方圣恩，黃繼源

（1.福州大學(xué)土木工程學(xué)院 福州，350108）

（2.福州大學(xué)土木工程防震減災(zāi)信息化國家地方聯(lián)合工程研究中心 福州，350108）

引言

橋梁結(jié)構(gòu)經(jīng)過長期運(yùn)營后必然發(fā)生性能退化和損傷，存在安全隱患，有必要通過健康監(jiān)測系統(tǒng)實(shí)時(shí)評估橋梁的安全狀態(tài)［1］。損傷識(shí)別是橋梁監(jiān)測系統(tǒng)的核心功能之一［2］，可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)并定位橋梁由于外部因素或自身缺陷所造成的損傷，以便及時(shí)維修和加固，延長橋梁的使用壽命［3-4］。常見的橋梁損傷識(shí)別方法一般基于振動(dòng)測試數(shù)據(jù)［5］，通過時(shí)域信號(hào)或頻域信息構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，再基于模型修正和優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別［6］。時(shí)域方面，可以采用小波變換［7］或?qū)⑿〔ò纸夂椭貥?gòu)信號(hào)的樣本熵相結(jié)合的方式［8］，構(gòu)建損傷指標(biāo)；頻域方面，可以基于模態(tài)分析獲取橋梁結(jié)構(gòu)的頻率［9］、振型［10］及二者衍生的模態(tài)柔度［11-12］，或直接根據(jù)頻率響應(yīng)函數(shù)建立損傷判別方法［13］。實(shí)際工程中振動(dòng)信號(hào)容易受到測試噪聲和環(huán)境因素的影響，使得基于振動(dòng)的損傷識(shí)別方法難以有效應(yīng)用。同時(shí)對復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，模型修正過程容易碰到病態(tài)矩陣導(dǎo)致難以收斂，或反向優(yōu)化求解工作量大等問題。相對于動(dòng)力響應(yīng)來說，靜力測試數(shù)據(jù)受環(huán)境和噪聲的影響相對小，測試結(jié)果比較穩(wěn)定，因此基于靜力數(shù)據(jù)如撓度和轉(zhuǎn)角的損傷識(shí)別方法也獲得了關(guān)注［14-17］。

土木工程實(shí)踐中，撓度曲線和位移影響線常用于分析靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。可以結(jié)合撓度曲線樣條插值和應(yīng)變能損傷定位指標(biāo)來判斷可能損傷的單元［15］，或利用撓度影響線的一、二階導(dǎo)數(shù)（曲率）來識(shí)別損傷，常通過中心差分法來計(jì)算導(dǎo)數(shù)［17］。采用橋梁損傷前后撓度影響線變化作為指標(biāo)，基于多影響線信息融合來增強(qiáng)損傷定位的準(zhǔn)確性［18］。此外，根據(jù)截面轉(zhuǎn)角測量結(jié)果，通過橋梁損傷前后的轉(zhuǎn)角影響線差來識(shí)別損傷［16］，可以僅在橋梁前后端布設(shè)測點(diǎn)［19］。實(shí)際應(yīng)用時(shí)撓度影響線的導(dǎo)數(shù)對測試和環(huán)境噪聲極為敏感，數(shù)據(jù)的微小擾動(dòng)都會(huì)對識(shí)別結(jié)果造成顯著影響，同時(shí)轉(zhuǎn)角測試難度大，精度難以保證，因此亟需提出更可靠的靜力損傷識(shí)別方法。

