馮 珂， 黃 卓

（1.山西工程職業(yè)學(xué)院， 山西 太原 030009；2.北方自動控制技術(shù)研究所， 山西 太原 030006）

引言

隨著我國現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展，各個重要場合如航空航天、高鐵、汽車等領(lǐng)域的零部件需要具備傳動效率高、承載能力強和使用壽命長等性能，這不僅對材料的力學(xué)屬性性能提出更高的需求，同時也使得對先進制造技術(shù)的研究更顯迫切。傳統(tǒng)的加工方法，主要包括車削、銑削、磨削和拋光等對于傳統(tǒng)材料的加工效果顯著，但是對于新興材料，如高溫合金、硬脆性材料和復(fù)合材料等難加工材料則表現(xiàn)出粘刀、加工硬化、加工效率低、加工成本高、加工表面質(zhì)量差等現(xiàn)象，這就迫切需要尋找新的加工方法來改善這些情況。因此，一些新的加工方法應(yīng)運而生，例如超聲振動輔助磨削。超聲振動輔助磨削，也稱超聲磨削（UVAG）。該方法將超聲波振動施加于砂輪上，磨粒受到超聲波振動沖擊而作周期運動。研究表明，超聲磨削較傳統(tǒng)加工方法細化了加工表面，降低了磨削力[1]和加工件的表面粗糙度[2-3]。

在傳統(tǒng)的機械加工如車削、銑削加工方法中存在著分形特征[4]?？此茝?fù)雜的圖形經(jīng)仔細研究發(fā)現(xiàn)，圖形之間的整體或局部存在某種方式的相似性，這就是分形特征的體現(xiàn)，相對于傳統(tǒng)表征方法具有不依賴于測量尺度和精度的優(yōu)勢，是物體本質(zhì)屬性的反映，這種避免尺度缺陷的表征方法可以更好地應(yīng)用在微觀形貌的特征研究之中。

維數(shù)的概念來源于對經(jīng)典的歐氏幾何的認(rèn)識。在歐氏空間中，眾所周知，人們通常用點、線、面、體來表示空間的維度。即用點表示零維空間，用直線表示一維空間，平面表示二維空間，立體表示三維空間且都為整數(shù)值。因此，當(dāng)測定空間中的任意一個幾何體面積與體積時，必須用與它相同維數(shù)的單位面積的正方形或單位體積的正方體去量度，則可得到一確定的數(shù)值。對于Koch 曲線，用傳統(tǒng)的維數(shù)去測量（如一維和二維），結(jié)果發(fā)現(xiàn)Koch 曲線的維數(shù)為0或±∞。這說明Koch 曲線為非規(guī)則體，不能用整數(shù)維去測量它，這種非整數(shù)維就是分形維數(shù)。

Hausdorff 從測量的角度出發(fā)給出了Hausdorff維數(shù)定義，分形維數(shù)的定義由此產(chǎn)生[5]。對于n 維空間中的一個集合F，取邊長為ε 圖元對這個集合進行覆蓋，統(tǒng)計出覆蓋這個集合的總的圖元的數(shù)目設(shè)為N（r），得到的D 就是Hausdorff 維數(shù)，它可以是整數(shù)或是分?jǐn)?shù)。對于歐氏幾何學(xué)中人類創(chuàng)造的簡單理想標(biāo)準(zhǔn)體，可以知道他們的維數(shù)D 的值，D=0，1，2，3。但對于自然界的復(fù)雜真實物體，B.B.Mandelbrot 采用Hausdorff 維數(shù)來衡量這些極不規(guī)則的、維數(shù)有可能是分?jǐn)?shù)特征的對象。經(jīng)計算，二維曲線的維數(shù)在1～2 之間，而三維曲面的維數(shù)在2～3 之間。綜上，本文基于盒維數(shù)法、差分盒維數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法，用MATLAB 模擬出已知分形維數(shù)的理論分形曲面，對其進行分形維數(shù)的計算，并進行誤差分析，從而確定超聲磨削加工表面分形維數(shù)的計算方法。

