陳顯鋒,孫京誥,張海峰

(華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,上海 200237;華東理工大學(xué)能源化工過程智能制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200237)

1 引言

出于提高化工生產(chǎn)效率的目的,復(fù)雜化工過程控制的經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)被愈發(fā)重視,且此類系統(tǒng)通常伴隨強(qiáng)非線性、工藝約束條件復(fù)雜等特性,導(dǎo)致控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)極具挑戰(zhàn).為了應(yīng)對(duì)這些挑戰(zhàn),非線性模型預(yù)測(cè)控制(nonlinear model predictive control,NMPC)利用過程數(shù)學(xué)模型,采用在線優(yōu)化的方式,將操作約束、系統(tǒng)非線性及經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)等多個(gè)方面同時(shí)考慮在內(nèi),以確定最優(yōu)控制輸入[1].然而,經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)往往伴隨著系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)行于可行域的邊界[2],進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)性能顯著惡化,甚至在模型不確定性的影響下造成經(jīng)濟(jì)損失和安全問題[2-3].

考慮到復(fù)雜系統(tǒng)存在嚴(yán)格的狀態(tài)量及輸出量約束,額外的魯棒性裕度應(yīng)被引入以抵消模型不確定性的影響.最大最小方法一定程度上增強(qiáng)了NMPC的魯棒性[3],該方法通過最小化最壞情況下的損失函數(shù)獲取最優(yōu)控制輸入軌跡,同時(shí)確保可靠的約束滿足,但優(yōu)化是以開環(huán)方式針對(duì)最壞情況執(zhí)行的,并未利用任何的反饋信息,通常導(dǎo)致解決方案較為保守.

在文獻(xiàn)[4]中作者認(rèn)為不確定性的有效處理需要反饋模型,因此通過求解開環(huán)優(yōu)化問題計(jì)算的控制輸入軌跡并不是最優(yōu)的.Lucia等人提出的多階段非線性模型預(yù)測(cè)控制(multi-stage nonlinear model predictive control,MSNMPC)[5]提供了一種利用反饋信息閉環(huán)優(yōu)化的思路,該方法通過將預(yù)測(cè)時(shí)域上的不確定性傳播用離散的場(chǎng)景樹表示,然后針對(duì)不同的場(chǎng)景計(jì)算不同的控制輸入軌跡.即MSNMPC式明確考慮了新的信息在未來的時(shí)間步中將變得可用,并且新的最優(yōu)控制輸入將被重新計(jì)算.這一概念在隨機(jī)規(guī)劃中通常被稱為追索權(quán)[6],是不確定條件下最優(yōu)決策的一個(gè)重要性質(zhì).

對(duì)于各種應(yīng)用場(chǎng)景,MSNMPC方法已被證明比傳統(tǒng)的最小-最大NMPC方法具有更低的保守性[7-9].且文獻(xiàn)[10]中給出了MSNMPC方法的穩(wěn)定性和遞歸可行性的嚴(yán)格證明.盡管如此,為了確保場(chǎng)景樹中考慮的所有場(chǎng)景都滿足魯棒性約束,MSNMPC提供的解決方案仍將是保守的.選擇場(chǎng)景樹中不確定性的離散實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景的常用方法是使用不確定參數(shù)的最大值、最小值和標(biāo)稱值的組合.如果不確定參數(shù)考慮的范圍很大,則場(chǎng)景樹建模的跨度也很大,對(duì)于時(shí)不變的不確定性參數(shù),該解決方案將是保守的,盡管與傳統(tǒng)的最小-最大NMPC相比不那么保守.

半間歇聚合反應(yīng)過程具有非線性、不確定性等復(fù)雜特性,如何在確保約束滿足的條件下(如:溫度約束、安全約束等),提升過程的生產(chǎn)效率是目前研究的重點(diǎn)[11].不同批次反應(yīng)過程之間相對(duì)獨(dú)立,不確定參數(shù)在每個(gè)新的批次中是未知的常數(shù)(或較小范圍波動(dòng)),對(duì)于這類問題可能需要從自適應(yīng)框架而不是魯棒框架來處理,典型的自適應(yīng)控制框架涉及參數(shù)估計(jì)器的使用,該參數(shù)估計(jì)器在線調(diào)整不確定參數(shù),使得它漸近收斂于真實(shí)系統(tǒng)[12].受到文獻(xiàn)[13-14]中自適應(yīng)魯棒方法的啟發(fā),本文采用更新不確定性特征,而非不確定性參數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)低保守性的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測(cè)控制.

