梁志國

(北京長城計量測試技術研究所 計量與校準技術重點實驗室，北京 100095)

1 引 言

正弦現(xiàn)象是自然界中的基本物理現(xiàn)象之一，涉及到振動、擺動、波動的多數(shù)現(xiàn)象，均可以歸結為正弦現(xiàn)象。因而，正弦波成為儀器儀表和計量測試行業(yè)中應用最廣的曲線波形[1～5]。以正弦波形采樣序列為基礎的四參數(shù)最小二乘曲線擬合算法，成為估計正弦波形的幅度、頻率、初始相位、直流偏移4個基本參數(shù)的最精確方法，應用廣泛[6～9]。它可適用于單周期、多周期、殘周期、均勻采樣、非均勻采樣等多種不同的測量條件[2,3,7,8,10～12]。不僅如此，它還被用于A/D的有效位數(shù)評價中，成為必不可少的基本方法[6,9,13～15]。在調制信號的數(shù)字化解調，以及其它許多相關問題的解決中，均有重要應用。

在正弦波形參數(shù)擬合中，人們最關心擬合參數(shù)的不確定度或誤差狀況[14～21]。針對這一問題，美國NIST的Deyst等進行了先期研究[16]，其主要涉及的因素包括諧波、抖動、信噪比、初始相位、序列所包含的周波數(shù)、序列長度等幾個因素，及它們對幅度、頻率、初始相位、直流分量4個擬合參數(shù)的影響；并以經驗公式、仿真曲線方式，給出了這些因素產生影響的誤差界，對實際工作具有較大的指導和借鑒價值，意義重大。然而，量化誤差的影響并未予以特別關注。實際上，正弦波采樣序列多是通過A/D轉換器以模數(shù)轉換實現(xiàn)模擬信號向數(shù)字量的轉化。目前，已有的模數(shù)轉換器技術產品，A/D位數(shù)已經覆蓋了8～24 bit分辨力的全部范圍，并已經有32 bit分辨力的A/D產品出現(xiàn)。但是，大多數(shù)數(shù)字示波器的A/D位數(shù)仍然使用8 bit分辨力的A/D，因此，量化誤差的影響不容忽視。

量化誤差并非隨機誤差，在周期性波形的測量中，它是兼具系統(tǒng)誤差和噪聲誤差特性的周期性誤差因素。首先，它會給幅度擬合帶來隨幅值變化而變化的影響，并間接影響到其它參數(shù)的擬合結果。

另外，即使是同一幅度的正弦信號，由于疊加在其上的直流分量(直流偏移)不同，也會導致量化后的采樣序列量化誤差的變化。

最后，在確定的A/D位數(shù)基礎上，變化的信號幅度、頻率、初始相位，以及變動的采樣速率、序列長度、序列所含的周波數(shù)等因素發(fā)生變化時，都將給正弦波擬合參數(shù)帶來怎樣的變化，這些狀況，尚未予以系統(tǒng)揭示。

實際上，在許多場合下，和諧波、隨機噪聲等因素相比，A/D量化誤差、信號量程、采樣速率、序列長度等測量條件起到了主導作用。但每一次測量，所面臨的波形參數(shù)，所使用的測量條件等又具有非固定的特征。在這種情況下，人們更為關心的是，存在A/D量化誤差的情況下，每一種不同的測量條件下四參數(shù)正弦曲線擬合參量的誤差界變化情況，以便指導測量儀器系統(tǒng)的選用，構建測量條件，從而達到預期的測量目的。本文后續(xù)內容，將主要討論量化誤差帶來的擬合參量的誤差界問題，并試圖以仿真計算方式，針對8 bit分辨力A/D的情況，將每一種組合方式的誤差界揭示出來。

2 基本思想

2.1 測量條件

在波形數(shù)據采集中，測量條件通常涉及主觀條件和客觀條件2種?？陀^條件一般指被測波形的參量條件, 包括幅度、頻率譜等信息。對于正弦信號，則指其幅度、頻率、直流分量、初始相位等波形參量；更進一步細化，將包括其抖動、失真、諧波、噪聲等等參量；它們是不以人的意志為轉移的客觀存在，很難被干預和變動。主觀條件，則特指可以通過自主選擇而變化的測量條件，包括測量儀器系統(tǒng)的幅度量程、A/D位數(shù)、采樣速率、存儲深度、通頻帶、幅度測量誤差、線性度、采樣速率誤差等。