考慮到成本因素，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)往往布設(shè)于大跨徑橋梁。筆者針對中小跨徑橋梁的損傷識(shí)別，首先，把橋梁上移動(dòng)的車輛荷載簡化為準(zhǔn)靜態(tài)荷載，不考慮慣性力效應(yīng)；其次，將撓度曲線和撓度影響線相結(jié)合，提出一種準(zhǔn)靜態(tài)撓度曲面（后文簡述為撓度曲面）的概念，本質(zhì)是橋梁上所有測點(diǎn)在移動(dòng)荷載作用下的影響線集合，也包括荷載分別作用在每個(gè)測點(diǎn)上所得到的撓度曲線集合；然后，通過虛功原理推導(dǎo)了撓度曲面的分段解析表達(dá)式；最后，對橋梁損傷前后的實(shí)測撓度曲面做差，得到撓度曲面差，以此判斷損傷位置。所提出的方法力學(xué)概念清晰，使用方便，無需結(jié)構(gòu)的有限元模型，是一種無模型的損傷定位方法。

1 準(zhǔn)靜態(tài)撓度曲面

1.1 撓度曲面解析表達(dá)式

橋梁上車輛荷載的軸重可以認(rèn)為是施加于橋面板的集中荷載，沿著橋梁縱向移動(dòng)。筆者以單跨等截面簡支梁為例（見圖1），利用虛功原理中的單位荷載法［20］，將簡支梁在移動(dòng)集中荷載P作用下的撓度求解過程進(jìn)行簡化，并結(jié)合圖乘法進(jìn)行計(jì)算。

圖1 單跨簡支梁計(jì)算簡圖Fig.1 Calculation diagram of a single-span simply supported beam

圖1 中：x，y分別表示P與梁上某截面到左支座中心的距離，L為簡支梁計(jì)算長度。橋梁上部結(jié)構(gòu)一般處于彈性工作狀態(tài)，類似歐拉-伯努利梁，此時(shí)彎矩對撓度的貢獻(xiàn)占主要地位，可以忽略剪力和軸力的影響。因此，應(yīng)用虛功原理計(jì)算撓度時(shí)只考慮彎矩引起的撓度。

根據(jù)圖1 繪制P和虛擬單位力=1 作用下的彎矩圖MP和，如圖2 所示。得到彎矩圖的分段函數(shù)表達(dá)式為

圖2 集中荷載和虛擬單位力作用下的簡支梁彎矩圖Fig.2 Bending moment diagram of the simply supported beam under a concentrated load or a virtual unit force

撓度曲面ΔP(x，y)的表達(dá)式為

其中：E為彈性模量；I為截面慣性矩。

按照x，y的坐標(biāo)位置關(guān)系，可將ΔP(x，y)分為兩個(gè)部分，并將式（1）、式（2）代入式（3），結(jié)合圖乘法得到無損梁的ΔP(x，y)表達(dá)式為

由式（4）可知，撓度曲面上任意一點(diǎn)(x0，y0)表示P作用于x0位置時(shí)，y0位置產(chǎn)生的撓度。同時(shí)x，y具有交換對稱性，即二元函數(shù)ΔP(x，y)的三維曲面圖是關(guān)于x=y坐標(biāo)平面對稱的。例如，假設(shè)梁的參數(shù)與外荷載為E=200 GPa，I=2.04×10-8m4，L=2 m，P=1 kN，對應(yīng)的撓度曲面如圖3 所示。由圖可見，無損簡支梁的三維撓度曲面關(guān)于x=y坐標(biāo)平面呈對稱。

圖3 單跨簡支梁撓度曲面Fig.3 Deflection surface of the single-span simply supported beam

1.2 撓度曲面差

仍以圖1 簡支梁為例，若梁上距離左支座48 cm處存在損傷，損傷梁段長度為2 cm，抗彎剛度EI降低25%（采用E降低模擬，比如E'=150 GPa），此時(shí)MP和如圖4 所示。

圖4 簡支梁損傷后彎矩圖（單位：mm）Fig.4 Bending moment diagrams of the damaged simply supported beam (unit:mm)

為求解梁上任意一點(diǎn)（截面）的撓度值，根據(jù)實(shí)際荷載P、虛擬單位力=1 和損傷的位置關(guān)系，將式（3）積分曲面分為圖5 所示的12 個(gè)部分。