對(duì)應(yīng)于自適應(yīng)魯棒方法估計(jì)不確定性參數(shù)的所有可能值的不確定集的處理方式,本文提出了一種基于遞歸貝葉斯概率方法更新場(chǎng)景樹,該方法在每個(gè)時(shí)間步計(jì)算場(chǎng)景樹中每個(gè)場(chǎng)景的模型預(yù)測(cè)信息與實(shí)際過程輸出測(cè)量信息的偏差,為不同場(chǎng)景計(jì)算和分配貝葉斯權(quán)重;然后利用權(quán)重信息以固定步長(zhǎng)更新場(chǎng)景來縮小場(chǎng)景樹的跨度.即通過計(jì)算不同不確定性離散實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景的貝葉斯權(quán)重,逐漸消除不確定性集合中發(fā)生概率較低的情況,使得場(chǎng)景樹的跨度隨著時(shí)間的推移而縮小,從而降低標(biāo)準(zhǔn)的MSNMPC方法的保守性.總而言之,這是一種基于可用度量和模型預(yù)測(cè)在線更新場(chǎng)景樹的直觀方法.

2 魯棒的MSNMPC框架

MSNMPC是一種閉環(huán)魯棒控制方法,如圖1所示,它將不確定性參數(shù)在時(shí)間上的演變過程通過場(chǎng)景樹的形式表示,該樹在每個(gè)預(yù)測(cè)步驟中針對(duì)不確定性極值的組合進(jìn)行分支,其中不確定性可能是參數(shù)擾動(dòng)或外界干擾.假設(shè)過程全狀態(tài)可測(cè)量或估計(jì),由樹結(jié)構(gòu)可以看出未來的控制輸入可根據(jù)先前的狀態(tài)信息做出調(diào)整,在一定的范圍內(nèi)抵消不確定性的影響.場(chǎng)景樹結(jié)構(gòu)不一定代表時(shí)變的不確定性或干擾,但它反映了一個(gè)事實(shí),如果不確定性在當(dāng)前采樣時(shí)刻是未知的,那么在下一個(gè)采樣時(shí)刻也是未知的.因此一個(gè)隨時(shí)間變化的新的場(chǎng)景樹必須被考慮.

圖1 MSNMPC的場(chǎng)景樹結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Scenario tree structure of MSNMPC

在場(chǎng)景樹設(shè)定下,假設(shè)具有不確定性的非線性系統(tǒng)的離散時(shí)間式如下所示:

由上式可知時(shí)間步k+1的狀態(tài)是關(guān)于前一時(shí)間步的狀態(tài),控制輸入以及不確定性的函數(shù).假設(shè)場(chǎng)景樹在所有節(jié)點(diǎn)上具有相同數(shù)量的分支,在時(shí)間步k由給出不確定性的S個(gè)不同可能值.Si表示從根節(jié)點(diǎn)x0到其中一個(gè)葉節(jié)點(diǎn)的第i個(gè)場(chǎng)景.構(gòu)建場(chǎng)景樹的合理策略是將不確定性極值的所有可能組合視為分支.隨著預(yù)測(cè)時(shí)域的增加,優(yōu)化問題的規(guī)模呈指數(shù)增加.通過假設(shè)不確定性在特定魯棒時(shí)域后保持不變,以縮小優(yōu)化問題的規(guī)模[5].這種簡(jiǎn)化的主要思想是,由于NMPC的滾動(dòng)時(shí)域特性,對(duì)未來較遠(yuǎn)時(shí)刻非常精確地建模并不是關(guān)鍵,因?yàn)樽顑?yōu)控制輸入都將在下一個(gè)采樣時(shí)刻被重新計(jì)算.

