廖常超 ,周 蘭 ,潘昌忠 ,陳 靜

(1.湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院,湖南湘潭 411201;2.湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南湘潭 411201)

1 引言

在工程實(shí)踐中,許多系統(tǒng)需要完成周期性的控制任務(wù),例如直流雙饋感應(yīng)發(fā)電機(jī)對(duì)周期性轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的抑制[1]、永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的電流控制[2]、逆變器電壓控制[3]等.重復(fù)控制為解決這些周期信號(hào)跟蹤/抑制問(wèn)題提供了有效的方法,其理論基礎(chǔ)是內(nèi)模原理[4],通過(guò)將周期信號(hào)的內(nèi)部模型植入到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)中,實(shí)現(xiàn)對(duì)周期為T(mén)r的任意目標(biāo)信號(hào)無(wú)偏差的穩(wěn)態(tài)跟蹤/抑制.基本重復(fù)控制系統(tǒng)是一個(gè)中立型時(shí)滯系統(tǒng),為了放寬系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,需要在時(shí)滯環(huán)節(jié)嵌入低通濾波器,構(gòu)造改進(jìn)型重復(fù)控制器[5].然而,改進(jìn)型重復(fù)控制器只是周期信號(hào)的近似模型,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不再為零.因此,改進(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)存在穩(wěn)定性和跟蹤性能之間的折衷問(wèn)題.如何同時(shí)優(yōu)化低通濾波器的截止頻率和鎮(zhèn)定控制器參數(shù)是解決這個(gè)折衷問(wèn)題的關(guān)鍵.

目前,大部分重復(fù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法通常預(yù)先設(shè)定低通濾波器截止頻率,忽略了截止頻率與控制器參數(shù)之間的關(guān)系,從而使得系統(tǒng)性能的改善受限.DOH等人針對(duì)已設(shè)計(jì)好鎮(zhèn)定控制器的不確定線性系統(tǒng),提出基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)的重復(fù)控制器設(shè)計(jì)方法[6],但低通濾波器截止頻率的選取需要反復(fù)試湊才能獲得比較理想的控制效果.文獻(xiàn)[7]提出基于LMI的低通濾波器參數(shù)和狀態(tài)反饋增益優(yōu)化方法,但采用固定權(quán)重的LMI求解控制器參數(shù)具有較大的保守性.文獻(xiàn)[8]提出一種基于二維混合模型的改進(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)算法,對(duì)低通濾波器截止頻率和狀態(tài)反饋控制器參數(shù)的同時(shí)優(yōu)化,減少了由LMI方法帶來(lái)的保守性,然而該方法需要系統(tǒng)狀態(tài)完全可測(cè).

重復(fù)控制方法對(duì)周期信號(hào)有著良好的控制性能,然而,由Bode積分定理[9],重復(fù)控制系統(tǒng)在周期信號(hào)的基波及其諧波頻率處的增益很大導(dǎo)致其在其他頻率處的增益減小,從而降低了系統(tǒng)的非周期控制性能.為了提高重復(fù)控制系統(tǒng)的非周期擾動(dòng)抑制性能,有學(xué)者提出了自適應(yīng)重復(fù)控制[10]、滑模重復(fù)控制[11]和H∞重復(fù)控制[12]等方法,這類方法主要通過(guò)提高控制器本身的魯棒性以降低擾動(dòng)在系統(tǒng)輸出通道的靈敏度,被視為被動(dòng)擾動(dòng)抑制方法.在這類單自由度反饋控制系統(tǒng)中存在一些固有的性能約束,其中較為突出的是標(biāo)稱性能與魯棒性、跟蹤性能與擾動(dòng)抑制性能之間的折衷問(wèn)題[13].