1 分形維數(shù)計算方法

1.1 盒維數(shù)法

盒維數(shù)法是分析加工表面三維形貌分形特性最常用的方法[6]，其優(yōu)勢的原因在于它的簡便性和自動計算能力[7]。該方法是通過用不同盒子尺寸r 重復(fù)覆蓋分形曲面，然后求出完全覆蓋分形所需的盒子數(shù)N（r）。N（r）、r 和分形維數(shù)Ds的關(guān)系式表示如下：

對上述方程兩邊同時取對數(shù)，可得（2）表達式：

最后，如果r 尺度的值在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，直線的斜率即為分形維數(shù)Ds的值。

1.2 差分盒維數(shù)法

在盒維數(shù)法基礎(chǔ)上Sarkar N[8]等人提出了新的分形維數(shù)的有效計算方法—差分盒維數(shù)法（DBC）。其計算方法原理圖如圖1 所示。對于表面面積為M×M 的形貌采用大小為S×S 的正方形劃分成若干個網(wǎng)格。S×S網(wǎng)格內(nèi)，其中S 為整數(shù)且1

圖1 差分盒維數(shù)算法原理圖

這時尺度為r 的總盒子數(shù)N（r）在三維形貌的第（i，j）個網(wǎng)格內(nèi)的分布nr（i，j）可表示為：

式中：nr（i，j）為第（i，j）個格子中的盒子數(shù)，則總盒子數(shù)為：

依次變換S 值，按照公式（3）和（4）計算得到對應(yīng)的Nr值。再利用（2）式將lgNr和lg（1/r）進行最小二乘法擬合，直線的斜率即為分形維數(shù)Ds的值。

1.3 結(jié)構(gòu)函數(shù)法

Blackmore D[11]采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計算了已知維數(shù)的分形曲線。其定義是：假設(shè)R3表示三維空間，隨機表面過程Z（x）可以用結(jié)構(gòu)函數(shù)的方式表示為如下表達式：

假設(shè)分形曲面可由連續(xù)函數(shù)表示，則有S={[x，y，Φ（x，y）]，Φ（x，y）、（x，y）∈R}，其中，-a≤x≤a，-b≤y≤b，Φ（x，y）代表的是表面高度。

結(jié)構(gòu)函數(shù)法計算分形維數(shù)的具體計算過程如下：

1）在表面的區(qū)域內(nèi)，選取一隨機點X0=（x0，y0），以此點作為基點，則該點的高度值可用Φ（X0）度量。將剩下的數(shù)據(jù)，在以X0為中心的極坐標(biāo)下進行采樣，采樣公式如下：

2）令θ=2πi/m，i=0，1，2，3，…，m-1。徑向距離rj=jr*/n，j=0，1，2，3，…，n，對于某些較小的實數(shù)r*<0。為了獲得足夠多的數(shù)據(jù)，m 與n 應(yīng)該選取較大的合適正整數(shù)。

3）在此0≤i≤m-1，0≤j≤n 范圍內(nèi)，與前一個點間距相等的高度值可表示為如下表達式：

4）令Δij=|Zij-Z0|，則各個相等的間距點的高度與原點的高度之差的平均值表達式為：

5）依次改變徑向距離rj的值，根據(jù)表達式（8）計算得到相對應(yīng)的Δj的值。在雙對數(shù)坐標(biāo)中，作出（lgrj，lgΔj），并采用最小二乘法對數(shù)據(jù)點進行擬合，即可得到直線的斜率Lh，然后求得分形維數(shù)。分形維數(shù)Ds=3-Lh。

2 分形理論曲面及其算法分析

2.1 分形曲面MATLAB 模擬

Weierstrass-Mandelbrot 函數(shù)簡稱W-M 函數(shù)，常用于分形曲面的重構(gòu)。W-M 函數(shù)處處連續(xù)但是并不可微，且具有分形的自相似的特性。采用W-M 函數(shù)可以模擬出分形維數(shù)為Ds 的分形曲面的表示形式如式（9）：

式（9）中：Cn是獨立的且服從均值為0，方差為1 的正態(tài)分布隨機數(shù)；An，Bn是獨立的且都服從[0，2π]上的均勻分布的隨機數(shù)；Ds為分形維數(shù)，且2＜Ds＜3；λ 為大于1 的常數(shù)；n 為自然序列數(shù)。