在每個(gè)時(shí)間步k基于場(chǎng)景的多階段式的最優(yōu)控制問題可以表示為

其中:I表示場(chǎng)景樹所覆蓋的節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的所有索引組合(j,k),S表示場(chǎng)景的數(shù)目,wi為每個(gè)場(chǎng)景Si對(duì)應(yīng)的權(quán)重.表示對(duì)場(chǎng)景樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)和控制的非線性約束.為了正確地表示實(shí)時(shí)決策問題,控制輸入不能預(yù)測(cè)在相應(yīng)決策點(diǎn)之后實(shí)現(xiàn)的不確定性的值,因此非預(yù)期約束式(2d)要求具有相同父節(jié)點(diǎn)的控制輸入也必相等,以便施加正確的控制器因果關(guān)系.對(duì)于半間歇聚合反應(yīng)過程,帶有權(quán)重wi的每個(gè)場(chǎng)景Si的損失函數(shù)定義如下:

其中:Np為預(yù)測(cè)時(shí)域,損失函數(shù)由狀態(tài)變量跟蹤的懲罰項(xiàng)和控制變量變化的懲罰項(xiàng)組成,Q和R分別為對(duì)應(yīng)的對(duì)角加權(quán)矩陣.

3 在線場(chǎng)景更新的MSNMPC

傳統(tǒng)的MSNMPC通常選擇不確定性參數(shù)極值的組合作為場(chǎng)景樹中不確定性傳播的場(chǎng)景.一旦確定了不確定性參數(shù)及其范圍,固定的場(chǎng)景樹也就隨之生成.如果不確定性參數(shù)變化范圍很大,場(chǎng)景樹的表示范圍也會(huì)很廣.但對(duì)于時(shí)不變的不確定性參數(shù),該解決方案顯然過于保守.

提出的在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法,其結(jié)構(gòu)如圖2所示.在每個(gè)時(shí)間步k中,通過求解式(2)中的優(yōu)化問題獲取最優(yōu)控制輸入應(yīng)用于實(shí)際過程和S個(gè)場(chǎng)景的預(yù)測(cè)模型中,然后根據(jù)每個(gè)場(chǎng)景的模型預(yù)測(cè)信息y(k,j)和實(shí)際過程的測(cè)量信息yk計(jì)算場(chǎng)景偏差,利用場(chǎng)景偏差計(jì)算貝葉斯概率權(quán)重,根據(jù)權(quán)重信息以固定的步長(zhǎng)在線更新場(chǎng)景以預(yù)測(cè)不確定性值的真實(shí)實(shí)現(xiàn),使場(chǎng)景樹建模逼近不確定性的真實(shí)值.

圖2 MSNMPC在線場(chǎng)景更新方法Fig.2 MSNMPC online scenario update method

在半間歇聚合反應(yīng)過程中,不確定性參數(shù)在新的批次中是未知的,如果僅考慮傳統(tǒng)的組合方案,可能導(dǎo)致該方法趨于保守,性能退化.因此需要考慮一種自適應(yīng)的在線場(chǎng)景更新方法,在每個(gè)時(shí)間步k中,依據(jù)已經(jīng)獲取的信息推算該場(chǎng)景對(duì)應(yīng)的不確定性值與實(shí)際過程中不確定性真實(shí)值的差距,采用自適應(yīng)機(jī)制更新場(chǎng)景樹中可能性較低的場(chǎng)景來縮小場(chǎng)景樹的跨度,使控制器性能能夠隨著時(shí)間的推移逐漸提高.

對(duì)于實(shí)際的不確定性半間歇聚合反應(yīng)過程,首先確定不確定參數(shù)的數(shù)量及相應(yīng)的取值范圍,構(gòu)造初始不確定性集.然后利用在線場(chǎng)景更新的MSNMPC算法縮小場(chǎng)景樹對(duì)應(yīng)的不確定性集D.該算法的具體實(shí)施步驟如下所述:

步驟1初始化每個(gè)場(chǎng)景的權(quán)重P(0,j)=1/S,j∈{1,···,S},其中S為場(chǎng)景樹的總場(chǎng)景數(shù),初始化不確定性集合D;

步驟2計(jì)算當(dāng)前時(shí)間步k中S個(gè)場(chǎng)景對(duì)應(yīng)的模型預(yù)測(cè)值y(k,j)

然后根據(jù)當(dāng)前時(shí)間步k的模型預(yù)測(cè)值y(k,j)和過程測(cè)量值yk和計(jì)算殘差ε(k,j),其式描述為

步驟3利用殘差信息ε(k,j)和前一時(shí)間步的每個(gè)場(chǎng)景權(quán)重P(k?1,j)計(jì)算當(dāng)前時(shí)間步k的貝葉斯概率權(quán)重P(k,j),其式描述為