主動(dòng)擾動(dòng)抑制方法建立的控制系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度,其中一個(gè)自由度用于改善系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制性能,另一個(gè)自由度用于使系統(tǒng)達(dá)到期望的控制性能.目前,這種主動(dòng)抑制方法已被應(yīng)用于重復(fù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì),如基于自抗擾的重復(fù)控制[14-15]、基于擾動(dòng)觀測(cè)器的重復(fù)控制[16]和基于等價(jià)輸入干擾(equivalent input disturbance,EID)的重復(fù)控制[17-20]等.其中,自抗擾的方法需要將控制對(duì)象重構(gòu)為具有匹配型總擾動(dòng)的積分器串聯(lián)形式[21],利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償.這種轉(zhuǎn)化通常需要對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)、輸出或輸入項(xiàng)進(jìn)行求導(dǎo),導(dǎo)致擾動(dòng)被放大,并且可能會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定[22].擾動(dòng)觀測(cè)器方法需要利用系統(tǒng)的逆模型來(lái)構(gòu)造擾動(dòng)估計(jì)器,當(dāng)被控對(duì)象具有不穩(wěn)定零點(diǎn)或極點(diǎn)時(shí),使用逆模型會(huì)引起不穩(wěn)定的零極點(diǎn)對(duì)消,從而破壞系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性.

EID方法是SHE等人提出的一種主動(dòng)擾動(dòng)抑制方法[17],其基本思想是根據(jù)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響效果,定義一個(gè)與外界擾動(dòng)等價(jià)的輸入端干擾(EID),通過(guò)在輸入通道引入這個(gè)EID估計(jì)來(lái)抵消外界擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響.EID估計(jì)可以直接由狀態(tài)觀測(cè)器得到,無(wú)需利用系統(tǒng)的逆模型.它可以補(bǔ)償匹配或非匹配等各種類型擾動(dòng),不需要擾動(dòng)的先驗(yàn)信息.EID方法的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)能夠快速、精確估計(jì)EID的估計(jì)器.同時(shí),為了消除高頻噪聲對(duì)系統(tǒng)輸出的影響,通常在EID估計(jì)器中引入低通濾波器,然后將濾波后的EID估計(jì)反饋補(bǔ)償?shù)捷斎攵?EID估計(jì)器中低通濾波器截止頻率的選擇對(duì)系統(tǒng)抗干擾性能有著顯著的影響[17],然而目前大多數(shù)文獻(xiàn)都是選擇固定的低通濾波器截止頻率,這在一定程度上限制了擾動(dòng)抑制性能的改善.實(shí)際上,截止頻率越高,系統(tǒng)的抗擾性能越好,但太高的截止頻率會(huì)讓高頻噪聲通過(guò),起不到濾波的效果.截止頻率太小則會(huì)過(guò)濾掉有用的低頻信號(hào),而且造成相位滯后,導(dǎo)致系統(tǒng)抗擾性能不好.

為了解決上述問(wèn)題,本文針對(duì)一類含有非匹配擾動(dòng)的伺服系統(tǒng),提出基于EID補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.通過(guò)在改進(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)中引入EID方法,構(gòu)造基于EID補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)結(jié)構(gòu).引入一個(gè)對(duì)系統(tǒng)抗擾性能、跟蹤性能和收斂速度進(jìn)行整體評(píng)價(jià)的綜合性能指標(biāo),作為粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法的適應(yīng)度函數(shù),相應(yīng)的權(quán)值系數(shù)分別表征抗擾性能、跟蹤性能和過(guò)渡過(guò)程性能所占的比重,以系統(tǒng)穩(wěn)定性條件為目標(biāo)約束條件,建立系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化模型,實(shí)現(xiàn)對(duì)重復(fù)控制器前饋增益、低通濾波器截止頻率、狀態(tài)觀測(cè)器增益、狀態(tài)反饋控制增益和EID估計(jì)器內(nèi)低通濾波器截止頻率的同步優(yōu)化,使得系統(tǒng)同時(shí)具有滿意的擾動(dòng)抑制性能、動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)跟蹤性能.數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性.

2 系統(tǒng)描述

考慮如下受擾單輸入單輸出系統(tǒng):

其中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量,u(t)∈R為控制輸入,y(t)∈R為系統(tǒng)輸出,d(t)表示外部擾動(dòng),A,B,Bd,C為具有合適維數(shù)的已知實(shí)數(shù)矩陣.

