王秋實(shí)，周勁松，肖忠民，宮 島，王騰飛，李炳劭，韓興晉，張展飛

（1.同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院 上海，201804）

（2.南洋理工大學(xué)機(jī)械與航空航天工程學(xué)院 新加坡，639798）

1 問(wèn)題的引出

軌道車輛在運(yùn)行過(guò)程中受到十分復(fù)雜的激勵(lì)。這些激勵(lì)除了來(lái)自車輛外部的軌道不平順、車輪不圓等，還來(lái)自車輛內(nèi)部的電機(jī)牽引、制動(dòng)等［1-3］。大量文獻(xiàn)都有提及電機(jī)吊掛座附近區(qū)域出現(xiàn)多處疲勞失效，并認(rèn)為這與局部彈性振動(dòng)有關(guān)［4-6］。安琪等［7］采用靜力學(xué)的方法對(duì)牽引電機(jī)振動(dòng)載荷對(duì)構(gòu)架疲勞強(qiáng)度的影響進(jìn)行了研究，結(jié)果表明電機(jī)吊座附近區(qū)域的應(yīng)力主要受電機(jī)垂向振動(dòng)載荷影響較大。夏張輝等［8］對(duì)電機(jī)懸掛系統(tǒng)進(jìn)行解耦優(yōu)化，提高了電機(jī)懸掛系統(tǒng)的隔振效果，從而降低對(duì)電機(jī)吊座的疲勞損傷。

圖1 為某城市地鐵從A 站到B 站實(shí)測(cè)的電機(jī)加速度振動(dòng)時(shí)域信號(hào)。可以看出，車輛先后經(jīng)歷了“牽引—惰行—制動(dòng)”等工況。其中，牽引工況包含了啟動(dòng)工況和額定工況。在大量已有的構(gòu)架疲勞設(shè)計(jì)方法中，啟動(dòng)工況時(shí)常被考慮為超常載荷工況而非疲勞載荷工況，導(dǎo)致啟動(dòng)工況對(duì)構(gòu)架疲勞壽命的影響被遺漏［9-11］。針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)［12］指出，在任何疲勞損傷的分析中，都有必要考慮載荷的應(yīng)用次數(shù)。對(duì)于地鐵這一類頻繁啟動(dòng)的運(yùn)營(yíng)車輛，其在相同運(yùn)營(yíng)里程下的啟動(dòng)頻次與中長(zhǎng)距離運(yùn)輸?shù)母咚賱?dòng)車組有顯著不同［13］。已有研究表明，一般啟動(dòng)牽引所致的載荷幅值往往都偏大，而載荷幅值的增加對(duì)疲勞損傷的貢獻(xiàn)呈指數(shù)增長(zhǎng)［14-16］，故開(kāi)展電機(jī)牽引振動(dòng)（含啟動(dòng)工況）對(duì)疲勞壽命的影響具有重要的工程意義。

圖1 某地鐵從A 站到B 站電機(jī)垂向振動(dòng)加速度信號(hào)Fig.1 Vertical vibration acceleration signal of a subway traction motor from station A to station B

該線路實(shí)測(cè)電機(jī)振動(dòng)信號(hào)是受電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)、軌道不平順等因素影響后的綜合振動(dòng)。因此，筆者以電機(jī)工作狀態(tài)作為唯一變量因素，旨在研究電機(jī)牽引振動(dòng)對(duì)構(gòu)架疲勞壽命的影響。另有研究表明，電機(jī)的縱向振動(dòng)對(duì)構(gòu)架的疲勞損傷貢獻(xiàn)極?。?］，故筆者不對(duì)電機(jī)的縱向振動(dòng)展開(kāi)研究。

以某地鐵車輛轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為研究對(duì)象：首先，建立構(gòu)架仿真模型，并對(duì)其進(jìn)行固有頻率與模態(tài)振型的有限元計(jì)算（finite element method，簡(jiǎn)稱FEM）；其次，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析（experimental modal analysis，簡(jiǎn)稱EMA）結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證仿真模型的正確性；然后，通過(guò)掃頻計(jì)算，以分析構(gòu)架對(duì)于電機(jī)橫、垂向振動(dòng)激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)特性，并獲得電機(jī)振動(dòng)加速度與動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)的傳遞關(guān)系；最后，截取頻率在1 300 Hz 以內(nèi)的實(shí)測(cè)電機(jī)加速度振動(dòng)信號(hào)作為輸入條件，求解出構(gòu)架局部的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度，對(duì)比分析電機(jī)在牽引工況和惰行工況下的隨機(jī)振動(dòng)對(duì)構(gòu)架疲勞壽命的影響。

