梁 璞, 范紅旗, 付 強(qiáng)

(1. 國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院ATR重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖南 長(zhǎng)沙 410073;2. 中國(guó)人民解放軍96747部隊(duì), 青海 西寧 810007)

0 引 言

信號(hào)檢測(cè)是統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理研究的核心內(nèi)容之一,廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、圖像等領(lǐng)域。在雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域,當(dāng)內(nèi)部噪聲及外部雜波平穩(wěn)且統(tǒng)計(jì)特性完全已知時(shí),可根據(jù)紐曼皮爾遜(Neyman-Pearson,NP)準(zhǔn)則確定檢測(cè)器門(mén)限。但實(shí)際中,雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)中經(jīng)常面臨動(dòng)態(tài)起伏的非平穩(wěn)噪聲或雜波,且其統(tǒng)計(jì)特性通常是先驗(yàn)未知的。針對(duì)起伏變化的未知噪聲及雜波下的檢測(cè)問(wèn)題,雷達(dá)領(lǐng)域廣泛采用恒虛警率(constant false alarm rate, CFAR)檢測(cè)器,基于幅度或功率檢波,通過(guò)對(duì)參考單元的動(dòng)態(tài)估計(jì)給出自適應(yīng)變化的門(mén)限,從而實(shí)現(xiàn)恒定虛警檢測(cè)。比較常用的恒虛警檢測(cè)策略包括:單元平均恒虛警(cell averaging-CFAR, CA-CFAR)、選大恒虛警(greatest of-CFAR, GO-CFAR)、選小恒虛警(smallest of-CFAR, SO-CFAR)、有序統(tǒng)計(jì)恒虛警(order statistics-CFAR, OS-CFAR),其區(qū)別在于參考單元的選擇及噪聲、雜波電平的估計(jì)方法。

但傳統(tǒng)CFAR檢測(cè)器在應(yīng)用中存在兩個(gè)固有的缺陷:① 因非理想的背景電平估計(jì)而引入的恒虛警損失;② 因包絡(luò)/功率檢波器的線性或平方放大效應(yīng)而導(dǎo)致的大動(dòng)態(tài)信號(hào)和雜波干擾適應(yīng)能力較差,例如當(dāng)參考單元內(nèi)存在強(qiáng)干擾信號(hào)(大目標(biāo)、干擾)或雜波分布不均勻時(shí),恒虛警檢測(cè)性能急劇下降。GO-CFAR、SO-CFAR、OS-CFAR雖然可在一定程度上改善檢測(cè)器的適應(yīng)能力,但額外附加的邏輯和非線性排序等算法增加了計(jì)算的復(fù)雜性和設(shè)計(jì)要求,且無(wú)法避免恒虛警損失。

幾何代數(shù)(geometric algebra, GA)是統(tǒng)一代數(shù)與幾何的一種數(shù)學(xué)工具,給矢量的代數(shù)操作賦予了豐富的幾何意義。利用GA工具重新審視矢量的代數(shù)操作,有利于從幾何直觀上構(gòu)造新的信息處理算子和檢測(cè)問(wèn)題的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,近年來(lái)逐漸應(yīng)用于信號(hào)處理、雷達(dá)、圖像處理和機(jī)器人等領(lǐng)域。在信號(hào)檢測(cè)方面,Sangston在最近的一篇綜述性論文中基于2-Blade的概念,給出了離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)的幾何解釋,并定性討論了其用于信號(hào)檢測(cè)的可能性和優(yōu)勢(shì),但并未結(jié)合具體的雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題探討檢測(cè)器的設(shè)計(jì)與性能分析。

本文針對(duì)多普勒雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)應(yīng)用,提出并推導(dǎo)了內(nèi)積與GA之間的關(guān)系,基于此重新理解檢測(cè)器的輸入信號(hào),并依據(jù)幾何意義構(gòu)造不同于幅度和功率檢波的幾何檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)而設(shè)計(jì)新的檢測(cè)器(本文稱(chēng)之為幾何檢測(cè)器);最后,通過(guò)在不同條件下與傳統(tǒng)CFAR檢測(cè)器的性能對(duì)比來(lái)說(shuō)明幾何檢測(cè)器的適用性及其優(yōu)勢(shì)。

1 幾何代數(shù)基礎(chǔ)

1.1 GA中外積、幾何積的定義

考慮中的兩個(gè)非零且不相關(guān)的矢量、,令{,}為這兩個(gè)矢量所在超平面內(nèi)的一組正交基,則、可表示為=a+b,=c+d。通常,矢量的內(nèi)積可定義為

·=+=||||cos

(1)

