江如春，徐俊，于洪亮

（江蘇省江都水利工程管理處，江蘇 揚(yáng)州 225200）

0 引言

灌溉區(qū)運(yùn)行泵站所需的能量可能很大，節(jié)約能源成本的最大潛在領(lǐng)域之一在于抽水作業(yè)的調(diào)度。新建泵站耗資巨大且能源成本的不斷增加，使泵站的優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)行越來越受到研究者重視。吳遠(yuǎn)為等使用改進(jìn)的粒子群算法來優(yōu)化泵調(diào)度系統(tǒng)，以期達(dá)到將24 h內(nèi)的泵送成本降至最低；江磊等在穩(wěn)態(tài)流中尋找泵站和輸水系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)；馮曉莉和方國(guó)華等人使用遺傳算法優(yōu)化灌溉泵站。

從數(shù)學(xué)上講，泵站的優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)行是一個(gè)大規(guī)模的非線性規(guī)劃問題，因?yàn)樵搯栴}在決策變量的數(shù)量和約束條件的非線性方面的規(guī)模很大。灌溉泵送系統(tǒng)設(shè)計(jì)和運(yùn)行問題的目標(biāo)是在滿足系統(tǒng)約束的同時(shí)，使建設(shè)和運(yùn)行的年折舊成本最小化，以考慮水力學(xué)行為，決策變量的邊界約束，以及其他可能反映操作員偏好或系統(tǒng)限制的約束。

文章提出了一種用于灌溉抽水系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)行的新管理模式。該模型引用粒子群優(yōu)化算法，開發(fā)了一個(gè)兩步優(yōu)化模型，隨后用粒子群優(yōu)化方法求解。該模型首先對(duì)能夠在所需時(shí)間段內(nèi)滿足給定需求的所有可行泵組合進(jìn)行詳盡的枚舉搜索，然后調(diào)用粒子群優(yōu)化算法來搜索每個(gè)集合的最佳操作。在解決了所有可行機(jī)組的運(yùn)行問題后，對(duì)所有機(jī)組和最優(yōu)機(jī)組計(jì)算運(yùn)行總成本和初始投資折舊，并確定相應(yīng)的運(yùn)行策略。將所提出的模型應(yīng)用于實(shí)際灌溉抽水系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行，并給出了結(jié)果并與遺傳算法的結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，該模型與粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合，是一種通用的灌溉抽水系統(tǒng)設(shè)計(jì)與運(yùn)行管理模型真實(shí)世界的灌溉泵送系統(tǒng)。

1 粒子群優(yōu)化算法

在粒子群算法中，每一個(gè)粒子個(gè)體都根據(jù)自己和同事的歷史經(jīng)驗(yàn)在一個(gè)D維空間中飛行，并且粒子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，都在問題空間中追蹤自己的坐標(biāo)。PSO還跟蹤所有粒子的最佳解決方案（gbest），以及目前為止每個(gè)粒子實(shí)現(xiàn)的最佳解決方案（pbest）。在訓(xùn)練迭代結(jié)束時(shí)，粒子群算法改變每個(gè)粒子的速度，使其趨近于pbest和當(dāng)前的pbest值。

之后，有專家學(xué)者根據(jù)粒子群優(yōu)化算法的背景和鳥群的模擬，提出了粒子群優(yōu)化算法的概念。假設(shè)搜索空間是D維的，則群的第i個(gè)粒子可以用一個(gè)D維向量表示，Xi=（xi1，xi2，...xiD）T。這個(gè)粒子的速度（位置變化）可以用另一個(gè)D維向量來表示，Vi=（vi1，vi2，...viD）T，用以修改其最佳解決方案的位置（pbest）及其坐標(biāo)。這些信息類似于每個(gè)粒子的經(jīng)歷。此外，每個(gè)代理都知道到目前為止在pbest中的最佳值（gbest）。這些信息類似于他們周圍的其他粒子如何執(zhí)行的知識(shí)。即每個(gè)粒子都試圖使用以下信息修改其位置：當(dāng)下位置Xi；目前速度Vi；當(dāng)前位置和pbest之間的距離；當(dāng)前位置和gbest之間的距離。