2 模型的建立與驗(yàn)證

2.1 有限元模型

基于Hypermesh18.0 建立該地鐵轉(zhuǎn)向架構(gòu)架有限元模型。其中，電機(jī)安裝座、齒輪箱安裝座以及部分橫梁結(jié)構(gòu)采用四面體實(shí)體單元，其余側(cè)梁、筋板等采用二維殼單元，并保留了大量結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)。實(shí)體、殼單元數(shù)分別為286 492 和102 839，節(jié)點(diǎn)數(shù)依次為63 996 和101 933。系統(tǒng)坐標(biāo)系定義如下：車輛的前進(jìn)方向?yàn)閤軸（縱向）；y軸為水平面且垂直于x軸（橫向）；z軸垂直于水平面（垂向）。

根據(jù)振動(dòng)結(jié)構(gòu)模態(tài)分析理論，對(duì)構(gòu)架系統(tǒng)的模態(tài)特征進(jìn)行求解。對(duì)于轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，阻尼比一般為0.01～0.1［17］，可忽略阻尼比對(duì)固有頻率的影響，故無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程可表示為

設(shè)式（1）的特解為

其中：M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；u為位移矢量；φ為一個(gè)n階特征向量；ω為對(duì)應(yīng)于φ的特征值；t為時(shí)間；t0為由初始條件確定的常數(shù)。

將式（2）代入式（1），解得式（3）。計(jì)算結(jié)果為（ω1，φ1），（ω2，φ2），…，（ωn，φn）。參數(shù)ω1，ω2，…，ωn表示系統(tǒng)的固有頻率，特征向量φ1，φ2，…，φn表示系統(tǒng)的模態(tài)振型。

2.2 模態(tài)測(cè)試

為驗(yàn)證仿真模型的正確性，對(duì)構(gòu)架進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試與分析。如圖2 所示，采用柔性吊繩使轉(zhuǎn)向架懸掛脫離地面，其約束狀態(tài)可視作自由狀態(tài)。在位置點(diǎn)1 和7 粘貼三向壓電式加速度傳感器作為響應(yīng)測(cè)試點(diǎn)。采用錘擊法對(duì)構(gòu)架進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試，錘擊點(diǎn)布置在構(gòu)架的30 個(gè)關(guān)鍵幾何位置，產(chǎn)生的信號(hào)通過(guò)機(jī)箱完成采集。經(jīng)計(jì)算分析，部分模態(tài)振型如圖3 所示。

圖2 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架模態(tài)測(cè)試Fig.2 Modal test of bogie frame

圖3 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架模態(tài)分析結(jié)果Fig.3 Modal analysis results of bogie frame

2.3 分析與驗(yàn)證

采用模態(tài)置信矩陣（modal assurance criterion，簡(jiǎn)稱MAC）對(duì)理論振型與實(shí)測(cè)振型的相關(guān)性進(jìn)行如下計(jì)算

其中：φej為有限元分析結(jié)果的第j階模態(tài)振型向量；φf(shuō)k為模態(tài)測(cè)試結(jié)果的第k階模態(tài)振型向量。

MAC 計(jì)算值越接近于1，表示兩振型的相關(guān)程度越高。其相關(guān)性計(jì)算結(jié)果如表1 所示（剛體模態(tài)略去），各階模態(tài)振型所對(duì)應(yīng)的固有頻率，其理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果誤差較?。ㄗ畲笳`差為7.37%），驗(yàn)證了所建有限元模型的準(zhǔn)確性。

表1 有限元模態(tài)分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Modal analysis results of FEM and EMA

3 隨機(jī)振動(dòng)分析

轉(zhuǎn)向架構(gòu)架疲勞壽命的計(jì)算與校核方法主要有基于靜應(yīng)力和動(dòng)應(yīng)力的方法。文獻(xiàn)［12，18］等強(qiáng)度設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為靜應(yīng)力的分析方法，該方法雖簡(jiǎn)單實(shí)用，但是忽略了共振疲勞的影響?；趧?dòng)應(yīng)力的方法主要有準(zhǔn)靜態(tài)法、時(shí)域法和頻域法。

1）準(zhǔn)靜態(tài)法僅適用于分析加載頻率遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)固有頻率的工程問(wèn)題，通過(guò)應(yīng)用單位載荷作用下的準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)系數(shù)與隨機(jī)載荷譜得出評(píng)估點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)。