其中K是一個(gè)加權(quán)矩陣,通常選擇為對(duì)角線,可以看作是殘差協(xié)方差的倒數(shù):

步驟4根據(jù)當(dāng)前時(shí)間步k的每個(gè)場(chǎng)景的貝葉斯概率權(quán)重P(k,j),找到S個(gè)場(chǎng)景中最大的權(quán)重對(duì)應(yīng)的場(chǎng)景pmax和最小的權(quán)重對(duì)應(yīng)的場(chǎng)景pmin:

步驟5通過將最不可能的場(chǎng)景pmin移向最有可能的場(chǎng)景pmax來更新pmin和Dk+1.如下式表示了場(chǎng)景樹的更新過程:

其中β為自適應(yīng)步長(zhǎng),可以控制不確定性集縮減的速度,應(yīng)該保持在一個(gè)較小范圍;

步驟6在下一個(gè)時(shí)間步k+1,根據(jù)新的不確定集合構(gòu)建的場(chǎng)景樹求解MSNMPC最優(yōu)控制問題獲得最優(yōu)控制動(dòng)作:

步驟7重新初始化每個(gè)場(chǎng)景的初始權(quán)重P(0,j)=1/S,j ∈{1,···,S};

步驟8重復(fù)步驟2-7,直至批次反應(yīng)過程結(jié)束.

4 半間歇聚合反應(yīng)模型

本文以實(shí)際工業(yè)半間歇聚合反應(yīng)器模型(如圖3所示)為研究對(duì)象,該系統(tǒng)由一個(gè)進(jìn)料單體的反應(yīng)器組成,反應(yīng)器配有一個(gè)夾套和一個(gè)外部熱交換器,它們可以用來控制反應(yīng)釜內(nèi)溫度.根據(jù)物料守恒和能量守恒,該過程模型由8個(gè)常微分方程組成:

圖3 半間歇聚合反應(yīng)工藝圖Fig.3 Semi-batch polymerization process diagram

5 仿真分析

基于上節(jié)中的半間歇聚合反應(yīng)模型,考慮的不確定性參數(shù)為反應(yīng)熱焓ΔHR和反應(yīng)速率k0,它們的值在標(biāo)稱值的±30%內(nèi)變化,因此ΔHR的不確定范圍為[665,1235],k0的不確定范圍為[4.9,9.1].不確定性值在每個(gè)新的批次中是時(shí)不變且無法測(cè)量估計(jì)的.場(chǎng)景樹中考慮不確定性的離散實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景數(shù)為S=5,對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不確定性參數(shù)的最小值和最大值的組合.考慮的預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镹p=15,魯棒時(shí)域?yàn)镹r=1,采樣時(shí)間tstep=50 s.

考慮每個(gè)場(chǎng)景Si的經(jīng)濟(jì)型損失函數(shù)如下:

其中:q,r1,r2和r3分別為10000,0.004,0.02和0.004.本文求解過程首先采用有限元正交配置方法進(jìn)行離散化處理,然后利用CasADi[15]工具包中的IPOPT求解器解決由此產(chǎn)生的非線性規(guī)劃問題.

首先,將提出的在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法與標(biāo)準(zhǔn)的NMPC方法和標(biāo)準(zhǔn)的MSNMPC固定場(chǎng)景樹方法應(yīng)用于半間歇聚合反應(yīng)模型中,其中在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法考慮的更新步長(zhǎng)設(shè)置為β=0.05.在該仿真批次中不確定性參數(shù)考慮的真實(shí)值為ΔHR=950 kJ/kg,k0=7.仿真結(jié)果如圖4所示.可以看出,標(biāo)準(zhǔn)NMPC(黑色點(diǎn)線)最先完成規(guī)定產(chǎn)量的產(chǎn)品,但由于未考慮不確定性的影響違反了反應(yīng)器內(nèi)溫度TR的約束.而另兩種方法由于將不確定性考慮到了優(yōu)化問題中,因此可以很好的將反應(yīng)器內(nèi)溫度TR和安全溫度Tadiab控制在約束范圍內(nèi).并且,在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法(綠色點(diǎn)虛線)的批次反應(yīng)時(shí)間為1.75 h相比于標(biāo)準(zhǔn)MSNMPC(藍(lán)色虛線)的1.861 h縮短了0.111 h,批次生產(chǎn)效率得到提升.

