翟 光, 王妍欣, 孫一勇

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081)

0 引 言

星網(wǎng)探測(cè)系統(tǒng)將天基觀測(cè)器和光學(xué)傳感器相結(jié)合,以其覆蓋范圍廣、精度高、傳感距離遠(yuǎn)而受到廣泛的關(guān)注。與單顆衛(wèi)星相比,星網(wǎng)能夠整合整個(gè)衛(wèi)星星座采集的數(shù)據(jù),實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的連續(xù)跟蹤[1-2]。由于衛(wèi)星探測(cè)范圍內(nèi)可能存在多個(gè)目標(biāo)以及光學(xué)傳感器的各種不確定性,因此根據(jù)量測(cè)值無(wú)法直接反推目標(biāo)的位置[3]。一旦將錯(cuò)誤的測(cè)量值分配給目標(biāo),會(huì)對(duì)估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生巨大影響。當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí),目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)模型隨即改變,增加了多目標(biāo)協(xié)同跟蹤的難度。因此,研究一種針對(duì)低軌星網(wǎng)的多目標(biāo)跟蹤算法具有重要意義。

基于低軌星網(wǎng)的多目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題可以分為數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)階段和多目標(biāo)狀態(tài)更新階段。數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)技術(shù)是狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的前提,在多目標(biāo)協(xié)同跟蹤中起著重要作用[4]。多目標(biāo)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)技術(shù)旨在建立目標(biāo)與量測(cè)值之間的映射關(guān)系,并實(shí)現(xiàn)對(duì)量測(cè)值的分配。最近鄰數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(nearest neighbor data association, NNDA)算法是最著名的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法之一,其通過(guò)比較目標(biāo)預(yù)測(cè)位置和測(cè)量值之間的距離來(lái)區(qū)分目標(biāo)的相關(guān)測(cè)量和雜波干擾。除了最近鄰思想,還有一種基于概率分析的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)思想,如概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(probabilistic data association, PDA)[5]解決了雜波背景下簡(jiǎn)單目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問(wèn)題。在PDA算法的激勵(lì)下,相關(guān)學(xué)者又提出了聯(lián)合PDA(joint PDA, JPDA)[6]和多假設(shè)跟蹤(multiple hypothesis tracking, MHT)[7]實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。JPDA算法考慮了多個(gè)量測(cè)來(lái)源于其他目標(biāo)可能性,但算法所需的計(jì)算量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)[8]。MHT算法被證明是一種適用于多目標(biāo)跟蹤的貝葉斯最優(yōu)算法,但其精確解的計(jì)算存在困難[9]。為了減少計(jì)算量,又開(kāi)發(fā)了廉價(jià)JPDA(cheap JPDA, CJPDA)[10]、次優(yōu)JPDA (suboptimal JPDA, SJPDA)[11]和多幀分配(multiple frame assignment, MFA)[12]算法。然而,大部分?jǐn)?shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法都是根據(jù)對(duì)目標(biāo)的三維量測(cè)信息進(jìn)行關(guān)聯(lián),根據(jù)光學(xué)傳感器平面的二維量測(cè)信息即目標(biāo)的方位角進(jìn)行多目標(biāo)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的算法很少。由于任意兩個(gè)不關(guān)聯(lián)的角度軌跡都可能產(chǎn)生幻影目標(biāo),因此必須確定測(cè)量值的來(lái)源,將來(lái)源于同一目標(biāo)的量測(cè)值進(jìn)行關(guān)聯(lián)。為解決這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[13]提出最小距離偏差算法,文獻(xiàn)[14]提出二面傾角算法。然而這些算法都利用了幾何約束,無(wú)法實(shí)現(xiàn)時(shí)間維度上的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。因此,有必要開(kāi)發(fā)一種數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法,從空間和時(shí)間兩個(gè)維度解決數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問(wèn)題。

