萬志威，朱 翔,3，李天勻,3，李 敬

(1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074；2.船舶與海洋水動力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)具有無附加質(zhì)量、控制頻帶寬和可設(shè)計性強(qiáng)等特點(diǎn)，在減振降噪方面提供了新的技術(shù)。在梁結(jié)構(gòu)中，梁的厚度按照冪函數(shù)形式變小，梁中這種楔形結(jié)構(gòu)稱作聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)[1]。當(dāng)彎曲波傳播到此結(jié)構(gòu)中時，彎曲波的波速會隨著板厚度的減小而逐漸減小。在理想的情況下，波速會減小到零，波無法進(jìn)行傳播。在楔形結(jié)構(gòu)敷設(shè)阻尼層，可以將傳播到楔形結(jié)構(gòu)中心的能量大幅吸收，即彎曲波“陷入”了聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中[2]。Mironov[3]揭示了彎曲波無法在楔形結(jié)構(gòu)中傳播的機(jī)理。Krylov[4]通過幾何聲學(xué)方法分析了楔形結(jié)構(gòu)局部振動，敷設(shè)阻尼層可以有效的降低反射系數(shù)[5],聲學(xué)黑洞在截止頻率以上才能實(shí)現(xiàn)聚波效應(yīng)[6]。黃薇等[7]從時域上研究了彎曲波在聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中聚集的現(xiàn)象。Tang等[8]通過半解析法分析了含一維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的梁振動特性。Deng等[9-10]通過半解析法分析了內(nèi)嵌多個圓形聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)和內(nèi)嵌環(huán)形聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的平板振動特性。半解析法將附加阻尼作為能量的一部分，可以考慮阻尼層與聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的全耦合；且可以通過彈簧來模擬實(shí)際上不同的邊界條件。

粘貼有阻尼層的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)能有效的聚波和抑振，但由于聲學(xué)黑洞存在截止頻率，在截止頻率以下效果不佳[11]。近年來，由壓電片外接分流電路組成的分流阻尼，能夠通過分流電路產(chǎn)生電磁振蕩，與被控結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，引入局域共振機(jī)制，也得到較多關(guān)注。

Hagood等[12]分析了通過壓電片外接分流電路來耗散機(jī)械能。Behrens等[13]通過理論和試驗(yàn)分析了在簡支板上連接負(fù)電容電路對振動的影響。李寧等[14]通過傳遞函數(shù)法得到了電器元件最優(yōu)參數(shù)表達(dá)式。陳良[15]基于長波近似假設(shè)將分流阻尼的作用等效為一個附加的具有等效楊氏模量的材料。Wang等[16]在柔性各向同性梁中，采用分流阻尼周期陣列實(shí)現(xiàn)可調(diào)諧的低頻局部共振帶隙。壓電分流阻尼通過引入局域共振機(jī)制，可以通過小尺寸控制大波長彈性波傳播，在低頻振動控制方面具有顯著優(yōu)勢，而這一方面是聲學(xué)黑洞存在短板[17]。因此，若能將壓電分流阻尼與聲學(xué)黑洞進(jìn)行結(jié)合，發(fā)揮兩種技術(shù)的優(yōu)勢，則能夠?qū)崿F(xiàn)寬頻抑振降噪特性。

關(guān)于聲學(xué)黑洞和分流阻尼單獨(dú)的研究已經(jīng)很豐富，但將兩者結(jié)合起來考慮的研究較少。Beck等[18]通過有限元法分析了外接負(fù)電容分流阻尼的聲學(xué)黑洞梁振動特性。Ji等[19]通過有限元法和試驗(yàn)研究了基于復(fù)合聲學(xué)黑洞梁振動的能量收集性能。Zhao等[20]通過有限元法探討了含有壓電片的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)用于能量收集，通過試驗(yàn)[21]研究了含有壓電片的聲學(xué)黑洞在薄板中動態(tài)結(jié)構(gòu)剪裁的性能，最后對電路電阻值優(yōu)化達(dá)最大化聚能效果，并進(jìn)一步通過有限元法和試驗(yàn)研究了含有壓電片的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)在振動領(lǐng)域衰減[22-23]。Li等[24]通過有限元法分析了一種寬頻有源黑洞裝置。以上研究都是基于有限元法以及試驗(yàn)驗(yàn)證，不便于從機(jī)理上闡釋分流電路參數(shù)變化對結(jié)構(gòu)振動的影響。