由于簡支梁為靜定結(jié)構(gòu)，局部剛度的改變不會(huì)引起內(nèi)力重分布，因此計(jì)算損傷梁的撓度仍可沿用無損梁的彎矩圖，只是積分計(jì)算過程中需要考慮損傷和完好梁段的彈性模量不同，進(jìn)行分段積分。因此，分別對圖5 每個(gè)區(qū)域進(jìn)行積分，損傷后的ΔP(x，y)表達(dá)式包含有12 個(gè)部分。將梁參數(shù)與荷載信息代入表達(dá)式，將其與無損梁的撓度曲面做差，即得到撓度曲面差如圖6 所示。

圖5 簡支梁損傷后撓度曲面函數(shù)積分區(qū)域（單位：m）Fig.5 Domain of integration of deflection surface formula of the damaged simply supported beam (unit:m)

相同荷載作用下，損傷梁各截面的撓度值都會(huì)變大，但幅度不同。撓度測試截面的位置、加載位置與損傷越近，撓度增幅就越大。圖6 中撓度曲面差三維圖上形成了一個(gè)尖峰，處于坐標(biāo)（0.5，0.5）位置，與假設(shè)損傷的位置相同，驗(yàn)證了撓度曲面差可以用于損傷定位。進(jìn)一步來說，荷載P沿梁縱向移動(dòng)，當(dāng)P位于損傷處時(shí)，發(fā)生的撓度差最大，差值依次向梁端支座遞減，說明梁上各點(diǎn)的位移影響線和撓度曲線對損傷的敏感度不同，且敏感度與損傷的位置有關(guān)，這有利于損傷定位。

圖6 簡支梁撓度曲面差（解析形式）Fig.6 Difference of deflection surfaces of the simply supported beam (analytical form)

1.3 撓度曲面的矩陣表示

實(shí)際工程上的橋型往往更復(fù)雜，難以通過理論推導(dǎo)獲取式（4）所示的解析解，構(gòu)建連續(xù)曲面。此外，考慮測試難度和成本因素，通常只能布設(shè)一定數(shù)目的撓度測點(diǎn)，因此可以采用矩陣形式來表示撓度曲面。不失一般性，此時(shí)無需建立橋梁的有限元模型或力學(xué)模型，只須對無損和損傷橋梁進(jìn)行移動(dòng)荷載加載，并記錄測試點(diǎn)截面的撓度，比起解析解來說更為實(shí)用和方便。若需要更光滑的撓度曲面，只須增加測點(diǎn)數(shù)目即可。

比如將圖1 簡支梁劃分為20 梁段，布設(shè)21 個(gè)測點(diǎn)（1 和21 號(hào)點(diǎn)為支座處，豎向撓度恒為0），如圖7所示。分別求得無損和損傷梁在移動(dòng)荷載P作用下的撓度值，組成21×21 階的撓度矩陣。對損傷前后的撓度矩陣做差，得到撓度矩陣差，也為一個(gè)同維度矩陣。由于撓度矩陣中每個(gè)元素都包含有撓度測試位置與荷載位置信息，因此可以采用撓度矩陣差來繪制撓度曲面差，如圖8 所示。

圖7 單跨簡支梁梁段劃分和測點(diǎn)布設(shè)Fig.7 Beam segment layout and measurement points of the single-span simply supported beam

對比圖7、圖8 可見，兩個(gè)撓度曲面差一致，圖8曲面尖峰的位置仍位于坐標(biāo)（0.5，0.5）處，與解析法的結(jié)果相同，說明了采用撓度矩陣表示撓度曲面的可行性。

圖8 簡支梁撓度曲面差（矩陣形式）Fig.8 Difference of deflection surfaces of the simply supported beam (matrix form)

2 連續(xù)箱梁橋撓度曲面差

對于更復(fù)雜的橋梁形式，可以采用1.3 節(jié)所述的撓度矩陣來繪制撓度曲面，本節(jié)采用有限元模擬建立橋梁中常見的連續(xù)變截面箱梁橋的上部結(jié)構(gòu)模型（見圖9），研究撓度曲面差損傷定位的可行性。

