摘 要：基于諧波函數方法來描述車輪多邊形，建立地鐵車輛動力學仿真模型;分析多邊形幅值、階次對不同速度等級下車輛的動力學性能影響;結合動力學指標著重探討車輪出現(xiàn)跳軌之后的動力學表現(xiàn)。

關鍵詞：車輛系統(tǒng)動力學 車輪多邊形 諧波函數方法

Abstract：The wheel polygon is described based on the harmonic function method， and the dynamic simulation model of the subway vehicle is established; the influence of the polygon amplitude and order on the dynamic performance of the vehicle at different speed levels is analyzed; combined with the dynamic index， dynamic performance is emphatically discussed after wheel jumps.

Key words：vehicle system dynamics， wheel polygon， harmonic function method

隨著列車速度的增加，車輪與軌道之間的沖擊振動變得越來越強，車輪磨耗速度迅速加劇，問題也變得更加復雜。當地鐵車輛運行公里數達到一定值后，出現(xiàn)的車輪非圓化（Out-of-round）便是其中一個突出問題。

車輪非圓化（OOR）可根據不同的表現(xiàn)形式可以分為車輪多邊形化、扁疤、局部凹陷、剝落、脫落和踏面突起等形式[1]。其中，車輪多邊形化，即車輪半徑沿圓周呈周期性或非周期變化，是車輪非圓化的主要形式。車輪多邊形根據各階次非圓化中主要階次分為低階多邊形（幾何偏心磨耗）和高階多邊形。

車輪多邊形的生成與發(fā)展[1]過程很復雜，有很多因素都能夠誘導車輪多邊形的產生：如，新車輪加工過程中，使用三爪卡盤固定車輪的方法會導致車輪產生初始多邊形，呈現(xiàn)一定程度的偏心和高階形態(tài)[2][3]，運行過程中進行的不落輪鏇修同樣會導致車輪多邊形[4]，牽引電機振動頻率與車輪固有頻率耦合也會導致車輪多邊形[5]，因此其產生機理直到現(xiàn)在還是沒有得到很好解釋。

本論文將從理論分析方面著手，針對地鐵車輛車輪多邊形問題，采用鐵道車輛動力學仿真技術。通過理論分析了解影響輪軌動力作用的各種因素，為試驗研究提供指導，改進監(jiān)測方法。這一研究對于保證我國地鐵運營安全具有重要的理論意義和參考價值。

1 動力學計算模型建立

1.1 車輛系統(tǒng)動力學模型

本文采用SIMPACK的鐵路模塊建立地鐵A型車列車動力學模型，SIMPACK作為一款專門針對機械/機電系統(tǒng)運動學/動力學仿真分析的多體動力學軟件，可以快速建立機械系統(tǒng)和機電系統(tǒng)的的動力學模型;并采用諧波函數方法對車輪多邊形進行描述，得到系統(tǒng)在多邊形影響下的動態(tài)響應。

對車輛動態(tài)特性的進行研究和分析時，需要將抽象的物理模型轉化為實際的動力學模型。由于整車模型比較復雜，為了方便計算分析，考慮影響車輛系統(tǒng)動力學的主要因素，以反映車輛本身的真實結構在建模過程中需要對影響車輛性能的一些次要因素進行合理的假設和簡化。

（1）輪對，軸箱，轉向架，車體均被視為剛體，采用力元代替彈簧阻尼元件，在計算動力學的過程中不考慮車輛系統(tǒng)中各部件彈性變形。

（2）只考慮車輪多邊形對單節(jié)車的影響，忽略軌道不平順與列車組之間縱向運行的影響。

1.2 車輪多邊形模型

車輪多邊形的建模通常是將車輪多邊形轉化為軌道不平順激勵輸入[6]到車輛軌道耦合系統(tǒng)中，這使得仿真過程中車輛同側所有車輪均受到相同的輪軌激擾，與現(xiàn)實輪軌磨耗差異較大。為區(qū)分不同車輪實際的多邊形磨耗差異，本文將采用改變極坐標下的車輪半徑值來描述車輪多邊形，從而計算車輪多邊形對地鐵車輛動力學的影響。