假設(shè)1系統(tǒng)(1)中(A,B)能控、(A,C)能觀,且在虛軸上沒(méi)有零點(diǎn).

注1假設(shè)1是伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)條件,以保證其內(nèi)部穩(wěn)定性.此外,系統(tǒng)能觀是設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的前提.

注2系統(tǒng)(1)中若矩陣B和Bd的秩滿足rank(B,Bd)=rank(B),即B=λBd,λ ∈R,則擾動(dòng)d(t)與控制輸入u(t)在同一通道,屬于匹配型擾動(dòng),否則為非匹配型擾動(dòng).

基于EID補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.

圖1 基于EID補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of EID-compensation based modified repetitive control system

EID方法的思路是首先將系統(tǒng)外部干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響等效為一個(gè)控制輸入端的虛擬信號(hào),即EIDde(t),然后采用全維狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)de(t)進(jìn)行估計(jì),引入低通濾波器,構(gòu)造EID估計(jì)器,并將濾波后的EID估計(jì)值(t)反饋補(bǔ)償?shù)娇刂戚斎攵?建立復(fù)合重復(fù)控制規(guī)律.

2.1 EID估計(jì)器

假設(shè)2系統(tǒng)(1)中擾動(dòng)d(t)引起的輸出軌跡y(t)∈Φ,其中Φ=pi(t)sin(ωit+φi),i=1,2,···,n<∞,ωi(≥0)和φi為常值,pi(t)為與時(shí)間有關(guān)的多項(xiàng)式函數(shù).

假設(shè)2是合理的且符合實(shí)際的.如果擾動(dòng)d(t)引起的輸出軌跡y(t)∈Φ,則由穩(wěn)定逆的概念可以得出,在產(chǎn)生相同軌跡的控制輸入通道上必然存在一個(gè)EIDde(t)∈Φ.

引理1在假設(shè)1成立的情況下,系統(tǒng)(1)存在一個(gè)作用于控制輸入通道的EIDde(t),其對(duì)系統(tǒng)輸出的影響與外部擾動(dòng)d(t)的作用等效[17].

根據(jù)引理1,可以將系統(tǒng)(1)表示為

設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器

注3通過(guò)全維狀態(tài)觀測(cè)器(3)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài),利用系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)與全維狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)之間的差值表示EID估計(jì)值.與自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)方法不同,EID方法不關(guān)注擾動(dòng)本身,而是關(guān)注擾動(dòng)對(duì)輸出的影響.更具體地說(shuō),EID方法實(shí)質(zhì)是引入一個(gè)與實(shí)際擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出具有相同影響的虛擬控制輸入信號(hào)EIDde(t),并對(duì)其進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償,因此EID方法可以同時(shí)處理匹配擾動(dòng)與非匹配擾動(dòng).另一方面,從控制輸入端估計(jì)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響比估計(jì)擾動(dòng)本身更合理.

2.2 改進(jìn)型重復(fù)控制器

設(shè)參考輸入r(t)的周期為T(mén)r,基本重復(fù)控制器的傳遞函數(shù)為

從而基本重復(fù)控制系統(tǒng)對(duì)該周期信號(hào)能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)穩(wěn)態(tài)偏差跟蹤.圖1中的改進(jìn)型重復(fù)控制器傳遞函數(shù)為

其中T為改進(jìn)型重復(fù)控制器的時(shí)滯常數(shù),q(s)為一階低通濾波器

式中ωc是濾波器的截止頻率,其取值遵循以下頻率特性[5]:

式中ωr為周期性參考輸入r(t)的最大角頻率.一般地,為了獲得較好的控制性能,濾波器的截止頻率須滿足ωc≥5ωr.改進(jìn)型重復(fù)控制器的狀態(tài)空間模型為

其中:xc(t)為低通濾波器狀態(tài)變量,v(t)為重復(fù)控制器的輸出,e(t)=r(t)-y(t)為跟蹤誤差.