結(jié)合聲學(xué)黑洞和分流阻尼的優(yōu)點(diǎn)，本文采用半解析法研究了一種聲學(xué)黑洞梁和壓電分流阻尼的聲學(xué)黑洞壓電復(fù)合結(jié)構(gòu)。首先通過半解析法求解了聲學(xué)黑洞梁的振動特性，并與有限元結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了半解析法的有效性。引入分流阻尼，通過等效介質(zhì)法將分流阻尼等效為具有等效楊氏模量的附加材料，分析了含分流阻尼的聲學(xué)黑洞梁振動特性，并通過調(diào)整電阻電感值對結(jié)構(gòu)第一階共振峰值進(jìn)行抑振。分析了電阻電感值對局域共振的影響，從理論上給出了確定局域共振頻率近似方法。為聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的低頻振動控制提供了新思路。

1 理論部分

1.1 哈密頓原理

一個帶有聲學(xué)黑洞的歐拉梁，如圖1所示。梁由厚度按照冪函數(shù)變化的聲學(xué)黑洞部分h(x)=εxm,x∈[x0,xb1]，厚度均勻的主體部分hb,x∈[xb1,xb2]和阻尼層部分hd(x),x∈[xd0,xd1]構(gòu)成。厚度變化的一端為自由端，厚度均勻的一端由平動彈簧k和旋轉(zhuǎn)彈簧q連接以模擬彈性邊界。通過調(diào)節(jié)k和q的大小可以實(shí)現(xiàn)不同的邊界條件的模擬。在梁xf處施加一點(diǎn)激勵f(t)。

圖1 含有聲學(xué)黑洞的歐拉梁

基于歐拉梁理論，梁的位移場可以表示為

(1)

式中，{u,w}為在梁或者阻尼層上某一點(diǎn)沿x和y方向的位移。將位移函數(shù)w(x,t)表示成一系列型函數(shù)與廣義坐標(biāo)之積的形式

(2)

通過哈密頓原理，可得到如下的拉格朗日方程[25]

(3)

式中，L為拉格朗日函數(shù)

L=Ek-Ep+W

(4)

式中：Ek為系統(tǒng)的動能;Ep為系統(tǒng)的勢能;W為外力對系統(tǒng)做功。對于歐拉梁，它們可以表示為

(5)

(6)

W=f(t)·w(xf,t)

(7)

將式(2)和式(4)～式(7)代入式(3)可得方程組的矩陣形式

(8)

式中：M為質(zhì)量矩陣;K為剛度矩陣;a(t)和f(t)分別是由響應(yīng)和激勵力組成的向量。

a(t)=Aeiωt

(9)

f(t)=Feiωt

(10)

因此，式(8)可以化為

(K-ω2M)A=F

(11)

對于自由振動，向量F為零，因此式(11)可以寫為

(K-ω2M)A=0

(12)

由此可以得到系統(tǒng)的固有頻率ω和對應(yīng)的振型A。

1.2 墨西哥帽狀小波函數(shù)

在半解析模型中，最為關(guān)鍵的是需要尋找一個合適的型函數(shù)來表達(dá)位移場。盡管在現(xiàn)有對非均勻結(jié)構(gòu)的研究中，多采用冪函數(shù)或者多項(xiàng)式作為形函數(shù)[26-27]，但是因在厚度減小處型函數(shù)會逐漸衰減而對于聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)而言難以適用，且存在隨位置急劇變化的“奇異”現(xiàn)象。墨西哥帽狀小波函數(shù)(Mexican hat wavelet，MHW)可以描述幾何中的重要信息[28]，適于描述在聲學(xué)黑洞尖端急劇變化的波群。