2）時(shí)域法是通過(guò)輸入隨機(jī)載荷時(shí)譜，應(yīng)用模態(tài)疊加法或者直接積分法得到各點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)。在處理較長(zhǎng)的時(shí)間歷程時(shí)，采用時(shí)域的方法需要占用大量的運(yùn)算時(shí)間與儲(chǔ)存空間。

3）頻域法將時(shí)域信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)經(jīng)傅里葉變換得到頻域內(nèi)的功率譜密度函數(shù)（power spectral density，簡(jiǎn)稱PSD），以此作為輸入條件，結(jié)合頻響函數(shù)矩陣，求得構(gòu)架某節(jié)點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度。

由于線路全程（約25 km）的載荷時(shí)域信號(hào)較長(zhǎng)，采用時(shí)域法很難完成分析，故筆者選擇頻域分析方法。

3.1 功率譜密度的獲得

工程上通常把軌道車輛的振動(dòng)過(guò)程視為廣義平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程。時(shí)域信號(hào)q（t）的自相關(guān)函數(shù)Rqq（τ）取決于時(shí)間差τ=t2-t1，且與功率密度譜Sqq（ω）為傅里葉變換對(duì)

在某地鐵運(yùn)營(yíng)線上，通過(guò)粘貼壓電式加速度傳感器（圖4）與數(shù)采機(jī)箱（圖5），測(cè)得牽引電機(jī)的垂向與橫向加速度振動(dòng)信號(hào)，包含電機(jī)在牽引與惰行工況時(shí)的振動(dòng)信號(hào)。因此，分別截取牽引工況與惰行工況下的加速度振動(dòng)信號(hào)，經(jīng)轉(zhuǎn)換后獲得加速度功率密度譜，如圖6、圖7 所示。

圖4 牽引電機(jī)加速度測(cè)點(diǎn)Fig.4 Acceleration measuring point of traction motor

圖5 數(shù)字采集機(jī)箱Fig.5 Digital acquisition chassis

由圖6、圖7 可以看出，PSD 表征了該隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程中，牽引電機(jī)振動(dòng)能量主要分布在250 Hz 以內(nèi)，以垂向振動(dòng)為主，橫向振動(dòng)幅值相比垂向振動(dòng)幅值小了一個(gè)數(shù)量級(jí)。牽引工況時(shí)，垂向峰值最大值為7.041，橫向峰值最大值為0.270；惰行工況時(shí)，垂向峰值最大值為5.720，橫向峰值最大值為0.181。可知，牽引工況下，電機(jī)的振動(dòng)明顯增強(qiáng)。

圖6 電機(jī)垂向加速度功率密度譜Fig.6 PSD of motor vertical acceleration

圖7 電機(jī)橫向加速度功率密度譜Fig.7 PSD of motor horizontal acceleration

3.2 理論分析

由振動(dòng)理論可知，將加速度作為隨機(jī)振動(dòng)輸入條件的方法有定點(diǎn)激勵(lì)法與相對(duì)運(yùn)動(dòng)法。定點(diǎn)激勵(lì)需要將電機(jī)加速度轉(zhuǎn)換為絕對(duì)力或者力矩再進(jìn)行施加，而目前沒(méi)有較好的針對(duì)剛性連接電機(jī)的絕對(duì)激勵(lì)力識(shí)別的方法。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)法則是通過(guò)在載荷激勵(lì)點(diǎn)進(jìn)行全約束，并在整體系統(tǒng)上施加一個(gè)加速度場(chǎng)，以實(shí)現(xiàn)構(gòu)架與電機(jī)激勵(lì)點(diǎn)之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的模擬，即等效于載荷激勵(lì)點(diǎn)以所施加的加速度場(chǎng)同等大小的加速度進(jìn)行振動(dòng)。筆者采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法，直接使用實(shí)測(cè)電機(jī)加速度振動(dòng)信號(hào)作為激勵(lì)條件，定性分析電機(jī)振動(dòng)對(duì)構(gòu)架結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度的影響。

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)譜分析理論，構(gòu)架上某點(diǎn)的應(yīng)力功率譜密度矩陣［19-20］可表示為

其中：H（fσ）為應(yīng)力頻響函數(shù)矩陣；（f）為H（fσ）的共軛復(fù)數(shù)；（f）為H（fσ）的轉(zhuǎn)置；Gσ（fσ）為動(dòng)應(yīng)力單邊功率譜密度；G（fa）為加速度單邊功率譜密度。