在車輪半徑輸入函數中，通過對極坐標系下車輪的半徑差進行逐點對描述。然后通過公式（1）將極坐標下車輪坐標轉換為笛卡爾坐標系下的數據，再進行樣條曲線的插值：

其中Xi，Yi為圓周上數據點的笛卡爾坐標，K為幅值比例因子，Rnominal為車輪名義滾動圓半徑，βi為車輪轉動角，ΔR（βi）為極坐標系下的車輪半徑差。

2 車輪多邊形對地鐵車輛動力學性能的影響

本章基于第一章中建立的地鐵車輛多剛體動力學模型，計算分析了不同速度等級下多邊形階次和幅值對車輛系統(tǒng)動力學性能的影響，并根據動力學性能指標探討車輪多邊形的的安全限值。

2.1 動力學性能指標

地鐵車輛在軌道上運行時，車輪多邊形必然會導致輪軌間的沖擊作用，從而使地鐵車輛系統(tǒng)中車輪、轉向架到車體等各部件產生位移、速度和加速度的變化[7]。因此本文將從安全指標、輪軌間動態(tài)作用及運行平穩(wěn)性指標等三個方面探究車輪多邊形對地鐵車輛動力學性能的影響。

2.1.1 安全性指標

列車運行的最基本要求是保證車輛的安全，列車的不斷提速使得安全性問題越發(fā)受到國內外學者的重視，因此對車輛安全性指標進行了大量的實際檢驗跟理論驗證。車輛安全性主要關注的是列車脫軌和傾覆的問題。國內一般采用脫軌系數對車輛運行的安全性進行評價。

脫軌系數的值為某一時刻作用車輪橫向力Q與垂向力P的比（Q/P），其用來描述車輛出現(xiàn)脫軌現(xiàn)象的可能性，我國脫軌系數規(guī)定如下：

Q/P≤0.8 （脫軌系數大于0.8的時間t>0.7s）

Q/P≤0.056t-1（脫軌系數大于0.8的時間t>0.7s） （2）

2.1.2 輪軌動態(tài)性能指標

輪軌動態(tài)性能指標包含輪軸橫向力，輪軌垂向力和輪軌橫向力振動等三個方面的標準。一般沿用英國標準將輪軌垂向力分為高頻力和低頻力。高頻力是導致輪對、鋼軌損壞的主要原因，其頻率高，瞬間作用于輪軌之間。低頻力是破壞軌道結構的主要因素，其作用時間較長，能夠充分向車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)傳播。

我國規(guī)定，列車通過直線、曲線時，輪軌垂向力安全限值為：

Pmax≤170KN

2.1.3 運行平穩(wěn)性指標

車輛運行的平穩(wěn)性主要是用來評價車輛振動引起旅客乘坐舒適度的變化，因此通常使用車體加速度作為衡量指標。車體的振動加速度，包括加速度大小和加速度頻率兩部分;加速度大小常采用其最大值或振動加權有效值對其進行評價;當從加速度頻率考慮車輛平穩(wěn)性時，常采用歐洲的Sperling指標。

Sperling指標主要同于評估乘客的舒適度和車輛運行品質，其計算公式為：

式中：A—振動加速度，單位是g;

f—振動頻率，單位是Hz;

F（f）—頻率修正系數;

F（f）為不同振動頻率下加權系數。

2.2 動力學性能分析

車輛實際運行過程中被檢測出車輪多邊形磨耗主要集中在階次范圍為1-20階、幅值范圍為0.05mm-0.2mm內，因此本章基于Simpack動力學模型，針對實際檢測到的多邊形階次，范圍進行仿真分析，從車輛垂向平穩(wěn)性、加速度、輪軌垂向力等指標評價車輪多邊形對車輛系統(tǒng)動力學的影響。

2.2.1 運行平穩(wěn)性指標

對于車輛系統(tǒng)的仿真計算，采用考慮車輪多邊形的Simpack動力學模型，不考慮軌道激勵，計算得到車輪多邊形對車輛垂向平穩(wěn)性指標的影響規(guī)律，如圖1所示。由圖可知，當車輪多邊形幅值、車速相同的情況下：多邊形階數 時，車輛垂向平穩(wěn)性指標隨多邊形階數的增加而降低，但階數超過5后，平穩(wěn)性指標急劇上升，車輛平穩(wěn)性變差，這種變化規(guī)律與平穩(wěn)性的計算方式有關。且同一多邊形下，地鐵車輛的平穩(wěn)性明顯差于低速列車的平穩(wěn)性。