狀態(tài)更新階段即是根據(jù)測(cè)量值的關(guān)聯(lián)結(jié)果估計(jì)多個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)?？柭鼮V波(Kalman filter, KF)是一種應(yīng)用最廣泛的狀態(tài)估計(jì)算法[15]。雖然KF已被證明在高斯白噪聲假設(shè)下能獲得線性離散系統(tǒng)在方差最小意義下的最優(yōu)估計(jì)[16],但由于低軌星網(wǎng)和目標(biāo)的動(dòng)態(tài)特性,KF不適用于多目標(biāo)跟蹤。為了將KF擴(kuò)展到非線性系統(tǒng)中,學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究。在現(xiàn)有的非線性濾波器中,擴(kuò)展KF(extended KF, EKF)因其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小而得到廣泛應(yīng)用,由于EKF采用二階泰勒展開(kāi)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似,忽略了高階項(xiàng),因此只適用于弱非線性系統(tǒng)。為了更精確地逼近非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[17-18]采用基于無(wú)跡變換的無(wú)跡KF(unscented KF, UKF)來(lái)解決多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題。綜合考慮對(duì)非線性系統(tǒng)的逼近精度和計(jì)算量之間的平衡,本文采用基于UKF的狀態(tài)更新方法。然而,目標(biāo)的機(jī)動(dòng)序列對(duì)跟蹤系統(tǒng)未知會(huì)使得濾波器的性能顯著下降[19-20]。一般來(lái)說(shuō),由目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的濾波發(fā)散問(wèn)題可以通過(guò)膨脹協(xié)方差以增加新測(cè)量值權(quán)重的方法解決[20-21]。但這種方法只適用于脈沖式機(jī)動(dòng)。文獻(xiàn)[22-23]提出了一種基于協(xié)方差膨脹的衰減記憶濾波器來(lái)解決機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤(maneuvering target tracking, MTT)問(wèn)題。這兩種算法的思想都是增加測(cè)量值的權(quán)重,但其代價(jià)是跟蹤精度的降低。文獻(xiàn)[24-25]通過(guò)將未知機(jī)動(dòng)增廣到估計(jì)狀態(tài),提出了增廣KF(augmented KF, AFK)。但由于狀態(tài)維度的增加帶來(lái)了更大的計(jì)算量。為解決這個(gè)問(wèn)題,學(xué)者們提出了變結(jié)構(gòu)濾波算法[26],利用KF和AKF,既能保持機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度,又能提供較好的非機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤性能。在變結(jié)構(gòu)方法的推動(dòng)下,多種算法得到發(fā)展,如變狀態(tài)維度(variable state dimension, VSD)算法[27],增強(qiáng)VSD(enhanced VSD, EVSD)算法[28]等。與單濾波器相比,交互式多模型算法[29-30]則是對(duì)多個(gè)單獨(dú)模型跟蹤的估計(jì)值進(jìn)行加權(quán)求和,得到組合狀態(tài)估計(jì),但同時(shí)運(yùn)行多個(gè)濾波器必然增加了計(jì)算量,特別是對(duì)于非機(jī)動(dòng)目標(biāo),不僅不會(huì)提高跟蹤性能,反而會(huì)降低定位精度。

本文針對(duì)低軌星網(wǎng)只能獲得目標(biāo)方位角信息的測(cè)量特性,通過(guò)設(shè)計(jì)指標(biāo)函數(shù)來(lái)確定測(cè)量值的分配,將三維關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化為測(cè)量平面關(guān)聯(lián),有效地實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián);并將狀態(tài)更新與數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法相結(jié)合,建立了多機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法的總體框架。通過(guò)機(jī)動(dòng)檢測(cè)函數(shù)確定機(jī)動(dòng)的開(kāi)始和結(jié)束,從而完成狀態(tài)估計(jì)器在標(biāo)準(zhǔn)UKF和增廣UKF(augmented UKF, AUKF)之間的切換。最后通過(guò)仿真試驗(yàn)對(duì)算法的可行性與有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)彈道動(dòng)力學(xué)模型

導(dǎo)彈離開(kāi)大氣層后,進(jìn)入自由飛行段,在不考慮空氣動(dòng)力學(xué)和地球自轉(zhuǎn)的情況下,目標(biāo)運(yùn)動(dòng)僅受到重力和發(fā)動(dòng)機(jī)推力的影響?？紤]帶有推進(jìn)器的多個(gè)目標(biāo),取目標(biāo)j(j=1,2,…,Nt)在地心慣性坐標(biāo)系下的位置[x,y,z]T和速度[vx,vy,vz]T為狀態(tài)向量,即

X(j)=[x,y,z,vx,vy,vz]T,j=1,2,…,Nt

(1)

式中:Nt為t時(shí)刻目標(biāo)總個(gè)數(shù)。多目標(biāo)在地心慣性坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)模型可以描述為

(2)