改進(jìn)型重復(fù)控制器只是周期信號(hào)發(fā)生器的近似模型,低通濾波器q(s)的引入降低了重復(fù)控制器在周期信號(hào)基頻和諧波處的增益.設(shè)T=Tr=2π,分別取ωc=1000和ωc=10時(shí),改進(jìn)型重復(fù)控制器的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖2所示.由圖2可知,當(dāng)ωc=1000時(shí),在周期信號(hào)的基波和2次諧波處的增益分別為98 dB和86 dB;當(dāng)ωc=10時(shí),在周期信號(hào)的基波和2次諧波處的增益則降至為46.4 dB和34.5 dB.因此,為了提高重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制精度,需要盡可能地提高低通濾波器的截止頻率.

圖2 不同截止頻率下的|CMR(jω)|伯德圖Fig.2 |CMR(jω)|Bode plots at different cutoff frequencies

關(guān)于改進(jìn)型重復(fù)控制器時(shí)滯常數(shù)T的選取,通常情況下設(shè)置為與參考信號(hào)r(t)的周期Tr相同.然而,低通濾波器的嵌入造成相位滯后,使得重復(fù)控制器實(shí)際上在略小于基頻和諧波處取得最大增益值.為了提高系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的跟蹤性能,保證改進(jìn)型重復(fù)控制器在基頻和諧波處取得最大增益值,需要對(duì)時(shí)滯常數(shù)T進(jìn)行校正.

如圖3所示,校正后的改進(jìn)型重復(fù)控制器在周期信號(hào)的基頻和諧波處增益能夠取得極大值.

基于重構(gòu)狀態(tài)反饋的重復(fù)控制規(guī)律為

其中Ke和Kp=[Kp1Kp2··· Kpn]分別為重復(fù)控制器前饋增益和狀態(tài)反饋控制增益.

2.3 基于EID補(bǔ)償?shù)膹?fù)合重復(fù)控制規(guī)律

將濾波后的EID估計(jì)反饋補(bǔ)償?shù)娇刂戚斎攵?構(gòu)造基于EID補(bǔ)償?shù)膹?fù)合重復(fù)控制規(guī)律

其中:Ke和Kp用于提高系統(tǒng)的跟蹤響應(yīng)速度和穩(wěn)定性,EID估計(jì)(t)直接引入到復(fù)合控制輸入中,用以消除擾動(dòng)d(t)對(duì)輸出y(t)的影響.EID估計(jì)的精度直接關(guān)系到擾動(dòng)抑制性能,重復(fù)控制器參數(shù)的選取,直接關(guān)系到系統(tǒng)的周期信號(hào)跟蹤性能.因此,本文控制設(shè)計(jì)的目的是,選擇EID估計(jì)器和重復(fù)控制器參數(shù)的最優(yōu)組合,使得系統(tǒng)在復(fù)合重復(fù)控制律(18)作用下穩(wěn)定,并且同時(shí)獲得滿意的跟蹤性能和擾動(dòng)抑制性能.

3 穩(wěn)定性分析及系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

本節(jié)首先對(duì)系統(tǒng)(圖1)進(jìn)行結(jié)構(gòu)等價(jià)變換,然后分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,最后給出系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法.

3.1 穩(wěn)定性分析

外部輸入信號(hào)與線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性無(wú)關(guān).令

系統(tǒng)(1)就變成

定義狀態(tài)估計(jì)誤差變量

由式(3)(18)(20)-(21)得到

式(4)可重新表示為由式(24)可以看出,重復(fù)控制器的參數(shù)對(duì)EID估計(jì)器沒(méi)有影響.將圖1所示的系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)等價(jià)變換,得到等效系統(tǒng)(如圖4),它由兩個(gè)子系統(tǒng)組成:基于狀態(tài)反饋的改進(jìn)型重復(fù)控制子系統(tǒng)1和包含狀態(tài)觀測(cè)器和EID估計(jì)器的子系統(tǒng)2.