在車輛運行時，車輪多邊形會引起車輛系統(tǒng)振動，振動頻率f為：

f=N·V/（2πR0） （4）

式中，N為車輪多邊形的階數，V為車速， R0為車輪名義滾動圓的半徑。車輪多邊形是車輛系統(tǒng)的主要外部激勵，如表1給出車輪多邊形引起的振動頻率。

當車速為50m/s時，多邊形階數為1-4 階的車體垂向加速度頻譜圖，如圖2所示。從圖中可知第1、3階車體垂向振動的主頻分別為17.292Hz、51.87Hz;對比表4給出的當車數為50m/s時，第1、3階車輪多邊形引起的激勵頻率可知，兩者頻率基本一致，由此可以判斷出車體垂向平穩(wěn)性會受到車輪多邊形階次的影響。當車輪存在1階多邊形時，其引起垂向振動頻率在20Hz以內，因此在低階多邊形范圍內，即多邊形階次小于5時，1階多邊形對平穩(wěn)性的影響最大;但隨著多邊形階數的增加，其激振逐漸遠離20Hz的平穩(wěn)性指標敏感區(qū)，所以平穩(wěn)性指標出現(xiàn)了降低。

當多邊形階次增加到5階后，平穩(wěn)性指標出現(xiàn)了增大的趨勢;圖3為不同高階多邊形影響下的車體垂向振動加速度，從圖5可知，這是由于車輪多邊形達到5階之后，雖然多邊形引起的激振頻率遠離20Hz，但車體的響應在4Hz左右出現(xiàn)了增大，嚴重影響車輛平穩(wěn)性。

2.2.2 輪軌動態(tài)指標

（1）車輪多邊形階次對輪軌垂向作用力的影響。

圖4為車輛多邊形幅值為0.1mm時，輪軌垂向力在不同車速與不同多邊形階次下的變化情況。只考慮階次對輪軌垂向作用力的影響時，以車速50m/s時為例，在多邊形1 - 5階的范圍內，輪軌垂向力在安全限值以內，輪軌垂向力沒有超過標準規(guī)定的170kN。但5階多邊形之后，輪軌力出現(xiàn)迅速增大，且均超過了安全限值，因此幅值為0.1mm的5-20階多邊形為危險區(qū)。同時可以發(fā)現(xiàn)在5階多邊形左右范圍內，輪軌垂向力存在一個明顯的峰值，其對應的頻率為110Hz，與輪對的搖頭頻率重合。因此可以推斷出在相應的速度等級下，多邊形引起的局部振動頻率與輪對的搖頭頻率接近一致會引起共振，比如在車速為80m/s時，4階車輪多邊形的激勵頻率111.11Hz，因此輪軌垂向力也出現(xiàn)了局部最大值。

輪軌垂向力的安全限值為170kN;觀察圖4中170kN的安全限值界限，可知當車速分別為50、60、70、80m/s時，對應6階、5階、5階、4階多邊形引起的輪軌垂向力超出安全范圍。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，在低階多邊形中，輪軌垂向力變化比較平緩，但多邊形階數到達10階以上，輪軌垂向力增加很快。

上述分析表明：在只考慮階次對輪軌垂向作用力的情況下，輪軌垂向力隨著多邊形的階數的增大而增加;當多邊形達到一定的階次，多邊形的激勵頻率與輪對的搖頭頻率趨近，因而發(fā)生了共振，輪軌垂向力迅速超過了安全限值;隨著多邊形的激勵頻率逐漸遠離共振范圍，輪軌垂向力有逐漸下降的趨勢。