式中: 是與的夾角;||與||是與的模值。

同時(shí),引入外積的定義:

∧=(-)∧=||||sin ∧

(2)

式中:外積的大小為||||sin ,方向由旋向,如圖1所示。

圖1 u與v的外積

外積生成的是一個(gè)既不同于標(biāo)量又不同于矢量的新數(shù)學(xué)實(shí)體,對(duì)比叉積,后者只定義在三維空間,而外積可擴(kuò)展到更高維空間。兩個(gè)不相關(guān)矢量的外積稱(chēng)為2-矢量或2-Blade,表示有方向的面,即中的超平面,改變兩矢量的先后順序,所得有向平面的方向也隨之變化。同理,也可定義3個(gè)甚至多個(gè)不相關(guān)矢量的外積,稱(chēng)作-矢量或-Blade,例如3-Blade表示中的一個(gè)有向體。

在GA中,用零矢量(標(biāo)量)、矢量、2-矢量和3-矢量分別表示點(diǎn)、有向線段、平面和空間體。當(dāng)維數(shù)大于 3 時(shí),表示-矢量。因此,GA空間內(nèi)的元素可表示為

(3)

式中：〈〉表示中的-矢量;稱(chēng)為多重矢量(Multivector)。

Clifford將內(nèi)積與外積結(jié)合起來(lái),形成幾何積,記為:

=·+∧

(4)

兩個(gè)矢量的幾何積是一個(gè)標(biāo)量與一個(gè)2-矢量的組合。這里可從“復(fù)數(shù)拓展”的角度來(lái)看待幾何積,正如一個(gè)實(shí)數(shù)和一個(gè)純虛數(shù)的和組成了一個(gè)復(fù)數(shù)一樣,幾何積的表示方法和復(fù)數(shù)的表示十分相似,在接下來(lái)利用GA處理旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí),可更直觀地看出這一點(diǎn)。這一表述方式,使得GA拓展了復(fù)數(shù)的概念。

一般對(duì)于中的一組單位正交基{}(=1,2,…,),易得幾何積有下述運(yùn)算性質(zhì):

(5)

令=∧,由式(5)可得,通過(guò)右乘使矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°,通過(guò)左乘使矢量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°,而自乘相當(dāng)于將標(biāo)量1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了180°。不難看出,和復(fù)數(shù)中的非常相似:它也具有自乘為-1,并且在復(fù)平面上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的幾何意義。進(jìn)一步地,可將一個(gè)標(biāo)量和雙矢量通過(guò)幾何積銜接起來(lái),構(gòu)成一個(gè)可視為復(fù)數(shù)的多重矢量:

=+=+=||ei

(6)

式中：和是實(shí)數(shù);是從標(biāo)量1旋轉(zhuǎn)到的角度。復(fù)數(shù)可正交分解為復(fù)平面上的實(shí)軸與虛軸對(duì)應(yīng)的兩個(gè)分量,對(duì)于一個(gè)復(fù)平面上的1-矢量=+,只需左乘,就可實(shí)現(xiàn)其與多重矢量之間的轉(zhuǎn)換:

=+=

(7)

對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù),若要將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到′,只需左乘ei即可。假設(shè)′與1-矢量′是等價(jià)的,利用的指數(shù)形式,有

′=′=e =e =e

(8)

可見(jiàn),利用式(8)可以實(shí)現(xiàn)矢量在平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的幾何操作。這一過(guò)程可擴(kuò)展到任意維數(shù)。

1.2 復(fù)矢量?jī)?nèi)積的幾何含義

首先定義空間與2空間之間的同構(gòu)映射:∶→2,從而在與2之間建立等價(jià)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

一般地,對(duì)于中的復(fù)矢量與單位復(fù)矢量,可構(gòu)造下述映射:

=[Re()+iIm()]

(9)

=[Re()+iIm()]

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

各個(gè)數(shù)學(xué)量的幾何含義如圖2所示。

圖2 各個(gè)數(shù)學(xué)量的幾何含義

基于上述定義,本文提出如下定理:

(16)

該定理的代數(shù)證明如下:

由式(9)和式(10)及內(nèi)積的定義可得

〈,〉==
[Re()-iIm()][Re()+iIm()]=
[Re()Re()+Im()Im()]+
i[Re()Im()-Im()Re()]

(17)

(18)

證畢

該定理可廣泛應(yīng)用于相關(guān)濾波、信號(hào)變換與檢測(cè)估計(jì)問(wèn)題,為雷達(dá)聲納等領(lǐng)域的復(fù)信號(hào)處理提供了一種新的幾何視角。下面來(lái)探討在雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用。