因此，本文選取MHW作為型函數(shù)，它的表達(dá)式為

(13)

通過對自變量進(jìn)行縮放和平移，可以將式(13)定義的函數(shù)擴(kuò)展為一系列MHW的子函數(shù)

(14)

1.2.1 確定縮放因子

當(dāng)梁的范圍為[0,1]時，要使小波函數(shù)有效寬度恰好能覆蓋梁的整個長度，則有：2×5/2j=1，即2j=10。為了構(gòu)建一系列的小波函數(shù)，必須保證每個小波的有效半徑都要落到梁的范圍內(nèi)。可以取更大的j，于是有

j≥ceil(log210)=4

(15)

式中，ceil(x)為最小的整數(shù)，ceil(x)≥x。

1.2.2 確定平移因子

要讓有效寬度[-5/2j+k/2j,5/2j+k/2j]至少有部分落在[0,1]內(nèi)。同時為了避免矩陣的奇異性，可以將k的范圍[29]取為

(16)

式中，floor(x)為最大的整數(shù)，floor(x)≤x。

例如，當(dāng)x0=1 cm，xb2=10 cm時，將梁的長度進(jìn)行單位化后，取j=4，則k∈[-2,18]，此時MHW的子函數(shù)的分布如圖2所示。

圖2 墨西哥帽狀小波函數(shù)縮放和平移后的分布

2 模型驗(yàn)證

考慮含有聲學(xué)黑洞的歐拉梁(見圖1)。對于邊界條件，梁一端處于自由狀態(tài)，另一端處于固支狀態(tài)，取平動彈簧k值為1×1010N/m，旋轉(zhuǎn)彈簧q的值為1×106N·m/rad?？紤]梁的左端x=1 cm處存在加工精度造成的截斷。在COMSOL5.4中建立對應(yīng)的有限元模型，并進(jìn)行模態(tài)分析。梁的尺寸參數(shù)和材料屬性如表1所示。

表1 梁的尺寸參數(shù)和材料屬性

采用本文提出的半解析法計算了含有對稱聲學(xué)黑洞的歐拉梁的固有頻率，并提取了前5階振型，將共振頻率和對應(yīng)的振型與有限元方法進(jìn)行對比，分別如表 2、圖 3所示。兩種方法前5階固有頻率最大誤差不超過1.0%，且前5階振型圖非常吻合。

圖3 有限元法與半解析法前五階振型圖

表2 有限元與半解析法共振頻率比較

在xf=8 cm處施加F=F0eiωt，幅值F0=1 N的激勵力。研究10～5 000 Hz內(nèi)輸出點(diǎn)xout=6 cm處位移幅值隨頻率變化關(guān)系。分別用有限元法和半解析法得到的振動加速度級隨頻率變化曲線，如圖4所示。從圖4可知，兩條曲線在所計算頻率段內(nèi)十分吻合。因此當(dāng)選取墨西哥帽狀小波作為型函數(shù)，設(shè)置合適的縮放因子和平移因子時，本文提出的半解析法可有效的模擬梁的橫向自由振動和強(qiáng)迫振動，驗(yàn)證了半解析法的有效性。

圖4 有限元法與半解析法諧響應(yīng)分析結(jié)果

3 含有分流阻尼的聲學(xué)黑洞梁振動特性分析

含有分流阻尼的聲學(xué)黑洞梁由基體梁、壓電片和分流電路三部分組成，如圖5所示。利用等效介質(zhì)法，將分流阻尼等效為一個均質(zhì)材料，分析含有分流阻尼的聲學(xué)黑洞梁振動特性。

