陳維樂,都海波

(合肥工業(yè)大學電氣與自動化工程學院,安徽合肥 230000)

1 引言

滑?？刂品椒ň哂性O計簡單、強魯棒性等優(yōu)良性質,因此受到廣泛的研究和應用[1-6].然而,早期的一階滑?？刂拼嬖谥恍┎蛔?尤其是由不連續(xù)性帶來的抖振現(xiàn)象.后來,一些學者提出了二階滑?？刂坪透唠A滑?？刂芠7-13],二階滑?？刂坪透唠A滑模控制是一階滑?？刂频耐茝V,既有傳統(tǒng)一階滑模強魯棒性的特點,同時大大消除了抖振,因此得到了越來越多的關注.在二階滑模控制算法中,超螺旋算法(supertwisting algorithm,STA)因其良好的性質得到廣泛的研究和應用[11-20].

以上分析的滑?？刂茊栴}都集中在設計連續(xù)時間形式的控制器上.然而,在實際中,越來越多的控制器實現(xiàn)是基于數(shù)字計算機的采樣控制方式[21-22],因此對離散時間下的滑模控制,即離散滑?？刂?discretetime sliding mode control,DSMC),進行設計和分析具有重要意義.離散滑?？刂圃诓煌蓸娱g隔內控制信號“凍結”,固有的有限開關頻率將導致抖振(鋸齒形)運動[23],使得使用不連續(xù)符號函數(shù)的有限時間收斂的性質不再成立.

在此背景下,主要有二種設計離散滑模的方法.其中一種是離散時間設計方法,首先對動力系統(tǒng)進行離散化,然后在離散時間域中設計滑模面,這種設計很大程度上是因為采用了較大的采樣周期,其動力學和連續(xù)情況下有很大的不同.在文獻[24]中研究了擬滑動模態(tài)和擬滑動模帶,嚴格定義了有關離散滑模控制的術語,并基于一種趨近律方法建立了單輸入離散時間系統(tǒng)的一個新的趨近條件.由于離散化的影響,不可避免的要對擾動進行估計,以增強系統(tǒng)的魯棒性.文獻[25-26]提出了帶擾動補償器的離散趨近律,從而減小了抖振,提高了控制精度.文獻[27-28]研究了基于高階滑模的離散微分器(觀測器).另一種是連續(xù)滑?？刂频碾x散化,其中的滑模設計是在連續(xù)時間域中進行的,然后通過離散化實現(xiàn).文獻[29-30]分別研究了離散化對基于等效控制的單輸入和多輸入滑?？刂葡到y(tǒng)動力學行為的影響.文獻[31]研究了具有匹配不確定性的基于等效控制的滑?？刂葡到y(tǒng)的離散化行為,研究了具有匹配常數(shù)和周期不確定性的系統(tǒng)的一些固有的動態(tài)周期特性.文獻[32]將連續(xù)終端滑模控制離散化,給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的顯式有界性,建立了控制參數(shù)與穩(wěn)態(tài)有界性之間的關系,證明離散時間的終端滑模系統(tǒng)比離散時間的線性滑模系統(tǒng)能提供更高的輸出跟蹤精度.

本文的主要目的在于研究離散超螺旋控制算法并加以改進.文獻[27,33]等已證明離散超螺旋控制算法的控制精度為O(T2),然而在這些論文中,并沒有完全考慮到有限開關頻率的影響,即假設2.在此意義下,能否對標準超螺旋算法加以改進,提高控制精度具有重要研究價值.本文的主要貢獻是利用齊次系統(tǒng)理論在標準超螺旋算法的基礎上增加一個參數(shù),使得原來的符號函數(shù)項轉變?yōu)檫B續(xù)非光滑項,設計了離散非光滑控制器(discrete-time non-smooth controller,DNC),從理論上分析了影響控制精度的本質原因,并在此基礎上對附加參數(shù)的選擇進行了分析,揭示了本文設計的改進離散非光滑控制器能提供比離散超螺旋控制器(discrete-time super-twisting controller,DSTC)更高控制精度的原因.最后,仿真驗證了理論的正確性.