圖9 兩跨變截面連續(xù)箱梁橋上部結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.9 Finite element model of the superstructure of a twospan variable cross-section continuous box girder bridge

該箱梁橋的上部結(jié)構(gòu)模型計(jì)算長度為2 m，沿縱向共劃分22 個(gè)梁段（單元），共設(shè)有21 個(gè)測點(diǎn)，荷載P=200 N 沿著測點(diǎn)依次移動(dòng)。梁材料彈性模量為2.75 GPa，密度為1 200 kg/m3，截面幾何尺寸見第3 節(jié)試驗(yàn)部分。假設(shè)單損傷和雙損傷兩個(gè)工況，位于［0.3，0.4］m 和［1.6，1.7］m 區(qū)域，損傷梁段（單元）的彈性模量降低25%。通過有限元計(jì)算得到無損梁和損傷梁的各截面撓度，構(gòu)建撓度矩陣并做差，進(jìn)而繪制撓度曲面差，如圖10 所示。由圖可見，不論是單損傷還是雙損傷工況，撓度曲面差的峰值位置均處于設(shè)定的梁段，說明撓度曲面差同樣可以對變截面箱梁橋進(jìn)行損傷定位。

由圖10 還可發(fā)現(xiàn)，連續(xù)梁結(jié)構(gòu)與簡支梁不同，當(dāng)移動(dòng)荷載作用在前者的某一跨時(shí)，會(huì)在該跨的撓度曲面上形成一個(gè)峰，同時(shí)相鄰跨的撓度曲面上生成一個(gè)谷。這是由于荷載作用跨的撓度是向下的，相鄰跨會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向上的反拱變形，即負(fù)撓度現(xiàn)象（撓度以向下為正）。與簡支梁相同的是，當(dāng)荷載作用在損傷處時(shí)，會(huì)使此處梁截面的撓度變大，撓度差以此截面為中心向兩側(cè)支座發(fā)生遞減，同時(shí)損傷越嚴(yán)重，則峰越高，谷越深。

圖10 變截面連續(xù)箱梁橋撓度曲面差Fig.10 Difference of deflection surfaces of the variable cross-section continuous box girder bridge

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 變截面連續(xù)箱梁橋模型

筆者采用有機(jī)玻璃制作了一個(gè)變截面連續(xù)箱梁橋上部結(jié)構(gòu)的模型，并進(jìn)行了靜載試驗(yàn)。兩跨箱梁計(jì)算長度為2 m，每跨包含0.85 m 的變截面段（改變腹板高度），立面線形為二次拋物線（見圖11）。有機(jī)玻璃材料的彈性模量為2.75 GPa，密度為1 200 kg/m3。沿梁長方向每0.2 m 布置1 個(gè)測點(diǎn)，共8 個(gè)撓度測點(diǎn)，測點(diǎn)下布設(shè)位移計(jì)，此時(shí)3 個(gè)支座測點(diǎn)的撓度默認(rèn)為0，無需布設(shè)位移計(jì)。采用鋼棒加重物（約108 N）方式模擬集中荷載，按測點(diǎn)順序依次移動(dòng)加載，每個(gè)荷載步下記錄所有位移計(jì)的示數(shù)，作為各梁截面的撓度，然后將獲得的撓度數(shù)據(jù)按照加載次序和測點(diǎn)位置次序排列成矩陣形式，撓度矩陣包含了支座的0 撓度值數(shù)據(jù)，進(jìn)而繪制撓度曲面，完成一次完整的試驗(yàn)流程。根據(jù)完好梁和損傷梁的撓度曲面矩陣，計(jì)算得到撓度曲面差。

圖11 變截面連續(xù)箱梁橋上部結(jié)構(gòu)模型（單位：mm）Fig.11 Superstructure model of a variable cross-section continuous box girder bridge (unit:mm)