圖5 含有分流阻尼的聲學(xué)黑洞梁

3.1 等效介質(zhì)法

壓電晶體在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)變和電位移可以由應(yīng)力和電場兩方面產(chǎn)生。因此以應(yīng)力張量T和電場強(qiáng)度張量E為自變量，應(yīng)變張量S和電位移張量D為因變量，得到壓電方程為[30]

(17)

式中：sE為恒電場彈性柔順常數(shù)矩陣；εT為恒應(yīng)力介電常數(shù)矩陣；dT為壓電應(yīng)變常數(shù)矩陣d的轉(zhuǎn)置。

壓電片僅受x軸方向的約束，即T1≠0，T2=T3=T4=T5=T6=0。本文所采用的壓電片，其極化表面垂直于z軸，即僅考慮z軸方向的電場作用，即E1=E2=0，E3≠0。根據(jù)這些條件，壓電方程可以化簡為

(18)

式中：sE,11為短路彈性柔順系數(shù);εT,33為恒應(yīng)力介電常數(shù);d31為壓電應(yīng)變常數(shù)。

根據(jù)亞波長近似假設(shè)，電位移D3在面積為A3的電極上幾乎不變，那么電極上的電荷Q可以寫為

Q=?A3D3ds=D3A3

(19)

因此根據(jù)基爾霍夫電流定理和戴維南等效電路，分流電路中的電流可以表示成

(20)

式中:s為拉普拉斯常數(shù);hp為壓電片厚度;Z為分流電路的復(fù)阻抗。

將式(19)和式(20)代入式(18)可得

(21)

式中,Cp為壓電片恒應(yīng)變電容

(22)

從式(21)可知，外接分流電路的壓電片在整體結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)為一個均質(zhì)材料[31]，其密度為壓電材料密度，楊氏模量為等效楊氏模量Em

(23)

式(23)表明等效彈性模量會隨著分流電路的阻抗變化，因此可以通過改變分流電路的阻抗來調(diào)整材料屬性從而調(diào)整局域共振頻率。

選取PZT-5H壓電陶瓷作為壓電片材料，相應(yīng)的參數(shù)值如表3所示。在理論上，壓電陶瓷的尺寸大小和位置與普通阻尼材料保持一致。

表3 PZT-5H壓電陶瓷參數(shù)

3.2 分流電路參數(shù)

通過壓電材料本構(gòu)方程和分支電路方程，可以得到系統(tǒng)的廣義傳遞函數(shù)，由傳遞函數(shù)表達(dá)式可知，對被控結(jié)構(gòu)，由壓電元件和分支電路組成的子系統(tǒng)類似于一個調(diào)諧質(zhì)量阻尼器。通過觀察包含諧振分流壓電材料(resonant shunt piegoelectric，RSP)的系統(tǒng)與包含質(zhì)量阻尼器(proof mass damper,PMD)的系統(tǒng)之間的相似性，可以解決分支電路參數(shù)優(yōu)化問題。通過類似于PMD分析中傳遞函數(shù)優(yōu)化方法，可以得到電感L和電阻R最佳值，采用LR串聯(lián)電路時如圖6所示。此時電感電阻的最佳取值為

圖6 LR串聯(lián)電路

(24)

(25)

機(jī)電耦合系數(shù)K31為反映壓電材料的機(jī)械能與電能之間相互耦合關(guān)系的物理量，對于壓電效應(yīng)，從電邊界條件的頻率改變得到廣義的機(jī)電耦合常數(shù)[32]。

(26)

式中:ωD,n為分支電路為開路時的模態(tài)頻率;ωE,n為分支電路為短路時的模態(tài)頻率。

3.3 數(shù)值分析

聲學(xué)黑洞尺寸與阻尼材料等參數(shù)與表1相同。對敷設(shè)阻尼層的聲學(xué)黑洞梁、連接分流阻尼電路(LR串聯(lián))的聲學(xué)黑洞梁和不含阻尼層的聲學(xué)黑洞梁進(jìn)行諧響應(yīng)分析。通過式(24)～式(26)，可算出取第一階模態(tài)頻率時，最佳電阻值為794.36 Ω，最佳電感值為4.68 H。在xf=8 cm施加單位激勵力，輸出點(diǎn)xout=6 cm處振動加速度級隨頻率變化關(guān)系如圖7所示。粘貼有阻尼層的模型，因?yàn)樽枘岵牧献陨頁p失因子的作用，降低了共振處的峰值。帶有分流電路的模型此時并未表現(xiàn)出優(yōu)異吸能減振的作用。