式中:μ0=3.986×105km3/s2為地心引力常數(shù);W(j)(t)表示目標(biāo)的系統(tǒng)噪聲,其方差陣為Q(j)。

1.2 彈道目標(biāo)天基觀測(cè)模型

低軌星網(wǎng)的衛(wèi)星以一定的構(gòu)型在空間分布,其中Walker星座是一種常用的圓形軌道星座,星座內(nèi)衛(wèi)星的軌道具有相同的高度、傾角和偏心率,其星座構(gòu)型可用N/P/f描述,其中N為衛(wèi)星總個(gè)數(shù),P為衛(wèi)星分布的軌道面數(shù),f為相鄰軌道面衛(wèi)星相對(duì)相位因子。設(shè)星座中某顆衛(wèi)星編號(hào)為m,則衛(wèi)星m的升交點(diǎn)赤經(jīng)和近地點(diǎn)角距可以表示為

(3)

對(duì)于配備光學(xué)傳感器的衛(wèi)星,當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入衛(wèi)星的探測(cè)范圍,如圖1所示,就可以獲取目標(biāo)的方位角信息。對(duì)于目標(biāo)j,若滿足如下條件則可被衛(wèi)星i探測(cè)到:

(4)

式中:α(i)表示衛(wèi)星i的半視場(chǎng)角;η(ij)表示衛(wèi)星i和目標(biāo)j之間的夾角;ST表示由衛(wèi)星至目標(biāo)的位置矢量;OS表示地心至衛(wèi)星位置矢量。根據(jù)余弦定理,式(4)可以寫(xiě)為

(5)

(6)

式中:[xs,ys,zs]T表示衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系中的位置向量。

若衛(wèi)星和目標(biāo)滿足式(5)和式(6),則表示目標(biāo)處于衛(wèi)星的探測(cè)范圍。對(duì)于攜帶光學(xué)傳感器的衛(wèi)星,可以得到目標(biāo)在星固坐標(biāo)系下的方位角和俯仰角,根據(jù)目標(biāo)j和衛(wèi)星i在地心慣性坐標(biāo)系中的狀態(tài)矢量,可以得到目標(biāo)在地心慣性坐標(biāo)系下的量測(cè)方程:

(7)

從量測(cè)方程中也可以看出,量測(cè)值中包含衛(wèi)星的位置信息,因此利用量測(cè)信息得到的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)值必然與衛(wèi)星自身定軌精度相關(guān)。為了在低軌星網(wǎng)的觀測(cè)條件下實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的協(xié)同跟蹤,除了衛(wèi)星星座的定軌精度,還必須保證各衛(wèi)星時(shí)間基準(zhǔn)和空間基準(zhǔn)的統(tǒng)一,只有在統(tǒng)一時(shí)空架構(gòu)下獲取的觀測(cè)信息才能用于多目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)及狀態(tài)更新。因此,本文提出如下假設(shè)。

(1) 衛(wèi)星配備完善的自主導(dǎo)航體系,能夠滿足在星座構(gòu)型保持及重構(gòu)過(guò)程中的自主定位。因此在本文中認(rèn)為衛(wèi)星的導(dǎo)航精度很高,衛(wèi)星自身的導(dǎo)航誤差不足以影響對(duì)目標(biāo)的跟蹤精度。

(2) 用于多目標(biāo)跟蹤的低軌星座經(jīng)過(guò)準(zhǔn)確的時(shí)空對(duì)準(zhǔn),且網(wǎng)絡(luò)傳輸無(wú)延遲,即用于協(xié)同跟蹤的量測(cè)值都是同一時(shí)刻獲得的,且無(wú)延遲地傳送到處理中心。

2 多目標(biāo)協(xié)同跟蹤濾波

2.1 基于卡方分布的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)

本文的目的是設(shè)計(jì)一種針對(duì)低軌星網(wǎng)的多目標(biāo)協(xié)同跟蹤濾波算法。由于根據(jù)單顆衛(wèi)星獲得的目標(biāo)方位角無(wú)法反推目標(biāo)的三維位置信息,使得針對(duì)三維軌跡的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法失效。實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)的前提是明確不同量測(cè)值的來(lái)源,即量測(cè)值的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。低軌星網(wǎng)的多星對(duì)多目標(biāo)觀測(cè)關(guān)系隨時(shí)間變化情況如圖2所示。從圖2中可以看出,要實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的協(xié)同跟蹤,一方面需要根據(jù)量測(cè)的來(lái)源將當(dāng)前時(shí)刻的量測(cè)進(jìn)行分組;另一方面,需要建立當(dāng)前被檢測(cè)目標(biāo)與歷史目標(biāo)之間的映射,以繪制完整的軌跡。