在正弦波形的采樣測量中，采樣速率與信號頻率是相關聯(lián)的，兩者的比值是每個周波的采樣點數(shù)，通過選擇不同的采樣速率而改變該比值；當其固定后，采樣序列的長短決定了其所包含周波數(shù)的多少。通過選取量程范圍，改變被測信號幅度與量程的占比；通過選擇不同A/D位數(shù)的測量儀器和系統(tǒng)，改變量化誤差的大小。最終，用于改變正弦波擬合參數(shù)的誤差界。

綜合考慮各方面因素，選出具有相互獨立性和系統(tǒng)完備性的左右量化誤差影響的測量條件為：

1)A/D位數(shù)，用于確定量化水平及影響；

2)采樣序列包含周波數(shù)，用于確定周波數(shù)的影響；

3)序列樣本點數(shù)，用于確定存儲深度的影響；

4)信號幅度，用于確定幅度變動的影響；

5)初始相位，用于確定信號相位變化帶來的影響；

6)直流分量，用于確定直流分量變化帶來的影響。

經過四參數(shù)正弦曲線擬合后，獲得的指標特征參量為：

1)有效位數(shù)誤差界，單位為bit。有效位數(shù)通常用以表述擬合曲線和實際測量序列之間的擬合殘差，假定其在整個信號量程范圍內均勻分布，按照純量化誤差規(guī)律折合成的A/D位數(shù)。理想狀況下，有效位數(shù)的量值應該與測量序列所用的A/D位數(shù)相等；其誤差界，應該是有效位數(shù)不確定度的波動邊界。

2)擬合幅度誤差界，以LSB表述。

3)擬合頻率誤差界，以相對誤差表述。

4)擬合相位誤差界，單位以度(°)表述。

5)擬合直流分量誤差界，以LSB表述。

LSB(least bit)稱為最小量化階梯，當A/D位數(shù)為b，幅度量程為E時，有

2.2 誤差界搜索

正弦參數(shù)擬合的誤差界，是在上述6項測量條件下，固定其中的5項，變化1項，搜索出該條件變化時，四參數(shù)正弦擬合所獲得的有效位數(shù)、幅度、頻率、相位、直流分量等5項指標的誤差界。

3 仿真實驗及數(shù)據處理

仿真使用計算機進行，按照數(shù)學關系產生理想正弦數(shù)據，然后再設定量程，按照仿真的A/D位數(shù)進行量化，生成理想仿真序列。將該具有已知參量的仿真序列在選定的正弦波擬合軟件中進行數(shù)據處理，獲得擬合參數(shù)。

仿真參數(shù)按照已知規(guī)律變化，獲得變化條件下的擬合參數(shù)變化規(guī)律，并以此搜索各個擬合參數(shù)的誤差界。

3.1 仿真實驗條件

為方便參數(shù)調控，不失一般性，設定包含6項測量條件的仿真實驗條件如下：

1)A/D位數(shù)，基本參量為8 bit。

2)采樣序列包含周波數(shù)，未特別說明時，為20個周波。作為主變化因素時，變化范圍為0.90～21.00個周波，0.01周波步進；作為輔助變化量時，變化范圍為2～20個周波，1周波步進。

實際仿真過程中，通過使用歸一化頻率1 Hz來調整采樣速率，結合樣本點數(shù)，最終構建周波數(shù)。

3)序列樣本點數(shù)，未特別說明時，序列樣本點數(shù)為16 000點。

作為主變化因素時，變化范圍為100～16 000點，1點步進；作為輔助變化量時，變化范圍為 1 000～16 000點，1 000點步進。

4)信號幅度，使用歸一化幅度1。未特別說明時，幅度為82.312 5%×量程，并以此設定量程范圍。

作為主變化因素時，幅度宏觀變化范圍為量程的7.8%～100%，0.005 LSB步進；作為輔助變化量時，在82.312 5%×量程點處，其微觀變化范圍-0.5～0.5 LSB，0.05 LSB步進。