這種修改可以用速度的概念來表示。每個(gè)粒子的速度可以通過以下等式進(jìn)行修改：

上式中，vni,d為粒子i在維度d處的速度；n為迭代次數(shù)；w為慣性權(quán)重；c1、c2為兩個(gè)正常數(shù)，分別稱為認(rèn)知參數(shù)和社會(huì)參數(shù)；r1、r2是隨機(jī)數(shù)，其值均勻分布在0和1之間；sni,d為粒子i在d維度處的當(dāng)前位置，迭代次數(shù)為n；pbestni,d為在d維度，迭代n時(shí)，粒子i的pbest；gbestni,d為d維度群組迭代n次的gbest；i=1，2，...，N，N是群組的大??；d=1，2，...，D，D是維數(shù)；n=1，2，...，iTermax；iTermax是迭代次數(shù)最大值。

當(dāng)前位置（解空間中的搜索點(diǎn)）可以通過下式進(jìn)行修改：

式（1）和（2）定義了PSO算法的初始版本。由于粒子的速度沒有被有效控制，所以必須施加一個(gè)最大值，將其定義為vmax。如果速度超過vmax，則令它等于vmax。這個(gè)參數(shù)被實(shí)踐證明是至關(guān)重要的，因?yàn)檫^大的值會(huì)導(dǎo)致粒子越過好的解，而小的值則會(huì)導(dǎo)致搜索空間不足。

方程（1）中慣性權(quán)重w的作用被認(rèn)為是PSO收斂行為的關(guān)鍵。慣性權(quán)重用于控制先前歷史速度對(duì)當(dāng)前速度的影響。相應(yīng)地，該參數(shù)調(diào)節(jié)了群體的全局和局部探測(cè)能力之間的權(quán)衡。大慣性權(quán)重有利于全局搜索（搜索新區(qū)域），小慣性權(quán)重有利于局部搜索，即微調(diào)當(dāng)前搜索區(qū)域。慣性權(quán)重的適當(dāng)值通常提供全局和局部探索能力之間的平衡，從而減少定位最優(yōu)解所需的迭代次數(shù)。最初，慣性重量是恒定的。然而，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，最好先將慣性權(quán)重設(shè)置為一個(gè)較大的值，以促進(jìn)對(duì)搜索空間的全局探索，并逐漸減小慣性權(quán)重以得到更精細(xì)的解。因此，通過專家學(xué)者的不懈努力，在各代慣性權(quán)重線性變化的情況下，對(duì)粒子群優(yōu)化算法的性能進(jìn)行了顯著改進(jìn)，慣性權(quán)重從搜索開始時(shí)的wmax到搜索結(jié)束時(shí)的wmin呈線性變化。因此，在等式（1）中通常使用以下加權(quán)函數(shù)。

其中wmax為初始權(quán)重；wmin為最終重量；iTermax為最大迭代次數(shù)；n為當(dāng)前迭代次數(shù)。

式（1）中的參數(shù)c1和c2對(duì)PSO的收斂性不是關(guān)鍵性因素。然而，適當(dāng)?shù)奈⒄{(diào)可能會(huì)導(dǎo)致更快的收斂并減緩局部極小值。作為默認(rèn)值，c1=c2=2，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明c1=c2=0.5可能會(huì)得到更好的結(jié)果。最近的研究表明，選擇一個(gè)較大的認(rèn)知參數(shù)c1可能比選擇一個(gè)社會(huì)參數(shù)c2更好，但應(yīng)保證c1+c2≤4。參數(shù)r1和r2用于維持種群的多樣性，并且它們均勻分布在（0，1）范圍內(nèi)。

2 模型優(yōu)化

為了實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過程，可以使用一種適當(dāng)?shù)姆椒?，根?jù)增量時(shí)間流量持續(xù)時(shí)間曲線來使每個(gè)泵組的消耗能量最小化。消耗的能量Ek可表示為以下形式

其中，Ek為第k臺(tái)泵機(jī)年耗能總量；Qi,j為泵i在時(shí)間步長(zhǎng)j處的流量；Hi,j為時(shí)間步長(zhǎng)j時(shí)泵i的泵揚(yáng)程；Eij為時(shí)間步長(zhǎng)為j時(shí)泵i的效率；Δtj為需求-持續(xù)時(shí)間曲線上的時(shí)間步長(zhǎng)；IQj為時(shí)間步j(luò)的總需求；ρ為水的密度；g為重力加速度；i，j，k：表示第k個(gè)泵組號(hào)的需求量-流量曲線第j部分中第i個(gè)泵的下標(biāo)。并非泵效率是泵流量和泵揚(yáng)程的函數(shù)，而是泵揚(yáng)程與第j時(shí)間步的總排量有關(guān)。目標(biāo)函數(shù)式（4）的約束條件為：