2 幾何檢測(cè)器構(gòu)造

2.1 雷達(dá)信號(hào)模型

不失一般性,假設(shè)某時(shí)刻脈沖多普勒雷達(dá)任一距離單元內(nèi)的接收信號(hào)可表示為下述離散復(fù)正弦形式:

[]=ej( +),=0,1,…,-1

(19)

式中:為信號(hào)幅度;為目標(biāo)的多普勒角頻率;為信號(hào)初始相位;為采樣點(diǎn)數(shù);為采樣間隔,一般等于脈沖重復(fù)周期。

假設(shè)噪聲序列為[],則雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題的假設(shè)檢驗(yàn)可描述為

H∶[]=[],=0,1,…,-1

H∶[]=[]+[],=0,1,…,-1

為了提高輸入信噪比,脈沖多普勒雷達(dá)通常采用相干積累技術(shù),在現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中通常由快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2.2 DFT的幾何解釋

DFT的表達(dá)式為

=0,1,…,-1

(20)

式中：為觀測(cè)信號(hào)矢量;為第個(gè)離散頻率對(duì)應(yīng)的單位正交基矢量,即

(21)

圖3 DFT的幾何含義

2.3 幾何檢測(cè)器的構(gòu)造

(22)

首先考慮當(dāng)觀測(cè)信號(hào)中不包含頻率的信號(hào)成分(H條件下),此時(shí)易知()服從復(fù)高斯分布,其均值和方差分別為

(23)

(24)

則|()|服從瑞利分布,其均值為

(25)

(26)

由式(26)可得其均值與方差分別為

(27)

(28)

()仍服從復(fù)高斯分布,且

(29)

(30)

由式(30)可得其均值與方差為

(31)

(32)

實(shí)際應(yīng)用中,信號(hào)檢測(cè)流程可描述如下:

(3) 根據(jù)式(32)求取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并做檢測(cè)判決。

這里將上述結(jié)構(gòu)的檢測(cè)器稱(chēng)為幾何檢測(cè)器。它與傳統(tǒng)的基于功率包絡(luò)檢波的檢測(cè)器結(jié)構(gòu)對(duì)比如圖4所示。

圖4 幾何檢測(cè)器與功率/包絡(luò)檢測(cè)器結(jié)構(gòu)對(duì)比

相對(duì)于傳統(tǒng)功率包絡(luò)檢波,幾何檢波的過(guò)程增加了歸一化及反余弦變換這兩個(gè)過(guò)程。一方面,通過(guò)歸一化,當(dāng)噪聲或雜波隨時(shí)間起伏變化時(shí),輸出數(shù)據(jù)可保持相對(duì)穩(wěn)定,從而使檢測(cè)器具有適應(yīng)背景起伏的能力;另一方面,反余弦變換是典型的非線性變換,具有良好的動(dòng)態(tài)壓縮性質(zhì),使檢測(cè)器具有適應(yīng)目標(biāo)信號(hào)大動(dòng)態(tài)范圍變化的潛力。

根據(jù)NP準(zhǔn)則及式(26)和式(30),幾何檢測(cè)器的虛警率與檢測(cè)概率可由以下兩式給出:

(33)

(34)

3 仿真與分析

3.1 仿真說(shuō)明

本節(jié)針對(duì)噪聲背景起伏、雜波邊緣以及雙目標(biāo)干擾等典型檢測(cè)器場(chǎng)景,通過(guò)與傳統(tǒng)CFAR檢測(cè)器的仿真對(duì)比說(shuō)明幾何檢測(cè)器的性能。

多普勒雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題如下:

H:[]=[],=0,1,…,-1
H:[]=[]+[],=0,1,…,-1

式中：[]、[]和[]分別是觀測(cè)信號(hào)[]、實(shí)際信號(hào)[]及噪聲[]經(jīng)FFT后的輸出。

當(dāng)回波存在雜波時(shí),檢測(cè)器輸入如下:

H:[]=[]+[],=0,1，…,-1
H:[]=[]+[]+[],=0,1,…,-1

式中:[]為雜波[]=ej(+)(=0,1,…,-1)經(jīng)FFT后的輸出。其中,為雜波的幅度,為雜波的多普勒角頻率,為雜波初始相位。仿真中假設(shè)雜波均勻分布在第64至第96個(gè)多普勒單元,即

(35)

定義雜噪比為相干積累后的雜噪比,即

(36)