圖4 不同方法的單批次反應(yīng)仿真對(duì)比圖Fig.4 Single batch reaction simulation comparison chart of different methods

場(chǎng)景樹的更新過程如圖5所示.由于控制器的最優(yōu)控制問題是所有場(chǎng)景的綜合損失函數(shù)最小,隨著場(chǎng)景樹的跨度逐漸縮小逼近不確定性的真實(shí)實(shí)現(xiàn),優(yōu)化問題求解的控制輸入也在逐步逼近最優(yōu)軌跡,控制器性能得到提升,從而縮短批次反應(yīng)時(shí)間.

圖5 場(chǎng)景樹的在線場(chǎng)景更新過程Fig.5 Online scenario update process of scenario tree

為了驗(yàn)證在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法的通用性,隨機(jī)選取100個(gè)不同批次的不確定性值進(jìn)行測(cè)試(圖6).仿真結(jié)果如圖7所示,7(a)和7(b)分別表示100個(gè)不同批次的不確定性值,7(c)為在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法與標(biāo)準(zhǔn)MSNMPC方法在對(duì)應(yīng)批次過程的反應(yīng)時(shí)間對(duì)比圖.可以看出在線場(chǎng)景更新MSNMPC方法對(duì)應(yīng)的批次反應(yīng)時(shí)間更短.

圖6 100個(gè)不同批次的不確定性真實(shí)實(shí)現(xiàn)Fig.6 Real realization of uncertainty in 100 different batches

圖7 100個(gè)不同批次過程仿真對(duì)比Fig.7 Comparison of 100 different batch process simulations

由表3的批次反應(yīng)時(shí)間對(duì)比數(shù)據(jù)可知,標(biāo)準(zhǔn)NMPC因未考慮不確定性因素,在許多不確定性的真實(shí)實(shí)現(xiàn)過程中會(huì)出現(xiàn)大幅度的違反約束,導(dǎo)致控制不可行.而在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法與標(biāo)準(zhǔn)MSNMPC方法對(duì)于不同場(chǎng)景均可滿足約束要求,完成反應(yīng)過程,且前者在性能上更優(yōu).對(duì)于100個(gè)不同批次反應(yīng)過程,標(biāo)準(zhǔn)MSNMPC方法的平均批次時(shí)間為1.961 h,而在線場(chǎng)景更新的MSNMPC 方法僅為1.807 h,縮短了0.154 h,進(jìn)一步說明本文提出方法的有效性和優(yōu)越性.

表3 不同批次的反應(yīng)時(shí)間對(duì)比Table 3 Reaction time comparison of different batches

為了更好理解場(chǎng)景更新過程,選取圖6中?標(biāo)記的3個(gè)不同批次過程,其場(chǎng)景更新過程如圖8所示.

圖8 不同批次過程的場(chǎng)景更新過程Fig.8 Scenario update process of different batches

6 總結(jié)

本文基于MSNMPC的場(chǎng)景樹框架,針對(duì)時(shí)不變不確定性參數(shù)不能直接估計(jì)的情況下場(chǎng)景樹生成的合理性問題,提出一種基于貝葉斯概率加權(quán)的在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法,通過計(jì)算每個(gè)場(chǎng)景的模型預(yù)測(cè)信息和狀態(tài)輸出測(cè)量信息的偏差,為不同場(chǎng)景計(jì)算和分配貝葉斯概率權(quán)重,然后在線更新場(chǎng)景樹中不確定性的離散實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景,縮小場(chǎng)景樹的跨度,降低了標(biāo)準(zhǔn)MSNMPC方法的保守性.通過對(duì)半間歇聚合反應(yīng)模型的仿真結(jié)果表明,與標(biāo)準(zhǔn)MSNMPC方法相比,在線場(chǎng)景更新的MSNMPC方法在確保約束滿足的條件下,針對(duì)多個(gè)不同批次的不確定性真實(shí)實(shí)現(xiàn)過程,具有更好的控制性能,更短的批次反應(yīng)時(shí)間,從而提升提升了過程的生產(chǎn)效率.