn)確定直線方向上的分量始終保持相等.

        ∵OC=CA=CB

        ∴∠COB=∠CBO=θ

        ∴∠2=∠3

        ∵∠2=∠1

        ∴∠1=∠2=∠3=60°

        ∴θ=30°

        比較三種解法可以發(fā)現(xiàn),后面的兩種解法比較簡潔.我們不妨利用第三種方法對(duì)例題1的一個(gè)變式進(jìn)行求解.

        例題2 如圖5所示,細(xì)棒AB水平放置在地面,A端緊挨著墻面,C為AB棒的中點(diǎn).現(xiàn)讓棒的A端沿著墻面勻速上移,當(dāng)C點(diǎn)速度大小是B端速度大小的n倍時(shí),AB棒與水平地面的夾角是多大?(結(jié)果可以用反三角函數(shù)表示)

        圖5

        解析由上面解法三的分析可知,在圖5中α+β=90°,α=2θ.因?yàn)関B和vC在AB方向上的分量相等,所以有:

        vBcosθ=vCcosβ

        ∵vC=nvB

        ∴cosθ=ncosβ

        ∴cosθ=nsinα

        ∴cosθ=nsin2θ

        ∴cosθ=2nsinθcosθ

        實(shí)際上,例題1給出的問題只是例題2問題的一個(gè)特例,因此,例題2對(duì)應(yīng)的問題是例題1對(duì)應(yīng)問題的更具一般性的推廣.

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