2 預備知識

這部分主要介紹一些定義和引理,以便于之后的證明和解釋說明.

定義1[34](Sig函數(shù)) 為了便于書寫,定義于擴張(r1,···,rn)有齊次度k.

引理1[36]考慮如下系統(tǒng):

其中f(·):Rn →Rn是一個連續(xù)函數(shù).假設存在一個正定連續(xù)函數(shù)V(x):U →R,有實數(shù)c>0和α ∈(0,1),并且存在一個包含原點開區(qū)域U0?U使得˙V(x)+c(V(x))α≤0,x ∈U0{0}.那么V(x)將在有限時間內到達0.此外,有限收斂時間T滿足

下面的不等式引理是直接借用文獻[38-39],或者在此基礎上做了一些小小的改進.

3 離散超螺旋控制算法

考慮如下一階系統(tǒng):

其中:u(t)是控制輸入,f(t)是外部擾動,并且滿足以下假設.

假設1f(t)光滑可導,且滿足

其中L是已知常數(shù).

本文的主要目標是設計一類采樣控制器實現(xiàn)對系統(tǒng)(4)的鎮(zhèn)定控制.采樣控制方式使用最常見的零階保持器

其中:tk,tk+1是采樣時刻點,T是采樣周期.對于采樣周期,一般滿足下列假設.

假設2已知存在一個最小采樣周期T?,使得

其中T是系統(tǒng)實際能夠設置的采樣周期.

本文的目標是針對系統(tǒng)(4)設計一種改進的離散超螺旋控制方法,以減小抖振,獲得更高的控制精度.首先,針對系統(tǒng)(4),對離散超螺旋算法進行回顧.

具體地,控制器設計為

文獻[33]已證明其控制精度可以到達O(T2).接下來,本文將在式(7)的基礎上加以擴展,提出一種改進的離散超螺旋控制方法,使系統(tǒng)在采樣控制方式下?lián)碛懈叩木?

4 改進的離散超螺旋控制方法

通過運用齊次系統(tǒng)理論,增加了一個參數(shù),擴展了標準離散超螺旋控制方法.本節(jié)將證明在采樣控制下,本文所設計的改進方法能夠使系統(tǒng)有更高的控制精度.

定理1對于一階系統(tǒng)(4),如果采樣控制器設計為

其中-1/2<τ <0,并且增益滿足

那么系統(tǒng)輸出將在有限時間收斂到如下區(qū)域:

其中c1,c2是與控制參數(shù)相關的常數(shù).

證將控制器(8)代入系統(tǒng)(4)中,可以得到系統(tǒng)狀態(tài)的精確迭代公式

那么式(11)將轉化為

x1(t),x2(t)是系統(tǒng)狀態(tài).顯然,系統(tǒng)(14)被拆分成了兩部分,一部分是連續(xù)時間控制器,一部分為采樣控制造成的誤差.為了便于證明,可以先討論連續(xù)系統(tǒng)部分的穩(wěn)定性分析,亦即采樣時間為0情況下的穩(wěn)定性分析.具體的證明過程可見附錄.

命題1沿著如下的連續(xù)時間閉環(huán)系統(tǒng):

其中:γ6為正的常數(shù),ξ=11+τ -x2.

基于命題1,使用與式(17)相同的李雅普諾夫函數(shù),沿著系統(tǒng)方程(14)對V求導,得到

接下來,將證明系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間內收斂到該集合.

如果系統(tǒng)不在該集合內,這意味著

屬于有限時間收斂,因此,無論第2種情況是否發(fā)生,都有

其中常數(shù)c滿足0

證畢.