圖4 圖1的等價(jià)系統(tǒng)Fig.4 Equivalent system of Fig.1

不考慮重復(fù)控制器的嵌入,在子系統(tǒng)1中,從u(t)到y(tǒng)(t)的傳遞函數(shù)為

其中σmax[·]表示最大奇異值.G(jω)=G(s)|s=jω.

定理1如果系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1,并且以下條件同時(shí)成立:

則圖1所示的基于EID補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)在復(fù)合控制律(18)作用下漸近穩(wěn)定.

證由于基于EID的改進(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)可以分解成兩個(gè)串聯(lián)的子系統(tǒng)(子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2),由分離定理[23]知,整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定等價(jià)于兩個(gè)子系統(tǒng)同時(shí)穩(wěn)定.根據(jù)小增益定理,如果條件(a)和條件(c)同時(shí)滿足,則子系統(tǒng)1穩(wěn)定.對(duì)于子系統(tǒng)2,該系統(tǒng)是一個(gè)包含狀態(tài)觀測(cè)器和EID估計(jì)器的系統(tǒng).顯然,若條件(b)和條件(d)同時(shí)滿足,則子系統(tǒng)2穩(wěn)定.

證畢.

3.2 基于粒子群優(yōu)化算法的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法是一種群體智能算法,其思想來(lái)源于對(duì)鳥(niǎo)群覓食過(guò)程的模擬,通過(guò)種群粒子之間的信息交互相互協(xié)作完成食物的搜尋[24].本節(jié)利用PSO算法對(duì)式(17)中的Ke和Kp、觀測(cè)器(3)中的L、低通濾波器(5)中的ωq和低通濾波器(11)中的ωc進(jìn)行同步優(yōu)化.在迭代過(guò)程中,粒子的速度與位置更新公式為

其中:K為最大迭代次數(shù),wmax和wmin分別代表了最大和最小的慣性權(quán)重,慣性權(quán)重w在前期較大可加強(qiáng)全局搜索能力,w后期較小可加強(qiáng)局部搜索能力.

定義目標(biāo)函數(shù)

作為PSO算法的適應(yīng)度函數(shù),對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能和擾動(dòng)抑制性能進(jìn)行總體評(píng)價(jià).具體地,式中第1項(xiàng)為時(shí)間與跟蹤偏差絕對(duì)值乘積的積分,主要評(píng)價(jià)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能;第2項(xiàng)為最大跟蹤誤差的絕對(duì)值,防止系統(tǒng)超調(diào)量過(guò)大問(wèn)題,主要評(píng)價(jià)系統(tǒng)的暫態(tài)性能;最后1項(xiàng)為時(shí)間與狀態(tài)估計(jì)偏差絕對(duì)值乘積的積分,主要評(píng)價(jià)系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力.m1,m2和m3分別為各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的權(quán)值,N為重復(fù)控制周期的個(gè)數(shù),Ji,ei(t)分別為第i個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值和系統(tǒng)跟蹤誤差,xi(t)和(t)分別為第i個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量以及狀態(tài)變量的估計(jì)值.

注5式(29)第1項(xiàng)和第3項(xiàng)中的時(shí)間因子t用來(lái)降低可能存在初始大誤差對(duì)性能指標(biāo)的影響,同時(shí)強(qiáng)調(diào)了過(guò)渡過(guò)程后期的誤差對(duì)指標(biāo)的影響,著重懲罰過(guò)渡過(guò)程過(guò)長(zhǎng).

本文的優(yōu)化設(shè)計(jì)目的是以系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為目標(biāo)約束條件,建立綜合評(píng)價(jià)系統(tǒng)抗擾性能、過(guò)渡過(guò)程性能和周期信號(hào)跟蹤性能的目標(biāo)函數(shù),采用PSO算法搜索使得目標(biāo)函數(shù)最小的系統(tǒng)最優(yōu)控制器參數(shù)組合.