5)初始相位，未特別說明時，初始相位為0°。

作為主變化因素時，變化范圍為-180～180°，1°步進；作為輔助變化量時，范圍不變，10°步進。

6)直流分量，未特別說明時，直流分量為0。

作為主變化因素時，變化范圍為-2～2 LSB，0.01 LSB步進；作為輔助變化量時，變化范圍為-0.5～0.5 LSB，0.05 LSB步進。

3.2 仿真實驗結果

按照上述仿真實驗條件，分別以一種參量為主變化因素，另一種參量為輔助變化因素生成實際的仿真條件，考察各指標要素的誤差變化情況。

3.2.1 幅度作為主變化因素

1)周波數(shù)作為輔助變化量，獲得如附錄中圖1所示的誤差變化曲線波形。

2)相位作為輔助變化量，獲得如圖2所示的誤差變化曲線波形。

3)直流分量作為輔助變化量，獲得如圖3所示的誤差變化曲線波形。

4)數(shù)據點數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖4所示的誤差變化曲線波形。

3.2.2 周波數(shù)作為主變化因素

1)幅度作為輔助變化量，獲得如圖5所示的誤差變化曲線波形。

2)初始相位作為輔助變化量，獲得如圖6所示的誤差變化曲線波形。

3)直流分量作為輔助變化量，獲得如圖7所示的誤差變化曲線波形。

4)數(shù)據點數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖8所示的誤差變化曲線波形。

3.2.3 初始相位作為主變化因素

1)幅度作為輔助變化量，獲得如圖9所示的誤差變化曲線波形。

2)周波數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖10所示的誤差變化曲線波形。

3)直流分量作為輔助變化量，獲得如圖11所示的誤差變化曲線波形。

4)數(shù)據點數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖12所示的誤差變化曲線波形。

3.2.4 直流分量作為主變化因素

1)幅度作為輔助變化量，獲得如圖13所示的誤差變化曲線波形。

2)周波數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖14所示的誤差變化曲線波形。

3)初始相位幅度作為輔助變化量，獲得如圖15所示的誤差變化曲線波形。

4)數(shù)據點數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖16所示的誤差變化曲線波形。

3.2.5 數(shù)據點數(shù)作為主變化因素

1)幅度作為輔助變化量，獲得如圖17所示的誤差變化曲線波形。

2)周波數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖18所示的誤差變化曲線波形。

3)初始相位作為輔助變化量，獲得如圖19所示的誤差變化曲線波形。

4)直流分量作為輔助變化量，獲得如圖20所示的誤差變化曲線波形。

3.3 仿真實驗結果分析

3.3.1 有效位數(shù)誤差界

從圖1(a)～圖20(a)可以看出：

1)數(shù)據點數(shù)是影響有效位數(shù)誤差界(誤差包絡線)的最重要因素，總體而言，數(shù)據點數(shù)的增大，可以導致有效位數(shù)誤差界的變窄，但并非單調變窄。500點以上的數(shù)據點數(shù)，可以獲得有效位數(shù)誤差界下界-0.5 bit，上界0.5 bit；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據點數(shù)。

2)當幅度在量程范圍內大尺度變化時，有效位數(shù)誤差界隨幅度增加呈緩慢下降趨勢；當幅度量程比在7.8%以上時，其誤差下界-0.1 bit，上界0.1 bit；幅度在LSB量值尺度的微小范圍變化時，有效位數(shù)誤差隨幅度變化呈局部周期性變化，幅度周期為1 LSB；在滿量程附近會出現(xiàn)削波影響導致的有效位數(shù)誤差增大現(xiàn)象。

3)有效位數(shù)誤差隨周波數(shù)的增加呈震蕩衰減變化。其波動的誤差下界-0.01 bit，上界0.01 bit。

4)初始相位因素對有效位數(shù)誤差的影響可以忽略。其波動的誤差下界-0.000 3 bit，上界0.000 3 bit。

5)直流分量在LSB量值尺度的微小范圍變化時，有效位數(shù)誤差隨其變化呈周期性變化，幅度周期為1 LSB；其波動的誤差下界-0.022 bit，上界0.018 bit。

3.3.2 幅度誤差界

從圖1(b)～圖20(b)可以看出：

1)數(shù)據點數(shù)是影響幅度誤差界的最重要因素，數(shù)據點數(shù)的增大，可以導致幅度誤差界的單調變窄。其誤差界下界-0.53 LSB，上界0.52 LSB；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據點數(shù)。

2)幅度誤差界隨幅度增加呈緩慢下降趨勢，下界-0.12 LSB，上界0.06 LSB。

幅度在LSB量值尺度的微小范圍變化時，幅度誤差隨幅度變化呈局部周期性變化，變化周期為1 LSB；不同幅度將改變幅度誤差的量值。

3)周波數(shù)為2及以上時，周波變化給幅度誤差界帶來的影響可以忽略。當周波數(shù)為1時，幅度誤差界有顯著性增大(下界-0.15 LSB，上界0.07 LSB)。

