陳澤安 闕志武

（1.河北省霸州市第四中學(xué)，河北 霸州 065700；2.江西省南城一中，江西 撫州 344700）

題目.如圖1所示，在光滑的水平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑細(xì)桿AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別約束在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)讓A沿x軸正方向以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)，已知P點(diǎn)為桿的中點(diǎn)，當(dāng)桿AB與x軸的夾角為β時(shí)，關(guān)于P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度大小v表達(dá)式正確的是

圖1

（A）P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓的一部分.

（B）P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓的一部分.

（C）P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度大小v=v0tanβ.

答案：（A）、（D）.

對(duì)選項(xiàng)（D），我們先從高中階段求解，再?gòu)摹皠傮w的平面運(yùn)動(dòng)是隨基點(diǎn)的平動(dòng)及繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種基本運(yùn)動(dòng)所合成”這一角度，選取不同的基點(diǎn)求解，并可求出桿的角速度，驗(yàn)證“角速度與所選基點(diǎn)無(wú)關(guān)”的規(guī)律.

1 高中階段解法

圖2

2 選取基點(diǎn)解法

2.1 選A為基點(diǎn)

2.2 選C為基點(diǎn)

作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（薄片）的角速度不為0時(shí)，在任一時(shí)刻薄片上恒有一點(diǎn)的速度為0（但是加速度不為0），這點(diǎn)叫做轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心.利用這一事實(shí)，只要知道薄片上任何兩點(diǎn)的速度方向，我們就可以利用幾何法求出轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的位置.如圖3所示，通過(guò)點(diǎn)A、B分別作A、B兩點(diǎn)速度方向的垂線，交點(diǎn)即轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心C.

圖3

2.3 選D為基點(diǎn)

在AB桿上尋找一點(diǎn)D，該點(diǎn)滿足速度方向沿桿，垂直桿方向投影為0.如圖4所示，令DA=x.沿桿方向v0cosβ=vBsinβ.

圖4

垂直桿方向

聯(lián)立解得

所以P點(diǎn)對(duì)地速度為

桿的角速度為

需要注意的是

（2）上述尋找D點(diǎn)過(guò)程繁瑣，我們還可以通過(guò)作圖法尋找D點(diǎn)，并簡(jiǎn)明計(jì)算DA長(zhǎng)度.如圖4所示，通過(guò)瞬心C作AB桿的垂線段，垂足為D，D點(diǎn)就是要尋找的轉(zhuǎn)動(dòng)中心D.因?yàn)镈點(diǎn)只有沿桿速度，C為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，而線速度與半徑垂直，所以CD垂直桿AB也垂直D點(diǎn)速度.由幾何關(guān)系可得，AC=L sinβ，DA=AC·sinβ=L（sinβ）2.

3 解讀及驗(yàn)證

3.1 解讀

上述解法各有特點(diǎn)：高中階段的解法1，通過(guò)正交分解，結(jié)合幾何關(guān)系，得到速度分量，對(duì)于非中點(diǎn)也方便求解；解法2可得P點(diǎn)軌跡方程，但是P點(diǎn)非桿中點(diǎn)時(shí)，軌跡為橢圓，速度與桿的夾角求解相對(duì)繁瑣；選A為基點(diǎn)可能適用于一部分高中生，能力要求較高；選C為基點(diǎn)中的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心屬于大學(xué)知識(shí)，教師可以作為參考理解，該方法計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單；選D為基點(diǎn)，能夠使我們認(rèn)清A、B兩點(diǎn)速度的垂直桿分量是繞哪點(diǎn)而轉(zhuǎn)，即轉(zhuǎn)動(dòng)中心D點(diǎn).綜合以上求解，我們對(duì)桿的平面運(yùn)動(dòng)有了更全面、更清晰的認(rèn)識(shí).

3.2 驗(yàn)證

我們知道，角速度是描寫整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)量，故與所選的基點(diǎn)無(wú)關(guān)，［1］具體證明可參考文獻(xiàn)，［2］下面給出說(shuō)明.

圖5為一位置狀態(tài)，圖6為二位置狀態(tài)，從一位置到二位置可以認(rèn)為是隨基點(diǎn)A的平動(dòng)和繞A的轉(zhuǎn)動(dòng)，也可以認(rèn)為是隨基點(diǎn)B的平動(dòng)和繞B的轉(zhuǎn)動(dòng).由圖7可知，繞A和繞B的轉(zhuǎn)動(dòng)角度相等，角速度與所選基點(diǎn)無(wú)關(guān).

圖5

圖6

圖7