對(duì)于構(gòu)架上某點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)輸出與電機(jī)振動(dòng)加速度輸入之間的頻響函數(shù)矩陣，可通過(guò)有限元計(jì)算方法求得。

3.3 振動(dòng)特性分析

應(yīng)用ANSYS14.0 隨機(jī)振動(dòng)分析模塊對(duì)構(gòu)架進(jìn)行振動(dòng)特性分析。根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)法理論，對(duì)電機(jī)質(zhì)心進(jìn)行x，y，z方向的約束，并在構(gòu)架系統(tǒng)分別施加+y，+z方向單位幅值的正弦加速度場(chǎng)進(jìn)行掃頻，范圍設(shè)在0～1 300 Hz。

圖8 為掃頻結(jié)束后輸出的動(dòng)應(yīng)力均方根（root mean square，簡(jiǎn)稱RMS）σRMS的云圖。選取動(dòng)應(yīng)力均方根主要集中區(qū)域的3 個(gè)節(jié)點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)P1，P2，P3進(jìn)行分析。關(guān)鍵點(diǎn)P1位于電機(jī)吊掛座的下側(cè)螺栓安裝座過(guò)渡圓角處；關(guān)鍵點(diǎn)P2位于電機(jī)安裝座根部（與橫梁圓角結(jié)合處）；關(guān)鍵點(diǎn)P3位于構(gòu)架側(cè)梁下底板中部（與構(gòu)架橫梁圓角過(guò)渡處）。

圖8 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架應(yīng)力均方根云圖Fig.8 RMS stress cloud diagram for bogie frame

分別提取P1，P2，P3在+y和+z方向掃頻載 荷激勵(lì)下的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)進(jìn)行分析（能量主要集中在250 Hz以內(nèi)）。由圖9～11可知，構(gòu)架的第2 階（56.066 Hz）、第7 階（84.279 Hz）模態(tài)受電機(jī)垂向振動(dòng)而產(chǎn)生較大振動(dòng)；構(gòu)架的第6 階（78.885 Hz）模態(tài)受電機(jī)橫向振動(dòng)而產(chǎn)生較大振動(dòng)。

圖9 P1點(diǎn)在單位幅值正弦載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)Fig.9 Stress response of interest point P1 under unit amplitude sinusoidal load

圖10 P2點(diǎn)在單位幅值正弦載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)Fig.10 Stress response of interest point P2 under unit amplitude sinusoidal load

圖11 P3點(diǎn)在單位幅值正弦載荷作用下的應(yīng)力響應(yīng)Fig.11 Stress response of interest point P3 under unit amplitude sinusoidal load

總結(jié)各關(guān)鍵點(diǎn)共振模態(tài)可以發(fā)現(xiàn)，距離電機(jī)越近的節(jié)點(diǎn)（與電機(jī)距離為P1＜P2＜P3），發(fā)生共振的模態(tài)階數(shù)明顯更多（共振頻率數(shù)量為P1＞P2＞P3），這說(shuō)明電機(jī)牽引振動(dòng)對(duì)構(gòu)架的影響主要為局部彈性共振。因此，定性地分析構(gòu)架結(jié)構(gòu)對(duì)于電機(jī)橫、垂向振動(dòng)激勵(lì)下的振動(dòng)特性可為車輛局部結(jié)構(gòu)抗疲勞設(shè)計(jì)提供參考。

3.4 構(gòu)架關(guān)鍵點(diǎn)隨機(jī)振動(dòng)分析

根據(jù)圖6、圖7 所示的實(shí)測(cè)橫向、垂向加速度振動(dòng)信號(hào)，采用上述方法求解實(shí)際運(yùn)行中構(gòu)架隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的動(dòng)應(yīng)力功率譜密度。提取關(guān)鍵點(diǎn)P1，P2，P3在牽引工況與惰行工況下的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)，繪制雙對(duì)數(shù)功率譜密度，如圖12～14 所示，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 關(guān)鍵點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)的部分峰值與頻率Tab.2 Peak and frequency of dynamic stress response of the key point

圖12 關(guān)鍵點(diǎn)P1動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)Fig.12 Power density spectrum of P1 dynamic stress response