4)初始相位因素的影響可以忽略。

5)幅度誤差界隨直流分量的變化呈周期變化，周期為1 LSB，其下界-0.037 LSB，上界0.012 LSB。

3.3.3 頻率誤差界

從圖1(c)～圖20(c)可以看出：

1)數(shù)據點數(shù)與周波數(shù)的結合，是影響頻率誤差界的最重要因素，數(shù)據點數(shù)的增大，可以導致頻率誤差界的變窄，但并非單調變窄。100點以上的數(shù)據點數(shù)，可以獲得頻率誤差界下界-1.3×10-3，上界1.3×10-3；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據點數(shù)。

2)頻率誤差隨幅度增加呈衰減下降趨勢，但不單調下降，主要由幅度、周波數(shù)的變化確定，下界-2.6×10-4，上界4.0×10-4。

3)周波數(shù)增大時，頻率誤差隨周波數(shù)增加呈震蕩衰減趨勢，但并不一直單調下降，頻率誤差下界-3.2×10-4，上界2.0×10-4。

4)初始相位、直流分量因素的影響可以忽略。

3.3.4 初始相位誤差界

從圖1(d)～圖20(d)可以看出：

1)數(shù)據點數(shù)與周波數(shù)的結合，是影響初始相位誤差界的最重要因素，數(shù)據點數(shù)的增大，可以導致初始相位誤差界的變窄，但并非單調變窄。其誤差界下界-0.24°，上界0.24°；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據點數(shù)。

2)初始相位誤差隨幅度增加呈衰減下降趨勢，但不單調下降，主要由幅度、周波數(shù)的變化確定，下界-0.10°，上界0.12°。

3)當周波數(shù)為1.4以上后，初始相位誤差界比較平穩(wěn)，下界-0.067°，上界0.077°；在周波數(shù)較低時，會有較大跳變。

4)初始相位誤差界，隨初始相位本身、直流分量等各種因素影響而變化的規(guī)律均比較平穩(wěn)。下界-0.005°，上界0.005°。

3.3.5 直流分量誤差界

從圖1(e)～圖20(e)可以看出：

1)數(shù)據點數(shù)是影響直流分量誤差界的重要因素之一，數(shù)據點數(shù)的增大，可以導致直流分量誤差界的變窄，但并非單調變窄。其誤差界下界-0.33 LSB，上界0.40 LSB；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據點數(shù)。

2)0值的直流分量誤差界隨幅度增加呈緩慢上升趨勢，主要由于幅度上升后，接近0值的直流分量與其相差懸殊，運算舍入誤差造成；下界-0.002 4 LSB，上界0.002 4 LSB。

非0值的直流分量誤差界量值由幅度、直流分量組合變化確定，下界-0.044 LSB，上界0.044 LSB；且隨著幅度大尺度上升，誤差界呈震蕩衰減變化。

在滿量程附近出現(xiàn)的削波影響也有導致直流分量誤差增大現(xiàn)象。

3)同一周波數(shù)，直流分量誤差界變化的規(guī)律為隨幅度增加呈緩慢上升趨勢；而不同周波數(shù)時直流分量誤差界有顯著不同，并無單調趨勢。

特例，當周波數(shù)為1時，幅度直流分量誤差界有顯著性增大(下界-0.080 LSB，上界0.044 LSB)；且誤差界變化的規(guī)律為隨幅度增加呈緩慢下降趨勢。

4)初始相位因素對直流分量誤差的影響可以忽略。下界-0.002 LSB，上界0.002 LSB。

5)直流分量在LSB尺度的微小變化將導致其自身誤差較大變化，局部具有周期性特征，以1 LSB為周期，下界-0.008 3 LSB，上界0.008 1 LSB。

3.3.6 正弦擬合參數(shù)的條件誤差界

8 bit A/D轉換器正弦擬合參數(shù)的條件誤差界如表1所示。

表1 正弦擬合參數(shù)的條件誤差界(8 bit A/D)

4 問題討論

本文上述過程，是提取出幅度、周波數(shù)、相位、直流分量和數(shù)據點數(shù)作為變動參量，使用有效位數(shù)誤差、幅度誤差、頻率相對誤差、相位誤差和直流分量誤差作為正弦擬合結果的指標參量。并以其中每一參量作為主變動因素，其它四項參量作為輔助變量的情況進行了二維搜索，揭示了雙變量組合變化情況下的各個指標參量誤差界的變化情況，獲得了不同組合實驗條件下的誤差界測量曲線。結果表明：

1)擬合序列的數(shù)據點數(shù)仍然是最重要的測量條件，也是影響擬合結果的誤差界的主導條件；若想獲得更高準確度的擬合結果，通常需要更多的數(shù)據點數(shù)。就本文所述的有20個周波的測量序列而言，13 500點以上的數(shù)據點數(shù)可以獲得最良好的擬合結果。