(a)

與普通阻尼層相比，分流電路可通過改變楊氏模量來改變等效的剛度。因此下面針對低頻處的第一階共振頻率對應(yīng)的峰值，探討改變電阻R和電感L的值，使第一階共振頻率處的峰值削減。

3.3.1 分流電路中電感作用

保持電阻值R=50 Ω一定，嘗試著調(diào)整電感值。電感值減小時，局部共振頻率向高頻移動。當(dāng)電感值L=5.35 H時，與電感值L=4.68 H相比，峰值處衰減了4.14 dB，如圖8所示。從圖8可知，這是因?yàn)楫?dāng)局部共振頻率與結(jié)構(gòu)共振頻率接近時，兩個共振峰相互影響，結(jié)構(gòu)振動能量分?jǐn)傇趦蓚€共振峰處，因此結(jié)構(gòu)振動最大響應(yīng)會下降；僅通過調(diào)整電感值使局域共振與結(jié)構(gòu)共振發(fā)生耦合可以使振動最大峰值產(chǎn)生衰減。

圖8 改變電感值對輸出點(diǎn)振動加速度級的影響(R=50 Ω，L=5.29 H，L=5.35 H，L=5.41 H,L=4.68 H)

3.3.2 分流電路中電阻作用

保持電感值L=5.35 H一定，電阻在電路中作為耗能元件，電阻過小會使局域共振處的振動變得劇烈，類似于結(jié)構(gòu)振動的欠阻尼情況，如圖9所示。從圖9可知，電阻較小，耗能較慢，以致電感和電容之間進(jìn)行往復(fù)的能量交換。增大電阻值會使分流電路局域共振產(chǎn)生的振蕩效應(yīng)消失。為抑制振動峰值為最低水平，電阻取值不宜太大。隨著阻尼參數(shù)的增大，兩個不同的系統(tǒng)模態(tài)合并成一個單一的模態(tài)，當(dāng)阻尼參數(shù)趨于無窮大時，這兩個不同的系統(tǒng)模態(tài)會合并成一個單模態(tài)，并收斂到具有開路壓電元件的系統(tǒng)響應(yīng)。

圖9 改變電阻值對輸出點(diǎn)振動加速度級的影響(L=5.35 H，R=10 Ω，R=50 Ω，R=100 Ω，R=1 000 Ω，開路R=∞)

3.3.3 局域共振頻率

圖10 電阻值為100 Ω電感值為5.35 H時等效楊氏模量實(shí)部

3.3.4 分流阻尼結(jié)構(gòu)特性

結(jié)合以上關(guān)于電阻和電感的討論，選擇電阻值為100 Ω，電感值為5.35 H，將阻抗值優(yōu)化后的分流電路接入聲學(xué)黑洞梁。帶有分流阻尼電路的聲學(xué)黑洞梁、粘貼有阻尼層的聲學(xué)黑洞梁與無阻尼層的聲學(xué)黑洞梁第一階共振峰值，如圖11所示。普通阻尼層對振動峰值消減作用有限，且無法對指定頻率處的振動進(jìn)行抑制。分流阻尼能通過調(diào)整電感值調(diào)諧到機(jī)械系統(tǒng)的一個模態(tài)附近，能連接電阻抑制局部振蕩,從而大大提高可達(dá)到的模態(tài)阻尼比，其效果類似于經(jīng)典的質(zhì)量阻尼器或共振減振器。