其余參數(shù)及典型值設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

3.2 噪聲背景起伏

本節(jié)討論噪聲均勻起伏時(shí)幾何檢測(cè)器的性能。

在實(shí)際應(yīng)用中,起伏噪聲的統(tǒng)計(jì)特性通常是未知的,相對(duì)已知統(tǒng)計(jì)特性的最佳檢測(cè)器,各類(lèi)恒虛警檢測(cè)器都存在恒虛警損失。圖5對(duì)比了均勻噪聲背景下最佳檢測(cè)器、幾何檢測(cè)器與CA-CFAR檢測(cè)器的檢測(cè)性能,其中幾何檢測(cè)器的門(mén)限可通過(guò)計(jì)算式(33)中的定積分得出,圖中同時(shí)給出了幾何檢測(cè)器由蒙特卡羅仿真與依據(jù)式(34)分別得到的檢測(cè)概率曲線。

圖5 3種檢測(cè)器檢驗(yàn)概率對(duì)比圖

由圖5可以看出,在均勻起伏噪聲背景下,針對(duì)幾何檢測(cè)器,蒙特卡羅仿真與理論計(jì)算所得到的檢測(cè)概率曲線是一致的,其檢測(cè)性能接近于最佳檢測(cè)器,恒虛警損失幾乎為零,而CA-CFAR作為均勻背景下的最佳恒虛警檢測(cè)器,其在0.9檢測(cè)概率處的恒虛警損失接近0.8 dB。由此可見(jiàn),均勻起伏噪聲背景下,采用幾何檢測(cè)器可有效避免恒虛警損失,提升檢測(cè)性能。

3.3 雜波邊緣檢測(cè)

在雷達(dá)接收回波中,會(huì)有雜波干擾的存在,例如海雜波或地雜波。本節(jié)考慮雜波邊緣附近的目標(biāo)檢測(cè)。

仿真中,假設(shè)雜波均勻分布在第64至第96個(gè)多普勒單元,目標(biāo)位于第101個(gè)多普勒單元,其他參數(shù)設(shè)置如表1所示。圖6給出了CA-CFAR、OS-CFAR、SO-CFAR、GO-CFAR以及幾何檢測(cè)器的門(mén)限值。4種CFAR檢測(cè)器門(mén)限分別由參考文獻(xiàn)[17]的式(3.8)、式(3.19)、式(3.15)和式(3.16)得到,輸出為歸一化后的結(jié)果。圖6只顯示了第1到第150個(gè)多普勒單元。

圖6 4種CFAR檢測(cè)器與幾何檢測(cè)器門(mén)限

由圖6可以看出,當(dāng)信號(hào)處于雜波邊緣時(shí),CA-CFAR檢測(cè)器以及GO-CFAR檢測(cè)器會(huì)因?yàn)閰⒖紗卧淙腚s波信號(hào)而使門(mén)限值抬高,導(dǎo)致信號(hào)漏檢;SO-CFAR及OS-CFAR均可將信號(hào)檢測(cè)出來(lái);幾何檢測(cè)器由于歸一化和反余弦變換的非線性操作,可在一定程度上適應(yīng)雜波對(duì)臨近目標(biāo)檢測(cè)的影響,但在雜波區(qū)產(chǎn)生了虛警。導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因是歸一化時(shí)認(rèn)為雜波背景是均勻的,為了解決這一問(wèn)題,類(lèi)似于現(xiàn)有的GO-CFAR和SO-CFAR、CA-CFAR等組成的混合結(jié)構(gòu)智能CFAR檢測(cè)器,可在幾何檢測(cè)器中引入雜波區(qū)域位置的先驗(yàn)信息,采用分區(qū)歸一化策略來(lái)避免虛警,對(duì)應(yīng)的檢測(cè)器可稱(chēng)之為智能幾何檢測(cè)器,其設(shè)計(jì)與分析將是下一步研究的重點(diǎn)。

為了考察和評(píng)估幾何檢測(cè)器對(duì)雜波背景的適應(yīng)能力,圖7給出了雜噪比從10 dB變化到30 dB時(shí)幾何檢測(cè)器及CFAR檢測(cè)器的檢測(cè)概率,其他仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。由圖7可以看出,在本文仿真條件下,幾何檢測(cè)器可在18.5 dB雜波背景下以0.9的檢測(cè)概率可靠檢測(cè)雜波邊緣處的目標(biāo)。另外,對(duì)比傳統(tǒng)的CFAR檢測(cè)器,當(dāng)檢測(cè)概率為0.9時(shí),幾何檢測(cè)器雜波背景適應(yīng)能力分別優(yōu)于CA-CFAR、OS-CFAR檢測(cè)器8.5 dB、1 dB,低于SO-CFAR檢測(cè)器7 dB。

圖7 雜噪比變化時(shí)檢測(cè)器檢測(cè)曲線

3.4 雙目標(biāo)檢測(cè)