注6為了防止粒子群算法中的粒子出現(xiàn)“漫游”(超出搜索范圍)和“速度爆炸”(速度無(wú)限增大)而導(dǎo)致粒子出現(xiàn)發(fā)散無(wú)法全局收斂的問(wèn)題,迭代過(guò)程中粒子的位置和速度一旦超過(guò)設(shè)置的邊界值,則將其值限定為邊界值.除此之外,為了提高PSO種群的多樣性,防止粒子陷入局部最優(yōu),粒子每完成一次迭代,算法重新對(duì)粒子的位置和速度進(jìn)行了隨機(jī)初始化,從而保證粒子收斂到全局最優(yōu)位置.更為詳細(xì)理論分析請(qǐng)參考文獻(xiàn)[25-26].

4 數(shù)值仿真

雙電機(jī)耦合伺服系統(tǒng)在數(shù)控機(jī)床、混合電動(dòng)汽車(chē)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.在本節(jié)中,將本文所提方法應(yīng)用于雙電機(jī)耦合伺服系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速控制問(wèn)題.該系統(tǒng)包含兩個(gè)電機(jī):一個(gè)用作控制對(duì)象,另一個(gè)作為擾動(dòng)發(fā)生器產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng),其中轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)從控制輸入通道以外的通道施加到受控電機(jī)上,兩個(gè)電機(jī)的軸用聯(lián)軸器連接在一起.系統(tǒng)模型為[17]

在式(30)-(32)中下標(biāo)為p(或d)的變量和參數(shù)表示它們與被控電機(jī)(擾動(dòng)發(fā)生器)有關(guān),其中u為受控電機(jī)的電壓,d為加于擾動(dòng)發(fā)生器的電壓,ip(id)為電樞電流,τp(τd)為轉(zhuǎn)矩,τpd為扭轉(zhuǎn)力矩,ωp(ωd)為旋轉(zhuǎn)角速度,θp(θd)為旋轉(zhuǎn)角度,Jp(Jd)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Rp(Rd)為電樞電阻,Kp(Kd)為反電動(dòng)勢(shì)常數(shù),Kpd為聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù).

選取系統(tǒng)輸出為y(t)=ωp(t),系統(tǒng)狀態(tài)為

由式(30)-(32)建立系統(tǒng)(1)形式的雙電機(jī)耦合伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為

顯然,d1(t)是周期為T(mén)r的擾動(dòng)信號(hào),d2(t)是周期不為T(mén)r的擾動(dòng)信號(hào),d3(t)為非周期擾動(dòng)信號(hào).

注意到rank(B,Bd)>rank(B),因此式(35)d(t)為非匹配擾動(dòng).

4.1 控制器參數(shù)整定與系統(tǒng)仿真

根據(jù)實(shí)際控制對(duì)象的工作情況,選擇PSO算法相關(guān)參數(shù):粒子數(shù)n=20,最大迭代次數(shù)K=20,搜索維度d=9(即優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)),學(xué)習(xí)因子c1=1.45,c2=1.45,慣性權(quán)重wmax=0.9,wmin=0.4,目標(biāo)函數(shù)各項(xiàng)權(quán)重為m1=0.6,m2=1,m3=0.2,重復(fù)控制周期個(gè)數(shù)N=25.控制器參數(shù)搜索范圍如下所示:

利用PSO算法得到的控制器參數(shù)分別為

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得

其中σ(·)表示特征根集合,優(yōu)化得到的控制器參數(shù)全部滿足定理1中的4個(gè)條件,從而圖1所示的基于EID補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

圖5為本文提出的基于EID補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法(PSO-EID-MRC)在控制器參數(shù)(36)下的仿真結(jié)果,從圖中可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)輸出能夠快速、準(zhǔn)確地跟蹤周期參考輸入信號(hào)r(t),3個(gè)周期后系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài).在20 s受到一個(gè)非周期外部擾動(dòng),EID估計(jì)器可以快速準(zhǔn)確地補(bǔ)償外部擾動(dòng)對(duì)輸出的影響,系統(tǒng)跟蹤誤差波動(dòng)較小,約2個(gè)周期后重新恢復(fù)穩(wěn)態(tài),最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為5.152×10?5,系統(tǒng)具有良好的擾動(dòng)抑制性能.實(shí)際擾動(dòng)d(t)、EID估計(jì)值(t)曲線分別如圖6-7所示.

