沈宇桐，徐 勇

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300401)

0 引言

1969年，美國(guó)學(xué)者Kauffman提出一種用于刻畫細(xì)胞與基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的模型—布爾網(wǎng)絡(luò)(Boolean Networks，BNs)[1]。在該模型中，每個(gè)基因被抽象為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，其狀態(tài)表達(dá)可量化為0(不活躍)或1(活躍)，每個(gè)基因在t+1時(shí)刻的狀態(tài)根據(jù)t時(shí)刻與其相鄰基因的邏輯關(guān)系進(jìn)行更新，因此在對(duì)所有基因的初始狀態(tài)進(jìn)行賦值后，相應(yīng)的基因動(dòng)態(tài)行為就能被確定。實(shí)際上BNs作為一種物理網(wǎng)絡(luò)模型，可用一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖進(jìn)行描述，圖1為3個(gè)節(jié)點(diǎn)的BNs結(jié)構(gòu)圖。與其他網(wǎng)絡(luò)相比，BNs結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是最基礎(chǔ)的2值邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，具有不動(dòng)點(diǎn)、極限環(huán)等重要的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此它的大部分結(jié)果可以推廣到多值邏輯網(wǎng)絡(luò)、混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。BNs在物理系統(tǒng)、生化系統(tǒng)及系統(tǒng)科學(xué)等實(shí)際系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。例如：Albert等人[2]通過(guò)計(jì)算BNs的周期得到大型交互系統(tǒng)的一般路線圖；Heidel等人[3]將確定BNs循環(huán)結(jié)構(gòu)的方法應(yīng)用到生化系統(tǒng)，驗(yàn)證了生化信號(hào)傳導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可能存在混亂的猜想；Kauffman等人[4]利用隨機(jī)布爾網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性證明了細(xì)胞的活態(tài)隨著進(jìn)化而變得更加穩(wěn)定。

圖1 布爾網(wǎng)絡(luò) Fig.1 Boolean networks

為了進(jìn)一步研究BNs，將帶有外部輸入的BNs描述為布爾控制網(wǎng)絡(luò)(Boolean Control Networks，BCNs)[5]。由于遺傳網(wǎng)絡(luò)具有邏輯性，且早期缺乏處理邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的適當(dāng)工具，學(xué)者們對(duì)BCNs的研究成果有限。最近，程代展教授[6]提出一種新型代數(shù)工具——矩陣的半張量積(Semi-Tensor Product of Matrices，STP)。應(yīng)用STP理論將布爾系統(tǒng)表示為離散的線性系統(tǒng)，解決了BNs中許多具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，如穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定性[7-8]、能控性與可觀測(cè)性[9-10]、同步性[11-12]、最優(yōu)控制與干擾解耦[13-14]及BNs的輸出追蹤與重構(gòu)問(wèn)題[15-17]。應(yīng)用STP理論對(duì)BCNs相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行研究已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)課題。

在許多情況下，控制系統(tǒng)需要從輸出數(shù)據(jù)中獲取輸入信息，因此分析系統(tǒng)的可觀測(cè)性尤為重要。近年來(lái)，BNs可觀測(cè)性的研究不僅為復(fù)雜系統(tǒng)的建模提供了新觀點(diǎn)，也提供了一種利用外部輸入操縱生物系統(tǒng)的方法。目前對(duì)BCNs可觀測(cè)性的研究也越來(lái)越深入，文獻(xiàn)[18]研究了布爾多層控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測(cè)性并驗(yàn)證特殊層中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的可觀測(cè)條件；基于文獻(xiàn)[18]，文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步研究概率布爾多層網(wǎng)絡(luò)的可觀測(cè)性條件，并將其結(jié)果應(yīng)用于癌細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)測(cè)；文獻(xiàn)[20]提出利用布爾網(wǎng)絡(luò)可達(dá)性驗(yàn)證系統(tǒng)可觀測(cè)的方法；文獻(xiàn)[21]進(jìn)一步將布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集可控性問(wèn)題，得到系統(tǒng)可觀測(cè)性與重構(gòu)性的相應(yīng)結(jié)論。