該梁采用切割梁底板的方式模擬損傷，如圖12所示。共設(shè)置3 個(gè)損傷工況：①單損傷，將2 號(hào)測點(diǎn)處梁底板厚度削弱1.5 mm，寬度為底板全寬，長度為沿箱梁橋模型縱向20 mm；②將2 號(hào)測點(diǎn)處梁底板厚度進(jìn)一步削弱到4.0 mm，寬度和長度保持不變；③模擬雙損傷，進(jìn)一步將7 號(hào)測點(diǎn)處梁底板厚度削弱4.0 mm，寬度仍為底板全寬，長度為沿箱梁橋模型縱向20 mm。

圖12 變截面連續(xù)箱梁橋模型試驗(yàn)和損傷切口Fig.12 Experiment of the variable cross-section continuous box girder bridge model with the damage notch

變截面連續(xù)梁的撓度曲面差如圖13 所示，前2個(gè)工況撓度曲面差的峰值都出現(xiàn)在0.4 m 坐標(biāo)處，且峰值隨著底板削弱厚度的增加而升高，直觀體現(xiàn)了損傷程度的增加，即撓度曲面差可以根據(jù)峰值的高低來判斷損傷的程度。工況3 時(shí)發(fā)現(xiàn)1.6 m 坐標(biāo)處出現(xiàn)了新的峰值，說明雙損傷情況得到了很好的識(shí)別。綜上可見，本研究方法很好地定位了3 種損傷工況的梁底切口位置，特別是損傷定位過程無需建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，是一種無模型識(shí)別方法，非常便于工程實(shí)際應(yīng)用。

圖13 變截面連續(xù)箱梁橋模型撓度曲面差Fig.13 Difference of deflection surfaces of the variable cross-section continuous box girder bridge model

3.2 結(jié)果討論

由數(shù)值和試驗(yàn)?zāi)Ｐ退憷梢姡瑩p傷的存在均會(huì)導(dǎo)致簡支梁和連續(xù)梁結(jié)構(gòu)的撓度曲面差生成峰，峰的坐標(biāo)對應(yīng)了損傷的位置，峰的個(gè)數(shù)也代表了損傷數(shù)目，且峰值隨著損傷程度的增加而增加，如圖13（a，b）所示。

對試驗(yàn)箱梁橋模型的單損傷情況而言，由于測試誤差的存在，完好跨的撓度曲面上也可能產(chǎn)生許多小的局部峰值，但遠(yuǎn)小于損傷所導(dǎo)致的峰值，不影響對損傷的整體判斷。

此外，試驗(yàn)箱梁橋模型為了更貼近實(shí)際工程中傳感器數(shù)目有限的情況，測點(diǎn)數(shù)目比數(shù)值箱梁橋少一半，但并不影響損傷定位的效果，說明本方法具有較好的魯棒性?，F(xiàn)實(shí)中為了得到更光滑的撓度曲面，在布設(shè)難度和測試成本允許的情況下，增加橋梁的測點(diǎn)數(shù)目，有助于實(shí)現(xiàn)更好的判別。

4 結(jié)論

1）對梁式橋來說，橋梁形式（簡支、連續(xù)）和截面形狀（等截面、變截面）不影響本研究方法的識(shí)別效果，且識(shí)別過程無需建立橋梁有限元模型，屬于一種正向求解方法，避免了如模型修正所需的反問題求解過程，極大地方便了實(shí)際工程應(yīng)用。

2）通過撓度差曲面的峰值位置可以準(zhǔn)確判斷損傷的位置，峰值高低也一定程度體現(xiàn)了損傷程度。

3）撓度曲面的構(gòu)建采用靜力撓度數(shù)據(jù)，對測點(diǎn)數(shù)目具有一定魯棒性，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)為獲得更好的曲面形狀和識(shí)別精度，可以增設(shè)撓度測點(diǎn)。