(8)

定義一個(gè)目標(biāo)被一顆衛(wèi)星觀測(cè)到一次為一組量測(cè),則星座對(duì)多目標(biāo)的量測(cè)組數(shù)為

(9)

為了根據(jù)這Ntrk組量測(cè)得到多目標(biāo)的三維軌跡,對(duì)NNDA算法進(jìn)行改進(jìn),利用變結(jié)構(gòu)框架實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)和狀態(tài)估計(jì)。

由于光學(xué)傳感器只能得到目標(biāo)的方位角信息,本文構(gòu)建虛擬的量測(cè)跟蹤門(mén),并利用卡方分布對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分配,以實(shí)現(xiàn)測(cè)量平面的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)?；诳ǚ椒植嫉臄?shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法主要包括如下步驟。

(10)

(11)

(12)

式中:h為選定的時(shí)間步長(zhǎng)。

進(jìn)一步得到狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)值為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式中:Assi表示衛(wèi)星i觀測(cè)到的量測(cè)與已有目標(biāo)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)果。

2.2 信息融合與多目標(biāo)狀態(tài)更新

由第2.1節(jié)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)指標(biāo)函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)量測(cè)量的分配,進(jìn)而可以通過(guò)KF算法對(duì)多星的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)融合從而實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)狀態(tài)更新。但是由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)存在不確定性,若不考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)狀態(tài)方程的不準(zhǔn)確,進(jìn)而導(dǎo)致濾波精度降低。AKF被廣泛用于未知機(jī)動(dòng)推力恒定的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)。然而,由于AKF增加了系統(tǒng)狀態(tài),其實(shí)時(shí)性不如標(biāo)準(zhǔn)KF。本文跟蹤的目標(biāo)是彈道導(dǎo)彈的自由飛行段,目標(biāo)受力特性較為簡(jiǎn)單,僅受重力和發(fā)動(dòng)機(jī)推力的影響,不需要考慮空氣動(dòng)力,因此目標(biāo)機(jī)動(dòng)的原因只有發(fā)動(dòng)機(jī)的推力,可以較為準(zhǔn)確地建立以目標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)的狀態(tài)方程。針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)KF和AKF的切換問(wèn)題,提出了變結(jié)構(gòu)估計(jì)(variable structure estimation, VSE)。在VSE的激勵(lì)下,本文開(kāi)發(fā)了一種可變結(jié)構(gòu)UKF(variable structure UKF, VSUKF)來(lái)自適應(yīng)地估計(jì)未知機(jī)動(dòng)。在VSUKF框架內(nèi),如果檢測(cè)到機(jī)動(dòng),濾波器結(jié)構(gòu)將切換為AUKF,即

(19)

當(dāng)機(jī)動(dòng)結(jié)束時(shí),則利用UKF估計(jì)目標(biāo)的狀態(tài),即

(20)

為了根據(jù)量測(cè)分配矩陣得到目標(biāo)的量測(cè)矩陣,定義如下算法函數(shù):

C=Meas(A,B)

(21)

cj=aA(i)bA(i),i=1,2,…,n;j=1,2,…,rank(A)

(22)

式中:A(i)=diag(a1,a2,…,ai)為矩陣A的分塊矩陣;A(i)=rank(A(i))為矩陣A(i)的秩。

由此,目標(biāo)k的量測(cè)矩陣可以表示為

(23)

式中:I1×2=[1,1]表示1×2維的矩陣，且矩陣元素全部為1。

與量測(cè)值對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星位置矩陣可以表示為

(24)

根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的結(jié)果,目標(biāo)k的狀態(tài)估計(jì)值為

(25)

(26)

(27)

計(jì)算量測(cè)值采樣點(diǎn):

(28)

(29)

計(jì)算濾波增益矩陣:

(30)

將式(23)和式(30)代入式(25)可以得到

(31)

均方誤差陣更新:

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

2.3 變結(jié)構(gòu)框架下的機(jī)動(dòng)信息估計(jì)