結(jié)果表明，在牽引和惰行工況下，關(guān)鍵點(diǎn)P1，P2，P3的主頻率一致。構(gòu)架的振動(dòng)能量主要集中于第7階（84.279 Hz）、第6 階（78.885 Hz）模態(tài)，對(duì)構(gòu)架疲勞損傷貢獻(xiàn)較大。由振動(dòng)特性分析可知：第7 階模態(tài)受電機(jī)垂向振動(dòng)所激起；第6 階模態(tài)受電機(jī)橫向振動(dòng)所激起。因此，構(gòu)架疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)中，電機(jī)的橫向振動(dòng)對(duì)構(gòu)架疲勞壽命的影響同樣不可忽視。

圖13 關(guān)鍵點(diǎn)P2動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)Fig.13 Power density spectrum of P2 dynamic stress response

圖14 關(guān)鍵點(diǎn)P3動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)Fig.14 Power density spectrum of P3 dynamic stress response

4 疲勞損傷與壽命計(jì)算

對(duì)于頻域的振動(dòng)疲勞損傷計(jì)算，采用基于頻域統(tǒng)計(jì)的譜密度方法。按照Miner 線性累積損傷理論，疲勞損傷計(jì)算式［21-22］表示為

其中：D為疲勞累積損傷；E（P）為單位時(shí)間內(nèi)的峰值數(shù)量，可通過(guò)功率譜密度的二階譜矩m2、四階譜矩m4求得；T為時(shí)間；C，m為S-N 曲線參數(shù)；Sa為某應(yīng)力范圍；f（Sa）為某應(yīng)力范圍的概率密度。

對(duì)于寬帶信號(hào)，應(yīng)力范圍的概率密度f(wàn)（Sa）計(jì)算采用Dirlik 公式的計(jì)算方法較為可靠［23］。

提取3.4 節(jié)中計(jì)算所得關(guān)鍵點(diǎn)P1，P2和P3的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)，并導(dǎo)入MSC Fatigue 分析軟件進(jìn)行壽命計(jì)算。由于關(guān)鍵點(diǎn)P1，P2和P3均屬于母材區(qū)域，參照BS 7608—2015 焊接結(jié)構(gòu)疲勞分析標(biāo)準(zhǔn)，選定S-N 曲線等級(jí)為B，對(duì)參數(shù)進(jìn)行設(shè)置［24］。設(shè)損傷極限為1，按照式（9）對(duì)構(gòu)架進(jìn)行了壽命計(jì)算

計(jì)算結(jié)果如表3 所示。惰行工況下，考慮頻率在1 300 Hz 以內(nèi)的振動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)P1的疲勞壽命為9.26×105h；牽引工況下（含啟動(dòng)工況），壽命為3.78×103h。關(guān)鍵點(diǎn)P1的疲勞壽命減少了99.59%，關(guān)鍵點(diǎn)P2的疲勞壽命減少99.66%，關(guān)鍵點(diǎn)P3的疲勞壽命減少99.19%。相比惰行工況，牽引工況下的構(gòu)架關(guān)鍵位置的疲勞壽命大幅減少。地鐵構(gòu)架設(shè)計(jì)需要充分考慮電機(jī)牽引振動(dòng)對(duì)疲勞壽命的影響。

表3 牽引工況與惰行工況下的疲勞壽命Tab.3 Comparison of fatigue life under traction condition and idle running condition

5 結(jié)論

1）電機(jī)牽引振動(dòng)作用下，構(gòu)架疲勞強(qiáng)度薄弱位置位于電機(jī)吊掛座的下側(cè)螺栓安裝座過(guò)渡圓角處、電機(jī)安裝座根部（與橫梁圓角結(jié)合處）以及構(gòu)架側(cè)梁下底板中部（與構(gòu)架橫梁圓角過(guò)渡處）。

2）構(gòu)架的第6、第7 階模態(tài)對(duì)構(gòu)架的疲勞損傷貢獻(xiàn)較大。其中：第7 階模態(tài)受電機(jī)垂向振動(dòng)所激起；第6 階模態(tài)受電機(jī)橫向振動(dòng)所激起。因此，在構(gòu)架抗疲勞設(shè)計(jì)中，電機(jī)垂向振動(dòng)和橫向振動(dòng)對(duì)構(gòu)架疲勞壽命的影響均不可忽視。

3）相比于惰行工況，牽引工況下（包含啟動(dòng)工況時(shí)）的構(gòu)架疲勞壽命大幅減少，對(duì)疲勞壽命的影響較大。因此，地鐵構(gòu)架設(shè)計(jì)需要充分考慮電機(jī)牽引振動(dòng)對(duì)疲勞壽命的影響。