雷達(dá)檢測(cè)中,除了雜波的影響外,另一類(lèi)典型情形即多目標(biāo)互擾。當(dāng)待檢測(cè)小信號(hào)(小目標(biāo))的參考單元內(nèi)存在強(qiáng)信號(hào)(大目標(biāo)、孤立點(diǎn)雜波或者欺騙干擾信號(hào)等)時(shí),因恒虛警門(mén)限抬高將導(dǎo)致小目標(biāo)漏報(bào),從而形成對(duì)小目標(biāo)的遮蔽效應(yīng)。本節(jié)討論強(qiáng)目標(biāo)落在弱目標(biāo)參考單元內(nèi)部時(shí)幾何檢測(cè)器的檢測(cè)性能。

假設(shè)兩個(gè)功率不同的目標(biāo)位于鄰近的單元中,其中,強(qiáng)目標(biāo)與弱目標(biāo)分別落在第200與第210個(gè)多普勒單元,強(qiáng)目標(biāo)的功率是弱目標(biāo)的4倍,其余參數(shù)設(shè)置如表1。圖8分別給出了CA-CFAR、OS-CFAR、SO-CFAR、GO-CFAR以及幾何檢測(cè)器的門(mén)限值,輸出為歸一化后的結(jié)果。圖8顯示了第175到第225個(gè)多普勒單元。由圖8可見(jiàn)，CA-CFAR及GO-CFAR檢測(cè)器受參考單元內(nèi)的強(qiáng)目標(biāo)影響,無(wú)法檢測(cè)出弱目標(biāo);OS-CFAR和SO-CFAR均可檢測(cè)出弱目標(biāo);幾何檢測(cè)器通過(guò)對(duì)輸入數(shù)據(jù)的歸一化來(lái)適應(yīng)背景起伏,無(wú)需通過(guò)參考單元估計(jì)噪聲功率,且反余弦變換壓縮了強(qiáng)弱目標(biāo)之間的相對(duì)大小,從而可更好地在大對(duì)比度(大動(dòng)態(tài)變化)條件下檢測(cè)弱目標(biāo)。

圖8 4種CFAR檢測(cè)器與幾何檢測(cè)器門(mén)限

為了評(píng)估幾何檢測(cè)器對(duì)強(qiáng)目標(biāo)干擾的適應(yīng)能力,圖9給出了幾何檢測(cè)器和4種CFAR檢測(cè)器檢測(cè)概率隨強(qiáng)弱目標(biāo)功率比的變化關(guān)系。

圖9 不同功率比下檢測(cè)器對(duì)弱目標(biāo)的檢測(cè)概率

由圖9可以看出,OS-CFAR及SO-CFAR在不同的功率比下均可將弱目標(biāo)檢測(cè)出來(lái);GO-CFAR在3 dB時(shí)已無(wú)法將弱目標(biāo)檢測(cè)出來(lái);幾何檢測(cè)器可在15.1 dB對(duì)比度下可靠檢測(cè)弱目標(biāo)(檢測(cè)概率0.9),相對(duì)CA-CFAR檢測(cè)器對(duì)強(qiáng)干擾信號(hào)的適應(yīng)能力提升了13.2 dB。因此,對(duì)于檢測(cè)信號(hào)存在大動(dòng)態(tài)變化的應(yīng)用場(chǎng)景,幾何檢測(cè)器相對(duì)CA-CFAR及GO-CFAR檢測(cè)器可提升對(duì)弱目標(biāo)的檢測(cè)能力。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)脈沖多普勒雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)應(yīng)用,基于幾何代數(shù)理論,從幾何視角重新理解檢測(cè)器的輸入信號(hào),并設(shè)計(jì)出幾何檢測(cè)器。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在均勻背景下,幾何檢測(cè)器幾乎無(wú)恒虛警損失;當(dāng)目標(biāo)參考單元有雜波干擾或是其他強(qiáng)信號(hào)時(shí),幾何檢測(cè)器由于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了歸一化以及反余弦變換,降低了背景干擾對(duì)目標(biāo)檢測(cè)的影響,增強(qiáng)了對(duì)雜波邊緣及目標(biāo)信號(hào)大動(dòng)態(tài)變化的適應(yīng)性,且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),當(dāng)目標(biāo)處于雜波邊緣時(shí),幾何檢測(cè)器在雜波區(qū)出現(xiàn)了虛警。因此,下一步將重點(diǎn)研究背景分區(qū)自適應(yīng)的智能幾何檢測(cè)器。同時(shí),對(duì)幾何檢測(cè)器性能與背景干擾關(guān)系的理論分析也可作為下一步的研究重點(diǎn)。