對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo),在機(jī)動(dòng)開(kāi)始或結(jié)束時(shí)準(zhǔn)確地改變?yōu)V波器結(jié)構(gòu)是目標(biāo)狀態(tài)準(zhǔn)確估計(jì)的前提。但由于無(wú)法準(zhǔn)確得知目標(biāo)的機(jī)動(dòng)序列,通過(guò)設(shè)置機(jī)動(dòng)探測(cè)器以準(zhǔn)確探測(cè)機(jī)動(dòng)的開(kāi)始和結(jié)束。在目標(biāo)機(jī)動(dòng)初始階段,雖然濾波器的估計(jì)協(xié)方差幾乎保持不變,但其測(cè)量殘差會(huì)增加,因此根據(jù)測(cè)量殘差對(duì)機(jī)動(dòng)的靈敏度,構(gòu)造如下機(jī)動(dòng)開(kāi)始檢測(cè)器:

(37)

(38)

若滿足:

(39)

類(lèi)似地,構(gòu)造如下機(jī)動(dòng)終止檢測(cè)器：

(40)

(41)

與交互多模型算法相比,變結(jié)構(gòu)濾波框架不需要同時(shí)運(yùn)行多個(gè)濾波器,而是通過(guò)機(jī)動(dòng)檢測(cè)器判斷機(jī)動(dòng)的開(kāi)始和結(jié)束,從而實(shí)現(xiàn)不同濾波器之間的切換,計(jì)算量較少,適用于本文中目標(biāo)的受力場(chǎng)景。對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo),濾波器在目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)切換為AUKF,可以對(duì)目標(biāo)的位置、速度和機(jī)動(dòng)加速度信息進(jìn)行估計(jì),在目標(biāo)非機(jī)動(dòng)時(shí)則采用UKF;對(duì)于非機(jī)動(dòng)目標(biāo),則一直采用UKF進(jìn)行狀態(tài)更新,以避免AUKF降低跟蹤精度。

3 跟蹤濾波性能評(píng)估

基于低軌星網(wǎng)的多目標(biāo)協(xié)同識(shí)別與跟蹤是一個(gè)多傳感器多目標(biāo)問(wèn)題,跟蹤目標(biāo)的衛(wèi)星個(gè)數(shù)隨時(shí)間變化,且由于多目標(biāo)軌跡的不同,星網(wǎng)對(duì)每個(gè)目標(biāo)的跟蹤效果也會(huì)有差異。為評(píng)估星網(wǎng)對(duì)多目標(biāo)跟蹤識(shí)別性能,本文從對(duì)多目標(biāo)的關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確度以及對(duì)多目標(biāo)的跟蹤精度兩個(gè)方面建立評(píng)價(jià)指標(biāo)。

(42)

(43)

其中,N(k)表示對(duì)目標(biāo)k的采樣總個(gè)數(shù)。

由于本文研究的是星網(wǎng)對(duì)多目標(biāo)的識(shí)別與跟蹤問(wèn)題,為了研究不同算法的性能對(duì)比,只考慮單個(gè)目標(biāo)的跟蹤精度過(guò)于片面,由此需要引入一個(gè)指標(biāo)綜合考慮對(duì)多個(gè)目標(biāo)的估計(jì)結(jié)果。

為了評(píng)估多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題的性能,將最優(yōu)子模式分配(optical sub-pattern assignment, OSPA)距離應(yīng)用于星網(wǎng)對(duì)多目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的誤差分析。OSPA距離可以理解為p階逐對(duì)象式誤差。這個(gè)誤差由本地誤差和勢(shì)誤差組成。定義多目標(biāo)t時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值和真實(shí)值集合為

(44)

(45)

式中:Mt和Nt分別表示估計(jì)值集合和真實(shí)值集合,兩個(gè)集合的勢(shì)分別為mt和nt。對(duì)于任意正整數(shù)n∈N={1,2,…,n},Πn表示{1,2,…,n}排列的集合。OSPA距離定義為

(46)

(47)

式中:p為與階數(shù)相關(guān)的參數(shù),決定了OSPA距離對(duì)錯(cuò)誤估值的靈敏度;d(c)(Mi,Nπ(i))表示兩個(gè)向量之間的截?cái)鄽W式距離:

(48)

式中:d(Mi,Nπ(i))表示歐式距離,即

(49)

其中,c表示截?cái)鄥?shù)。采用截?cái)鄽W式距離是為了避免某個(gè)估計(jì)值發(fā)散或估計(jì)值與真實(shí)值不匹配而導(dǎo)致的評(píng)估指標(biāo)失效。