凈泵送高度Hi,j（IQj）還與總泵送揚(yáng)程Hi,j相關(guān)，公式如下：

式中Li=泵的輸送管長(zhǎng)度；f=摩擦系數(shù)；Di=泵的輸送管徑；HSi,j=持續(xù)時(shí)間步長(zhǎng)j時(shí)泵i的靜壓頭；hfi,j=泵i持續(xù)時(shí)間步長(zhǎng)j時(shí)的摩擦水頭損失。

下一步是計(jì)算生成機(jī)組的年度總成本（ATC）。目標(biāo)函數(shù)可寫為：

式中CRF為資本回收系數(shù)，定義為：

CE、分別為第i臺(tái)泵的單位能源成本和成本；CRF=資本回收率；Ci=建設(shè)期后泵i的等效成本；CT=施工時(shí)間長(zhǎng)度；r=利率。

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算過程，假設(shè)泵效率曲線是流量的函數(shù)，如下所示：

其中，ai，bi，ci為通過擬合過程從第i個(gè)泵的性能曲線中找到的系數(shù)。

3 模型應(yīng)用

為做案例研究，文章考慮使用江蘇省南水北調(diào)項(xiàng)目某農(nóng)業(yè)主泵站。圖1顯示了需求持續(xù)時(shí)間曲線及其離散化方案，由主泵站泵送。與試驗(yàn)泵站的現(xiàn)有設(shè)計(jì)一樣，考慮采用一個(gè)流量持續(xù)時(shí)間曲線問題，其中12個(gè)分區(qū)代表一年中的每個(gè)月，每個(gè)泵組中有4種不同類型，最多10個(gè)單元泵。

圖1 試驗(yàn)泵站農(nóng)工項(xiàng)目需求柱狀圖

從4種不同的泵類型中選擇最佳的泵組。從給定泵的效率相對(duì)流量曲線中選擇的點(diǎn)列在表1中，并在設(shè)計(jì)實(shí)例和優(yōu)化設(shè)計(jì)中使用。

表1 指定泵類型的效率-流量關(guān)系表

需要注意的是，在優(yōu)化模型中，“相對(duì)流量”是每臺(tái)泵的流量與最大允許流量之比，qi=Qi/Qmaxi被選為決策變量以簡(jiǎn)化計(jì)算。此外，令r=0.06每年，CT=3年，TP=20年，以便在優(yōu)化模型的結(jié)果與工程設(shè)計(jì)的結(jié)果之間進(jìn)行公平的比較。

在實(shí)際情況中，為了避免公式（4）計(jì)算中被零除的問題，效率-相對(duì)流量曲線考慮了兩種不同的曲線，以防止報(bào)告不可行和不正確的流量結(jié)果。因此，通過在程序中應(yīng)用兩條曲線，即主曲線ei=aiqi2+biqi+ci和附加曲線，在不損失最終最優(yōu)結(jié)果的情況下，在計(jì)算過程中消除了程序向不可行結(jié)果的轉(zhuǎn)移。表2顯示了10個(gè)第一優(yōu)化組的泵數(shù)量和年總成本，而最佳泵組的典型排放量如表3所示。

表2 10臺(tái)第一最佳機(jī)組的泵數(shù)量和年總成本表

表3 最佳泵組的典型輸出流量表

在分析由兩個(gè)1型泵組成的系統(tǒng)所消耗能量后發(fā)現(xiàn)，盡管該變化似乎具有單峰性質(zhì)，但實(shí)際目標(biāo)函數(shù)可能表現(xiàn)出多峰特征，因?yàn)樗且恍┚哂胁煌罴腰c(diǎn)的近似單峰函數(shù)的疊加。

4 結(jié)論

文章將一種新的進(jìn)化算法即粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于灌溉水泵系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與運(yùn)行問題。從數(shù)學(xué)上講，泵站的優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)行是一個(gè)大規(guī)模的非線性規(guī)劃問題，因?yàn)閱栴}的規(guī)模取決于決策變量和約束的個(gè)數(shù)和非線性。文章所提出的優(yōu)化模型是一個(gè)兩步模型。該模型首先使用一個(gè)枚舉方案來尋找能夠提供給定需求曲線的一組可能的泵組合；第二步利用粒子群優(yōu)化模型，在給定的可行條件下，通過改變泵組的設(shè)置和流量，使初始投資的運(yùn)行成本和折舊成本最小化。研究以江蘇省南水北調(diào)某農(nóng)工項(xiàng)目主泵站為例進(jìn)行求解，并給出了計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了文章模型的可行性，為泵站運(yùn)行穩(wěn)定具有一定的指導(dǎo)意義。