圖5 基于PSO-EID-MRC方法系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.5 System output response based on PSO-EID-MRC

圖6 擾動(dòng)d(t)Fig.6 Disturbance d(t)

在實(shí)際應(yīng)用中,控制輸入存在死區(qū)不僅會(huì)降低系統(tǒng)性能,甚至可能會(huì)使得系統(tǒng)不穩(wěn)定.為了檢驗(yàn)系統(tǒng)的抗擾性能,本文對(duì)控制輸入u(t)存在死區(qū)的情形(范圍[-0.5,0.5])進(jìn)行了仿真.如圖8所示,系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定,系統(tǒng)在第3個(gè)周期進(jìn)入穩(wěn)態(tài),最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為3.2×10?3,很好地抑制了擾動(dòng)和死區(qū)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響.

圖7 EID估計(jì)值?de(t)Fig.7 EID estimation value ?de(t)

圖8 控制輸入存在死區(qū)的跟蹤誤差Fig.8 Tracking error with dead-zone in control input

注7PSO作為一種啟發(fā)式的隨機(jī)優(yōu)化算法,在應(yīng)用到控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化時(shí),相同條件下多次尋優(yōu)得到的參數(shù)往往是不相同的,特別是粒子維數(shù)較高時(shí)這種現(xiàn)象更為明顯.本文粒子維數(shù)d=9,盡管相同條件下多次尋優(yōu)結(jié)果不完全相同,但其對(duì)控制效果影響較小.

4.2 仿真對(duì)比分析

圖9為在控制器參數(shù)相同情況下,基于狀態(tài)反饋的改進(jìn)型重復(fù)控制(PSO-MRC)方法與本文所提方法系統(tǒng)的跟蹤性能及擾動(dòng)抑制性能對(duì)比.由圖可知,在沒(méi)有外部擾動(dòng)的作用下,兩者的跟蹤誤差是一致的.然而,當(dāng)系統(tǒng)受到非周期擾動(dòng)作用時(shí)(20 s后),顯然,本文所提方法控制系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力更強(qiáng),具體性能指標(biāo)列于表1,其中ts表示系統(tǒng)從零時(shí)刻到第1次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的調(diào)節(jié)時(shí)間,為過(guò)渡過(guò)程最大跟蹤誤差,max|e(t)|t≥20為系統(tǒng)受到非周期擾動(dòng)后重新回到穩(wěn)態(tài)的過(guò)程中最大擾動(dòng)跟蹤誤差,ess為最終穩(wěn)態(tài)誤差的上界值.

圖9 與基于狀態(tài)反饋的改進(jìn)型重復(fù)控制方法對(duì)比Fig.9 Comparing with state feedback MRC-based

為進(jìn)一步評(píng)價(jià)本文所提方法的優(yōu)越性,將本文所提方法與文獻(xiàn)[20]中基于EID的改進(jìn)型重復(fù)控制(EID-MRC)方法、基于GESO[27]的改進(jìn)型重復(fù)控制(GESO-MRC)方法做了對(duì)比仿真.基于文獻(xiàn)[20]中EID-MRC的設(shè)計(jì)方法,狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置在[-20±100i,-45],具體控制器參數(shù)為

注8PSO-EID-MRC與文獻(xiàn)[20]中的EID-MRC除了PSO以外在控制器參數(shù)設(shè)計(jì)方法、穩(wěn)定性條件和優(yōu)化性能指標(biāo)結(jié)構(gòu)等方面不同.后者的低通濾波器參數(shù)ωc和ωq預(yù)先設(shè)定為固定值,具有試湊的痕跡,導(dǎo)致系統(tǒng)的控制性能提高受限,難以取得較好的控制效果.本文ωc和ωq是采用PSO算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),提高了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的靈活性.后者穩(wěn)定性條件是基于LMI有解的充分條件,具有較大的保守性,且通常較難獲得滿意的可行解.本文基于小增益定理獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性條件,穩(wěn)定性條件放寬,從而拓寬了EID-MRC方法的應(yīng)用范圍.后者優(yōu)化性能指標(biāo)僅僅評(píng)價(jià)系統(tǒng)的跟蹤性能,本文所建立的性能指標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能和擾動(dòng)抑制性能進(jìn)行總體評(píng)價(jià).