編寫W-M 函數(shù)的matlab 程序，在matlabR2015b 中分別模擬出分形維數(shù)Ds=2.1、Ds=2.2、Ds=2.4、Ds=2.5、Ds=2.7、Ds=2.8 的理論分形曲面。下頁圖2 所示是由MATLAB 模擬出的分形維數(shù)為Ds=2.1、Ds=2.2、Ds=2.4、Ds=2.5、Ds=2.7、Ds=2.8 的分形曲面。由圖可以看出，不同維數(shù)的分形曲面結(jié)構(gòu)特征是不相同的，且隨著分形維數(shù)逐漸變大，分形曲面的形貌變得較復(fù)雜，且形貌中的精細結(jié)構(gòu)越明顯。因此得出，分形維數(shù)與表面的整體形貌的精細、復(fù)雜程度呈正相關(guān)，從而可以全面表征整體形貌的特征。表明形貌較光滑時，分形維數(shù)就較?。槐砻餍蚊簿毜慕Y(jié)構(gòu)越多，分形維數(shù)就會越大。當(dāng)Ds<2.5 時，三維表面的復(fù)雜、精細結(jié)構(gòu)隨分形維數(shù)的增加而緩慢地增加，但是當(dāng)Ds>2.5 時，三維表面的復(fù)雜、精細結(jié)構(gòu)大幅變化，高頻成分明顯增多，表面結(jié)構(gòu)具有較高的能量。

圖2 Weierstrass-Mandelbrot 分形曲面

2.2 超聲振動輔助磨削加工表面的分形維數(shù)算法選擇

在第一節(jié)中，比較全面地呈現(xiàn)了盒維數(shù)法、差分盒維數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法這3 種分形維數(shù)計算方法的計算流程及算法思想。為了找到最適合超聲振動輔助磨削加工表面的三維分形維數(shù)計算方法，本文將對盒計數(shù)法、差分盒維數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法進行優(yōu)選。在matlabR2015b 中分別模擬出已知分形維數(shù)Ds=2.2、Ds=2.5、Ds=2.8 三個理論分形曲面，選擇超聲磨削實驗加工表面的采樣條件，然后利用這三種分形維數(shù)的計算方法，針對三個已知分形維數(shù)理論分形曲面計算出實際的分形維數(shù)，結(jié)果如表1 所示。

表1 模擬理論表面分形維數(shù)

將這3 種算法所得的計算值與理論值相比較，發(fā)現(xiàn)盒維數(shù)法的計算結(jié)果與理論的值最接近；差分盒維數(shù)法是在盒維數(shù)法基礎(chǔ)上進行改進的算法，其計算結(jié)果相比較于盒維數(shù)法偏差較大；結(jié)構(gòu)函數(shù)法的計算值離理論偏差最大。圖3 為超聲磨削加工掃描電鏡下的表面灰度圖像，超聲磨削加工后的表面是由一系列的凹槽、劃痕等精細結(jié)構(gòu)所組成，而盒維數(shù)法的算法思想與之較一致。即盒維數(shù)法較適合計算超聲磨削加工表面的分形維數(shù)，其精度高于差分盒維數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法。綜上，本文選擇盒維數(shù)法來計算分形維數(shù)。

圖3 超聲磨削加工表面灰度圖

3 結(jié)論

1）本文根據(jù)W-M 函數(shù)編制理論分形曲面的MATLAB 程序解釋了分形維數(shù)所表示的物理意義。分形維數(shù)Ds是度量復(fù)雜物體復(fù)雜性的一個定量指標(biāo)，代表的是系統(tǒng)填充空間的能力。分形維數(shù)與表面的整體形貌的精細、復(fù)雜程度呈正相關(guān)。表面形貌較光滑時，分形維數(shù)就較??；表面形貌較粗糙時，表面形貌越精細，分形維數(shù)就越大。

2）通過MATLAB 模擬已知分形維數(shù)Ds=2.2、Ds=2.5、Ds=2.8 三個理論分形曲面。分別用盒維數(shù)法、差分盒維數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法這三種方法計算模擬的已知分形維數(shù)的理論分形曲面并分析結(jié)果，結(jié)果表明：盒維數(shù)法計算精度較高，選用盒維數(shù)法計算超聲振動磨削加工表面微觀形貌。