可觀測(cè)性在網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域更是發(fā)揮著重要作用，被用來(lái)研究網(wǎng)絡(luò)攻擊和檢測(cè)問(wèn)題[22-25]。網(wǎng)絡(luò)攻擊作為外界的未知輸入會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響，為了更好檢測(cè)系統(tǒng)的抗攻擊能力，系統(tǒng)開發(fā)者需要觀測(cè)未知輸入存在時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)[26]。近年來(lái),學(xué)者們研究的多為輸出從單個(gè)信道接收系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)據(jù)的BNs，文獻(xiàn)[27]受文獻(xiàn)[28]的啟發(fā)，提出了依一定概率將狀態(tài)數(shù)據(jù)運(yùn)輸?shù)侥硞€(gè)可被觀測(cè)的輸出信道的網(wǎng)絡(luò)。

本文在文獻(xiàn)[27]的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，首次提出帶多個(gè)信道的BCNs模型，并給出模型可觀測(cè)的條件與反饋控制器的設(shè)計(jì)算法。從網(wǎng)絡(luò)安全角度，在攻擊者決定攻擊某個(gè)信道時(shí)，輸入狀態(tài)可能已從其他信道完成傳輸，使得攻擊無(wú)效，大幅度提高了網(wǎng)絡(luò)安全級(jí)別。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹STP理論的相關(guān)符號(hào)、重要定義及引理。

定義2[6]給定A∈Mp×m，B∈Mq×m，矩陣A與B的Khatri-Rao積記作A*B，定義

A*B=[Col1(A)?Col1(B),…,Colr(A)?Colr(B)]∈Mpq×m

引理1[6]設(shè)f(x1,x2,…,xn)為一個(gè)邏輯函數(shù)，在向量形式下f:Dn→D存在唯一的邏輯矩陣Mf∈L2×2n，稱為f的結(jié)構(gòu)矩陣，使得

2 主要內(nèi)容

2.1 帶多個(gè)信道的布爾控制網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)表示

考慮BCNs：

(1)

xi(t+1)=Miu(t)x(t),i=1,2,…,n

(2)

對(duì)式(2)作Khatri-Rao積，得

x(t+1)=Lu(t)x(t)

(3)

其中，L=M1*M2*…*Mn,L∈L2n×2m+n。

yi(t)=gi(x1(t),x2(t),…,xn(t)),i=1,2,…,p

系統(tǒng)式(1)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示，令E為所有可能輸出的模態(tài)標(biāo)識(shí)矩陣

圖2 帶多個(gè)信道的布爾控制網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Boolean control networks with multiple channels

對(duì)上式作Khatri-Rao積，

y(t)=Hix(t)

BCNs依一定概率在多個(gè)信道上進(jìn)行選擇性輸出，采取期望表示

[y(t)]=H[x(t)]

(4)

2.2 帶多個(gè)信道的布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測(cè)性

(5)

則帶多個(gè)信道的BCNs式(3)和(4)是可觀測(cè)的。

根據(jù)文獻(xiàn)[27]中BNs的可觀測(cè)性，本文給出帶多個(gè)信道的BCNs可觀測(cè)性定義，且與文獻(xiàn)[18]中BCNs可觀測(cè)性的定義不同。

基于帶多個(gè)信道的BCNs式(3)和(4)的代數(shù)表示與可觀測(cè)性定義3，給出該模型可觀測(cè)的充要條件。

Colα(?s0)≠Colβ(?s0),α≠β

其中

?

[y(s0)]=HL(I2m?L(I2m?L(…(I2m?L(I2m?L)…)))))u(s0-1)u(s0-2)…u(0)x(0)

即

(6)

因?yàn)橄到y(tǒng)式(3)和(4)是可觀測(cè)的，由定義3可知，線性方程式(6)關(guān)于未知向量x(0)的解是一一對(duì)應(yīng)的，因此可得到Colα(?s0)≠Colβ(?s0),α≠β。

(7)

由式(7)可得

(8)

若式(8)不成立，即存在有限時(shí)間s′0∈{1,2,…,s0}，使得則在有限時(shí)間s′0下，存在α0≠β0，使得??因此線性方程式(6)關(guān)于未知向量x(0)的解不是一一對(duì)應(yīng)的，矛盾。