(50)

式中:c決定了分配給本地誤差和勢(shì)誤差的相對(duì)權(quán)重。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證所提出的多目標(biāo)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)與狀態(tài)估計(jì)算法的有效性和適用性,本節(jié)進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真時(shí)長(zhǎng)和采樣間隔分別設(shè)置為1 700 s和1 s,仿真開(kāi)始時(shí)間設(shè)置為2020年11月25日04:00:00.00。考慮星基光學(xué)系統(tǒng)建立在構(gòu)型如表1所示的Walker Delta型星座上;同時(shí)考慮如表2所示的多個(gè)目標(biāo)。為了驗(yàn)證所提算法的有效性,分別在多目標(biāo)機(jī)動(dòng)和非機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下利用星網(wǎng)對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

表1 星座構(gòu)型

表2 多目標(biāo)信息

4.1 非機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下仿真驗(yàn)證

目標(biāo)相距越近,目標(biāo)的識(shí)別難度越高。為了驗(yàn)證算法的有效性,設(shè)計(jì)目標(biāo)1和目標(biāo)3的運(yùn)動(dòng)軌跡相距很近,目標(biāo)2和目標(biāo)5的落點(diǎn)相近。在目標(biāo)非機(jī)動(dòng)的情況下,多目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。

圖4為非機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下星網(wǎng)中可探測(cè)到目標(biāo)的衛(wèi)星個(gè)數(shù)。從圖中可以看出,由于目標(biāo)和衛(wèi)星均處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài),跟蹤目標(biāo)的衛(wèi)星數(shù)量實(shí)時(shí)變化,若在星間接力的過(guò)程中無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別目標(biāo),則無(wú)法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的連續(xù)跟蹤,或者導(dǎo)致濾波發(fā)散。圖5和圖6分別是采用本文算法得到的多目標(biāo)位置和速度跟蹤誤差。從圖中可知本文所提出的濾波器能夠有效地利用星網(wǎng)實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的識(shí)別跟蹤,對(duì)目標(biāo)速度的估計(jì)誤差值大約500 s后就可以收斂到0.02 km/s以下,但是由于多傳感器間接力跟蹤的緣故,對(duì)位置的估計(jì)誤差沒(méi)有收斂到某一值附近,但是依然保持在10 km以下。

表3給出了非機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下星網(wǎng)對(duì)各個(gè)目標(biāo)的MAA,從表中可以看出,對(duì)目標(biāo)的MAA均在91%以上。但值得注意的是,分配精度會(huì)在某些時(shí)刻下降。這是因?yàn)樵谶@些時(shí)刻,目標(biāo)的實(shí)際位置非常相近,且由于跟蹤的無(wú)源性,其在像平面的角軌跡更容易相互覆蓋。雖然目標(biāo)位置較近時(shí)對(duì)MAA有所影響,但是由于本文采用了卡方分布的原理,只采用較為可靠的量測(cè)值,在僅采用角軌跡的情況下依然能對(duì)多目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。

表3 非機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下各目標(biāo)的MAA

4.2 機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下仿真驗(yàn)證

一旦目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng),由于目標(biāo)的非合作特性,因此無(wú)法提前獲知目標(biāo)的機(jī)動(dòng)序列,這會(huì)導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)模型的不準(zhǔn)確,進(jìn)而導(dǎo)致對(duì)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)精度的降低。為此,本節(jié)測(cè)試了在目標(biāo)機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下算法的性能。多目標(biāo)的機(jī)動(dòng)信息如表4所示。其中目標(biāo)1、目標(biāo)2、目標(biāo)4為機(jī)動(dòng)目標(biāo),機(jī)動(dòng)開(kāi)始/結(jié)束時(shí)間、機(jī)動(dòng)幅度各不相同。值得注意的是由于這些目標(biāo)的非合作特性,天基光學(xué)系統(tǒng)無(wú)法預(yù)先得知目標(biāo)的機(jī)動(dòng)信息。圖7展示了機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下5個(gè)目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡。