（2）車輪多邊形幅值對輪軌垂向作用力的影響。

圖5為不同速度等級下，多邊形幅值分別為0.05mm、0.10mm、0.15mm、0.20mm時的輪軌垂向力。其中以圖5（d）速度等級為80m/s，對比不同幅值對輪軌垂向作用力的影響。從圖中可知4個不同幅值下的輪軌垂向力發(fā)展趨勢整體上依然符合：隨著多邊形階次的增加，輪軌垂向力會逐漸增大，當車輪多邊形引起的激勵激勵與輪對的搖頭頻率重合時，會形成局部最大值。同時可以發(fā)現(xiàn)在低階多邊形，幅值對輪軌力的影響不是很大，但是當多邊形階次到達5階之后幅值的影響就逐漸顯現(xiàn)，例如在速度80m/s，多邊形階數為9時，0.2mm幅值時的輪軌垂向力為1292.41kN;相比于幅值0.1mm的輪軌垂向力（638.407 kN），增幅為102.4%;而在多邊形階數為3階時，幅值為0.2mm的垂向力比幅值0.1mm時只增加了11.12%。從圖7中對比不同速度等級下的輪軌垂向力，發(fā)現(xiàn)相同多邊形階數下，速度等級越高，多邊形幅值的安全限值越小;相同運行速度下，多邊形階次越高，幅值的安全限值越小。

通過對輪軌垂向力的分析發(fā)現(xiàn)，車輛系統(tǒng)在某些多邊形階次、幅值下會有跳軌現(xiàn)象的的存在，即車輪會瞬間脫離鋼軌隨后迅速落下，在輪軌之間產生高頻沖擊力，對車輛與軌道系統(tǒng)造成結構性破壞，因此有必要對這種現(xiàn)象進行討論。跳軌現(xiàn)象的評判標準為某一瞬間輪軌垂向力為0。

由圖6反映了不同速度與多邊形階數、幅值下，開始出現(xiàn)跳軌現(xiàn)象時的多邊形階數變化情況。從該圖中可以看出，在車輪跳軌之后，輪軌力迅速增加并產生高頻沖擊力。車輪多邊形幅值分別為0.1、0.2mm時，車輪出現(xiàn)跳軌現(xiàn)象對應的多邊形階次在相同速度速度下是一樣，但幅值為0.05mm，多邊形跳軌階次出現(xiàn)了明顯的變化，因此有必要探究多邊形幅值小于0.05mm，多邊形跳軌階次的變化情況。因此分別給出了多邊形幅值0.01mm、0.03mm、0.05mm時，車輪開始出現(xiàn)跳軌現(xiàn)象的多邊形階次，如表2所示。

綜上所述：多邊形幅值小于0.05mm，當多邊形階達到一定階次，車輪會更容易出現(xiàn)跳軌現(xiàn)象。而多邊形幅值大于0.1mm時，當多邊形激勵頻率與輪對的搖頭頻率重合時，車輪就會出現(xiàn)跳軌現(xiàn)象。

2.2.3 安全性指標

圖7為不同車輪多邊形幅值、階次下脫軌系數的最大值。從圖7中可知，脫軌系數整體上隨著多邊形階次增加而增加;同時當階次不變時，隨著多邊形幅值的增加，脫軌系數也顯著增大;且從多邊形階次達到5階，脫軌系數迅速增加，但仍然小于脫軌系數限值限值。因此雖然多邊形對脫軌系數有影響，但不會超出安全范圍。

脫軌系數為車輪橫向力與垂向力的比值，而隨著車輪多邊形階次、幅值的增加，脫軌系數會發(fā)生變化，這表明車輪多邊形不僅會影響輪軌垂向力，還會導致輪軌橫向力的變化。圖14給出了當多邊形幅值為0.05mm、車速為50m/s時脫軌系數隨時間的變化趨勢，從圖中可知20階多邊形的車輪橫向力明顯大于15階多邊形，因此這也證明車輪多邊形會影響車輛系統(tǒng)橫向振動。

3 結語

本文通過對比分析了不同幅值下1-20階多邊形對地鐵車輛的動力學影響，得到如下結論：

（1）在低階多邊形范圍內，1階多邊形對平穩(wěn)性的影響最大。對于高階多邊形而言，幅值對平穩(wěn)性指標的影響更大。

（2）在相應的速度等級下的多邊形引起激勵頻率與輪對的搖頭頻率接近時，會發(fā)生了共振，因此輪軌垂向力出現(xiàn)了局部最大值;但整體上輪軌垂向力會隨著多邊形階次跟幅值的增加而快速增大。

（3）在低階多邊形時，一系懸掛系統(tǒng)跟二系懸掛對外部激勵有明顯的減震作用。脫軌系數會隨著多邊形階次與幅值的增加而增加，但不會超出安全范圍。

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作者簡介

李?。海?994—），男，漢族，湖北十堰人，助理工程師，碩士，現(xiàn)任職于武漢地鐵運營有限公司。研究方向：車輛維保、輪軌關系。