證明成立。

2.3 基于狀態(tài)反饋控制的可觀測(cè)性研究

考慮狀態(tài)反饋控制

(9)

u(t)=Kx(t)

(10)

其中，K=K1*K2*…*Kn,K∈L2m×2n。

根據(jù)自由控制序列下系統(tǒng)式(3)和(4)的可觀測(cè)性條件，結(jié)合文獻(xiàn)[6]中的降階矩陣Φn，即對(duì)于任意x∈Δ2n有x2=Φnx，給出系統(tǒng)式(3)和(4)在狀態(tài)反饋控制下可觀測(cè)的判定定理。

Colα(θs0)≠Colβ(θs0),α≠β

其中

證明：根據(jù)式(3)和(4)和式(10)，可得

?

[y(s0)]=Hx(s0)=Hx(0)

即

(11)

由定義3和式(11)可知：在狀態(tài)反饋控制式(10)下，系統(tǒng)初始狀態(tài)可以由輸出序列唯一確定，類似于定理1的證明，線性方程式(11)有唯一的解當(dāng)且僅當(dāng)矩陣θs0的每一列均不相等，即對(duì)于給定的狀態(tài)反饋控制式(10)，初始狀態(tài)x(0)可由輸出唯一確定，即

證明成立。

結(jié)合文獻(xiàn)[27]中的定義3，本文給出帶多個(gè)信道的BCNs式(3)和式(4)的輸入狀態(tài)x(0)由輸出序列{y(0),y(1),…,y(s0)}可觀測(cè)時(shí)，狀態(tài)反饋控制的結(jié)構(gòu)矩陣K的一種計(jì)算方法。

算法1

圖3 算法1的流程圖Fig.3 Flowchart of Algorithm 1

且滿足

該算法的計(jì)算復(fù)雜度較高，僅適用于設(shè)計(jì)較小s0下狀態(tài)反饋控制的結(jié)構(gòu)矩陣K。

3 算例分析

給出以下兩個(gè)例子驗(yàn)證本文結(jié)果的有效性。

例1考慮式(12)BCNs

(12)

輸出網(wǎng)絡(luò)為

(13)

假設(shè)y1(t)有2個(gè)信道，y2(t)有3個(gè)信道，即

(14)

x(t+1)=Lu(t)x(t)

(15)

[y(t)]=H[x(t)]

(16)

采取狀態(tài)反饋控制

(17)

將式(10)代入式(15)得x(t+1)=LKΦnx(t)，其中K=δ4[3,2,2,2]，Φn=δ16[1,6,11,16]。經(jīng)計(jì)算：

例2考慮如式(18)的BCNs

(18)

輸出網(wǎng)絡(luò)為

(19)

假設(shè)y1(t)有2個(gè)信道，y2(t)有3個(gè)信道，即

(20)

經(jīng)計(jì)算：H1=δ4[2,2,2,3]，H2=δ4[2,2,1,3]，H3=δ4[2,1,2,3]，H4=δ4[2,4,4,3]，H5=δ4[2,4,3,3]，H6=δ4[2,3,4,3]，L=δ4[4,2,3,3,3,1,4,4,4,2,3,3,1,3,2,2]。

應(yīng)用算法1，構(gòu)造狀態(tài)反饋控制的結(jié)構(gòu)矩陣K,使系統(tǒng)式(18)和式(19)的初始狀態(tài)x(0)由輸出序列{y(0),y(1)}可觀測(cè)。

步驟1：當(dāng)s0=0時(shí)，經(jīng)計(jì)算

4 結(jié)論

本文提出帶多個(gè)信道的BCNs模型，主要研究經(jīng)多個(gè)信道選擇性輸出后，BCNs的可觀測(cè)性問(wèn)題?；诰仃嚨陌霃埩糠e理論，給出帶多個(gè)信道的BCNs的代數(shù)表達(dá)，借助于該代數(shù)表示及可觀測(cè)性定義，得到自由控制序列與狀態(tài)反饋控制下，BCNs可觀測(cè)的充分必要條件。最后，給出一種算法構(gòu)造反饋控制矩陣，使得帶多個(gè)信道的BCNs是可觀測(cè)的。