表4 多目標(biāo)初始狀態(tài)和機(jī)動(dòng)信息

表5 機(jī)動(dòng)場(chǎng)景下平均MAA

4.3 與其他算法的對(duì)比分析

利用低軌星網(wǎng)對(duì)多目標(biāo)的識(shí)別跟蹤分為數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)階段和多目標(biāo)狀態(tài)更新階段,且這兩個(gè)階段是迭代進(jìn)行,為了驗(yàn)證本文算法的有效性,本節(jié)采用不同的多目標(biāo)狀態(tài)更新算法。將以VSUKF與AEKF、UKF和AUKF為狀態(tài)更新算法進(jìn)行仿真對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖10和表6所示。從表6中可以看出,VSUKF的MAA最高,說(shuō)明在目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況,與本節(jié)提到的其他算法相比,采用VSUKF作狀態(tài)更新濾波器的算法下可以對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。從圖10可以看出,AEKF算法對(duì)位置和速度估計(jì)的OSPA距離明顯大于VSUKF和AUKF算法,這說(shuō)明UKF算法的線性化誤差小于EKF算法,即UT變換比一階泰勒展開(kāi)能更好地對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似。從圖10(b)的結(jié)果可以看出,UKF算法在對(duì)目標(biāo)速度估計(jì)方面比其他算法有更好的性能,而從圖10 (a)對(duì)目標(biāo)位置的結(jié)果可以看出UKF在初始階段的OSPA距離相對(duì)較小,但在t=419 s時(shí)對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)的OSPA距離開(kāi)始明顯增大,而這恰好是機(jī)動(dòng)開(kāi)始的時(shí)刻。這表明UKF在無(wú)機(jī)動(dòng)情況下性能良好,但在目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)對(duì)位置的估計(jì)誤差顯著增大。t在0～750 s時(shí)AUKF的位置估計(jì)和速度估計(jì)的OSPA距離與VSUKF相似,而t在750～1 000 s時(shí)VSUKF的性能優(yōu)于AUKF。這是因?yàn)閠在750～1 000 s時(shí)目標(biāo)未發(fā)生機(jī)動(dòng),均方誤差矩陣已經(jīng)經(jīng)過(guò)足夠的時(shí)間收斂到一個(gè)穩(wěn)定的值。因此,本文提出的VSUKF已經(jīng)切換到標(biāo)準(zhǔn)UKF,使得VSUKF和UKF對(duì)速度估計(jì)的OSPA距離幾乎相同,如圖10(b)所示。由此說(shuō)明本文采用的VSUKF算法在機(jī)動(dòng)和非機(jī)動(dòng)階段都能得到滿意的估計(jì),且與AUKF相比,它的計(jì)算量更小。

表6 不同算法的MAA

從以上仿真對(duì)比中可以看出,當(dāng)目標(biāo)處于非機(jī)動(dòng)階段時(shí),采用UKF算法的狀態(tài)估計(jì)精度要明顯高于AUKF算法;但是當(dāng)目標(biāo)處于機(jī)動(dòng)狀態(tài),由于UKF算法沒(méi)有考慮目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性,導(dǎo)致目標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型不能準(zhǔn)確反映實(shí)際情況,估計(jì)誤差增大,而AUKF算法則實(shí)現(xiàn)了較高的估計(jì)精度。本文提出的變結(jié)構(gòu)濾波框架綜合考慮了估計(jì)精度和算法的計(jì)算量,通過(guò)機(jī)動(dòng)檢測(cè)器進(jìn)行UKF和AUKF之間的切換,既減少了計(jì)算量,又提高了估計(jì)精度。在本文提出的算法中,多目標(biāo)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)與目標(biāo)狀態(tài)更新過(guò)程是迭代進(jìn)行,緊密相連的,所以在VSUKF算法進(jìn)行狀態(tài)更新基礎(chǔ)上進(jìn)行的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)果也是較為準(zhǔn)確的。

5 結(jié) 論

為了解決低軌星網(wǎng)對(duì)多目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題,本文提出了基于卡方分布的多目標(biāo)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法和基于UKF濾波的多目標(biāo)狀態(tài)更新算法。根據(jù)多目標(biāo)在量測(cè)平面的量測(cè)殘差,基于卡方分布的假設(shè),計(jì)算量測(cè)分配矩陣,在此基礎(chǔ)上,通過(guò)變結(jié)構(gòu)濾波框架和UKF濾波對(duì)多目標(biāo)的位置、速度和加速度信息進(jìn)行估計(jì)。仿真結(jié)果表明,該算法在目標(biāo)機(jī)動(dòng)和非機(jī)動(dòng)情況下均有效,且在較低的計(jì)算量下能夠達(dá)到與UKF和AUKF幾乎相同的估計(jì)性能。