基于GESO的改進(jìn)型重復(fù)控制設(shè)計(jì)方法,狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)配置在-4.89±94.24i,狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置在-1.49,具體控制器參數(shù)為

由圖10和表1可知,無(wú)論是暫態(tài)、擾動(dòng)突變還是穩(wěn)態(tài)過(guò)程,本文PSO-EID-MRC方法的跟蹤性能都優(yōu)于文獻(xiàn)[20]中的EID-MRC方法和GESO-MRC方法.

圖10 與文獻(xiàn)[20]的EID-MRC和GESO-MRC對(duì)比Fig.10 Comparing with EID-MRC in the literature [20] and the GESO-MRC

表1 性能指標(biāo)對(duì)比Table 1 Comparison of performance indicators

圖11 EID-MRC的EID估計(jì)值(t)Fig.11 EID estimation value (t)of EID-MRC

圖12 GESO-MRC的擾動(dòng)d(t)及估計(jì)(t)Fig.12 Disturbance d(t)and its estimate ?d(t)of GESO-MRC

進(jìn)一步地,為驗(yàn)證重復(fù)控制器時(shí)滯常數(shù)的校正對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能的影響,重復(fù)控制器時(shí)滯常數(shù)分別取為T(mén)=Tr和T=Tr-Tc時(shí)系統(tǒng)的跟蹤誤差對(duì)比,仿真結(jié)果如圖13所示,在暫態(tài)過(guò)程中,兩條曲線無(wú)明顯差別,但是后者的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差僅為前者的0.0285倍.本文對(duì)重復(fù)控制器時(shí)滯常數(shù)的校正顯著地提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能.

圖13 T=Tr和T=Tr ?Tc的對(duì)比Fig.13 Comparison between T=Tr and T=Tr ?Tc

5 結(jié)論

針對(duì)一類具有非匹配擾動(dòng)的伺服系統(tǒng),本文提出了基于EID補(bǔ)償?shù)闹貜?fù)控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.基于系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件和綜合性能評(píng)價(jià)指標(biāo),建立系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化模型,實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)重復(fù)控制器、EID估計(jì)器和反饋控制器參數(shù)的同步優(yōu)化設(shè)計(jì),使得系統(tǒng)同時(shí)具有滿意的非周期擾動(dòng)抑制性能和周期信號(hào)跟蹤性能.通過(guò)與一般的基于擾動(dòng)主動(dòng)補(bǔ)償?shù)闹貜?fù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法比較,本文所提方法同時(shí)具有更好的擾動(dòng)抑制性能、過(guò)渡過(guò)程性能和穩(wěn)態(tài)跟蹤性能魯棒性.本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要為如下幾點(diǎn):1)基于重構(gòu)狀態(tài)反饋的重復(fù)控制規(guī)律和EID估計(jì)器可以分離設(shè)計(jì),提高了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的靈活性;2)建立了一個(gè)對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)抑制性能、跟蹤性能和過(guò)渡過(guò)程性能進(jìn)行整體評(píng)價(jià)的綜合性能指標(biāo);3)實(shí)現(xiàn)了對(duì)重復(fù)控制器前饋增益、低通濾波器截止頻率、EID估計(jì)器參數(shù)和反饋控制器參數(shù)的同步優(yōu)化設(shè)計(jì),有效地解決重復(fù)控制系統(tǒng)中穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)跟蹤性能、擾動(dòng)抑制性能和跟蹤性能之間的折衷問(wèn)題.