圖11 3種模型第一階共振峰值

質(zhì)量阻尼器是一個點(diǎn)阻抗，因此只吸收可用的動能。分流壓電阻尼在使用中為多端口阻抗，其耗散來自于兩個系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的相對運(yùn)動。當(dāng)基體受到外界激勵會產(chǎn)生振動，從而產(chǎn)生形變獲得機(jī)械能。而壓電片由于其正壓電效應(yīng)，受到變形時會在其表面產(chǎn)生電荷，將振動的機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能。電能在分流電路中一部分可以被電阻元件轉(zhuǎn)換成熱量耗散掉，另一部分由于電感元件和壓電片固有電容的相互作用而產(chǎn)生電磁諧振，形成局域振子。因此，分流壓電阻尼可以被認(rèn)為是耗散結(jié)構(gòu)應(yīng)變能。對于基體結(jié)構(gòu)不同變形處，連接分流阻尼耗散能量的能力也存在差異。這種差異可以反映實(shí)際分流阻尼的最佳位置。

在本模型中，通過調(diào)整電感電阻值，可以對指定頻率處的振動進(jìn)行衰減，與含阻尼層聲學(xué)黑洞梁相比，在第一階振動加速度級峰值可以衰減4.92 dB，具有良好的抑制共振峰的效果。分流阻尼與聲學(xué)黑洞結(jié)合后，在整體結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)為粘貼了一層均質(zhì)材料，其等效楊氏模量既與外接電路的阻抗有關(guān)也與頻率有關(guān)。當(dāng)調(diào)整電感值使楊氏模量在某一頻率處發(fā)生突變時，結(jié)構(gòu)就會在此頻率附近處產(chǎn)生局域共振，當(dāng)基體結(jié)構(gòu)共振與局域共振發(fā)生耦合時，結(jié)構(gòu)振動能量分?jǐn)傇趦蓚€共振峰處，因此結(jié)構(gòu)振動最大響應(yīng)會下降，而適當(dāng)?shù)淖柚涤謺行У囊种普袷帲瑑烧呓Y(jié)合作用從而可以使結(jié)構(gòu)振動在指定頻率處進(jìn)行有效衰減。

4 結(jié) 論

本文通過哈密頓原理，選用墨西哥帽狀小波作為型函數(shù)，采用能量法對含有聲學(xué)黑洞的懸臂梁自由振動和受迫振動進(jìn)行求解，與有限元法結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了半解析法的可靠性。將傳統(tǒng)阻尼層替換為分流阻尼，通過等效參數(shù)法求出了分流阻尼結(jié)構(gòu)的等效彈性模量，討論了分流電路參數(shù)對結(jié)構(gòu)振動特性的影響，得出以下結(jié)論：

(1)通過調(diào)整電感值使局域共振與結(jié)構(gòu)共振發(fā)生耦合使振動響應(yīng)峰值產(chǎn)生衰減，另一方面適當(dāng)?shù)淖枘峥梢允拐袷幮?yīng)消失，電阻值增加到無窮大時結(jié)構(gòu)振動收斂到具有開路壓電元件的系統(tǒng)響應(yīng)。本文通過調(diào)整電感電阻值，可以對指定頻率處的振動進(jìn)行衰減，與無阻尼層聲學(xué)黑洞梁相比，第一階共振峰處振動加速度級衰減4.92 dB。

(2)可以通過壓電片等效彈性模量實(shí)部突變對應(yīng)頻率確定局域共振頻率。

目前，大量研究表明聲學(xué)黑洞在截止頻率以上能實(shí)現(xiàn)聚波能力。本文將聲學(xué)黑洞和壓電分流阻尼結(jié)合，改善了聲學(xué)黑洞在低頻振動控制方面的缺陷，為聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的低頻振動控制提供了新的思路。后續(xù)可以進(jìn)一步開展不同電路形式的分析以及優(yōu)化參數(shù)實(shí)現(xiàn)振動綜合控制。