■鄭 瑋

古典概型是一種概率模型,是概率論中最直觀和最簡(jiǎn)單的模型。在這個(gè)模型下,隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的,并且每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。下面例析古典概型的交匯問(wèn)題。

一、與集合有關(guān)的概率問(wèn)題

例1 已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一個(gè)元素,則它是集合A∩B中的元素的概率為( )。

評(píng)注:古典概型的兩個(gè)基本特征,即有限性和等可能性。在應(yīng)用古典概型的概率公式時(shí),關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系,事件和樣本空間的關(guān)系。

二、與函數(shù)有關(guān)的概率問(wèn)題

例2 已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},則函數(shù)f(x)=(a2-2)ex+b為減函數(shù)的概率是( )。

評(píng)注:涉及函數(shù)的概率問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

三、與向量有關(guān)的概率問(wèn)題

例3 設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3)。

四、與幾何圖形有關(guān)的概率問(wèn)題

評(píng)注:求與幾何圖形有關(guān)的概率問(wèn)題,應(yīng)充分利用幾何圖形的性質(zhì)。

五、與游戲有關(guān)的概率問(wèn)題

例5 某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)。參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖1所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)。記兩次記錄的數(shù)分別為x,y。獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:①若xy≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);②若xy≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶。

圖1

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻。小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)。

(1)求小亮獲得玩具的概率。

(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由。

解:用數(shù)對(duì)(x,y)表示小亮參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則樣本空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N*,y∈N*,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng)。因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4=16,所以樣本點(diǎn)的總數(shù)n=16。

評(píng)注:生活中的概率游戲問(wèn)題,背景真實(shí),內(nèi)容鮮活,具有知識(shí)性、娛樂(lè)性、趣味性和益智性。

六、與取球有關(guān)的概率問(wèn)題

例6 一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)1,2,3,4的4個(gè)形狀大小完全相同的小球,先后隨機(jī)地選取2個(gè)小球,根據(jù)下列條件,分別求2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率。

(1)小球的選取是無(wú)放回。

(2)小球的選取是有放回。

解:記事件A=“選取的2個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”。

評(píng)注:對(duì)于不放回抽樣,計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),既可以看成是有順序的,也可以看成是無(wú)順序的,其最后結(jié)果是一致的。但不論選擇哪一種方式,觀察的角度必須一致,否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。對(duì)于有放回抽樣,在連續(xù)取出兩次的過(guò)程中,因?yàn)橄群箜樞虿煌?所以(a1,b),(b,a1)不是同一個(gè)樣本點(diǎn)。解答本題的關(guān)鍵是要分清“無(wú)放回抽取”與“有放回抽取”,且每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會(huì)都是均等的。