注1對于閉環(huán)系統(tǒng)(18),即是本文所設計的離散超螺旋閉環(huán)控制系統(tǒng)的連續(xù)時間形式(亦即采樣周期為0),根據(jù)齊次系統(tǒng)的定義,當干擾d=0時,該閉環(huán)系統(tǒng)對擴張(1,1+τ)具有齊次度τ.因此,本文所提出的離散超螺旋控制算法是基于齊次系統(tǒng)理論設計出的.此外,和傳統(tǒng)的連續(xù)形式超螺旋控制系統(tǒng)對比,該系統(tǒng)增加了一個附加參數(shù)τ,基于式(19),可以看出該額外的參數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產生影響.

注2從式(38)可知,系統(tǒng)輸出最終將收斂到和所限定的邊界內,前者表征著非光滑項帶來的抖振影響,后者表征著外在擾動對系統(tǒng)的影響.考慮到?1/2<τ <0,討論下面2種情況.

1) 如果τ=?1/2,控制器(7)轉變?yōu)殡x散超螺旋控制器,那么系統(tǒng)狀態(tài)邊界為

2) 如果τ=0,此時控制器(7)轉變?yōu)殡x散線性控制器,狀態(tài)邊界為

由式(38)(47)-(48)可知,在離散系統(tǒng)中,無論是線性項還是非線性項(符號函數(shù))都是針對抖振或者擾動的其中之一有效,而對另一面則會產生較大的誤差.一般采樣周期遠小于擾動,所以一般情況下,離散超螺旋控制器的控制精度上遠高于離散線性控制器.

本文在上述2種算法的基礎上,采用了一種折衷的方式,引入了非光滑項,通過調節(jié)τ在抖振和外部干擾抑制性能之間取得了一種平衡,使得整體穩(wěn)態(tài)誤差界變小.τ由下式確定

5 仿真

在仿真中,假設外界擾動為f(t)=-sint+0.5 cos(2t),則=|-cost-sin(2t)|≤2,即L=2.假設最小采樣周期滿足T?=0.001 s.為了驗證所提算法的高精度,將本文提出的離散非光滑控制器(DNC)與標準的離散超螺旋控制器(DSTC)作比較,并選擇較大初始狀態(tài),觀察最后的誤差范圍.系統(tǒng)初值:x(0)=100.控制器參數(shù):k1=6,k2=8,v(0)=0,τ由式(49)決定.

系統(tǒng)輸出曲線和控制輸入曲線如圖1所示,可以直觀地看出,在不同采樣周期下,本文提出的離散非光滑控制器穩(wěn)定狀態(tài)時的誤差界都顯著小于離散超螺旋控制器.此外,圖1中系統(tǒng)輸出曲線最后的誤差界整理在表1中,從表中誤差界的大小關系可以看出,通過調節(jié)τ的取值可以將誤差界顯著減小,說明了本文的改進算法可以實現(xiàn)更高的控制精度目標.

圖1 在不同采樣周期T情況下,離散超螺旋控制器(DSTC)和離散非光滑控制器(DNC)作用下的系統(tǒng)輸出和控制輸入Fig.1 Under the case of different sampling periods T,the system output and control input under the action of discrete-time super-twisting controller (DSTC) and discrete-time non-smooth controller(DNC)

表1 2種算法下系統(tǒng)最終收斂的誤差界及其比較Table 1 The bounds of the final convergence of the system errors under two algorithms and their comparison

6 總結

本文針對一階系統(tǒng)的采樣控制提出了一種改進的離散超螺旋控制方法.首先,在超螺旋控制算法的基礎上,利用齊次控制理論,通過調節(jié)附加參數(shù)來提高控制精度.然后,通過構造合適的李雅普諾夫函數(shù),定量地分析了采樣周期和外在擾動對控制精度的影響,并給出了附加參數(shù)的整定方法,證明了本文的改進算法精度高于標準離散超螺旋控制算法.最后,仿真驗證了理論分析的正確性.

附錄 命題1的證明

首先,結合引理2,給出V1的導數(shù)為