對于隨機噪聲的影響而言，擬合序列的數(shù)據點數(shù)的增加，可以導致擬合結果誤差界的單調下降；而本文的實驗表明，對于量化誤差的影響而言，并未完全呈現(xiàn)出同樣的單調規(guī)律，具體原因需要將來進一步研究予以解決。

2)波形幅度是指其相對量程范圍的占比而言，實驗表明，幅度量程比為1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8、1/9、1/10、1/12的幅值點附近，擬合頻率誤差和擬合相位誤差均較大，原因不明，需要進一步研究予以解決。

超過半量程以后幅度的信號波形，其擬合誤差界趨于平穩(wěn)。因此，測量活動應盡量選擇半量程以上覆蓋率的幅值進行。

3)周波數(shù)的影響實際上體現(xiàn)的是采樣速率和信號頻率比的影響。實驗表明，只有頻率擬合誤差隨周波數(shù)的增加呈震蕩衰減趨勢，并且周波數(shù)越小，變化趨勢越顯著，在10個周波以后的變化趨勢趨于平穩(wěn)。

非整數(shù)的周波數(shù)變化，會給有效位數(shù)誤差帶來小幅波動；其它參量隨周波數(shù)沒有明顯趨勢性變化。若想獲得較小的擬合誤差，則應適當提高擬合序列周波數(shù)，至少應為2個周波以上；和多周波條件相比，1.3個以下的周波數(shù)將使得擬合誤差顯著升高。

4)初始相位的變化，對每一個參量擬合的影響都處于可以忽略的微小狀況，且誤差帶平穩(wěn)。其對于有效位數(shù)誤差帶的影響約為±0.000 25 bit；對于幅度擬合誤差帶的影響約為±0.001 LSB；對于初始相位擬合誤差帶的影響約為±0.006°；對于直流分量擬合誤差帶的影響約為±0.002 LSB。

5)直流分量的變化，本文只關注到了LSB量值范圍的變化帶來的影響。在該尺度上，它的變化給每一個參量的誤差帶均帶來周期性影響；給其它參量誤差帶的影響均呈現(xiàn)明顯的對稱性，而給直流分量本身誤差帶的影響則具有反稱性特征。

6)本文實驗開始時，曾經試圖通過選取信號幅度尋找出幅度誤差為0的幅度點，從幅度與直流分量聯(lián)合變換獲得的幅度誤差帶曲線可見，不存在誤差界寬度為0的幅值與直流分量組合點存在。只要幅度和直流分量出現(xiàn)一個量不可控，就無法保證獲得的采集波形幅度誤差為0。從實驗方案中試圖構建幅度誤差為0的測量條件是不可能的。

7)如果在實際工作中，并不需要獲得全部上述5個參量，而僅僅需要其中某一個參量的高精度結果，例如有效位數(shù)，則可以根據該參量的影響因素顯著程度，只注意調控和構建所需要的影響量條件即可，其它可以自由選取，不必全盤考慮，將使得實驗設計更容易。

5 結 論

綜上所述，本文通過大量仿真實驗，對使用8 bit A/D轉換器測量系統(tǒng)所得的正弦測量序列，在波形擬合中獲得的幅度、頻率、初始相位、直流分量和有效位數(shù)5個參數(shù)的擬合誤差界進行了搜索研究，給出了誤差界隨波形幅度、周波數(shù)、初始相位、直流分量、數(shù)據點數(shù)等不同組合條件而變化的曲線，揭示出其變化規(guī)律。例如擬合誤差隨幅度宏觀上升變化而呈現(xiàn)出的總體下降趨勢，隨幅度和直流分量在LSB尺度的微小變化呈現(xiàn)出的周期性變化規(guī)律；隨周波數(shù)、數(shù)據點數(shù)上升而呈現(xiàn)出的總體下降趨勢；并發(fā)現(xiàn)了誤差規(guī)律隨幅度、周波數(shù)、數(shù)據點數(shù)上升過程中的非單調現(xiàn)象；總結出了顯著影響量和非顯著影響量。對正弦擬合參量的不確定度評估和誤差界定具有重要意義和價值。另外，對于擬合參數(shù)誤差有明確要求的場合，可以通過構建相適應的測量條件獲得預期結果。

由于絕大多數(shù)數(shù)字示波器使用8 bit A/D轉換器，正弦擬合越來越成為高精度測量分析的重要手段；因此，本文的獲得的結論將擁有廣闊的實際應用前景。