殷艷紅，夏登峰，郭宇超

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

養(yǎng)老金管理關(guān)乎國(guó)家安全穩(wěn)定與民生福祉,最優(yōu)資產(chǎn)配置將有效提升養(yǎng)老金賬戶收益。養(yǎng)老金分為確定收益型(Defined Benefit，DB)和確定繳費(fèi)型(Defined Contribution，DC)。本文討論DC型養(yǎng)老金以其效用最大化為目標(biāo)，從而找到一種最優(yōu)投資策略以獲取最大收益。

養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)投資策略問(wèn)題近年來(lái)引起了人們的廣泛關(guān)注，研究工作較多。因養(yǎng)老金投資時(shí)間長(zhǎng)、跨度大，管理者需要充分考慮市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)的影響，比如利率風(fēng)險(xiǎn)、波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)以及通脹風(fēng)險(xiǎn)。Deelstra等[1]在保證終端財(cái)富最大值的情況下研究養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略問(wèn)題時(shí)假設(shè)利率是隨機(jī)的。Chen等[2]研究了通脹環(huán)境下具有損失厭惡并提供最低保障的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。Wang等[3]研究了DC型養(yǎng)老金計(jì)劃成員的魯棒最優(yōu)投資組合選擇問(wèn)題。乾丞健等[4]在Heston模型下研究了具有違約風(fēng)險(xiǎn)的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的均衡投資策略。Tang等[5]在研究養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置時(shí)綜合考慮了隨機(jī)利率、通脹和最低保障。

以上研究中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程是連續(xù)情形，但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)跳躍情況。付渴等[6]假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足跳-擴(kuò)散模型，在均值-方差下研究了養(yǎng)老金時(shí)間一致最優(yōu)投資策略的問(wèn)題。費(fèi)為銀等[7]在跳-擴(kuò)散環(huán)境下研究了帶通脹的最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問(wèn)題。龔曉琴等[8]在隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率下假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足跳-擴(kuò)散模型，研究了保險(xiǎn)和再保險(xiǎn)公司的穩(wěn)健投資策略。Li等[9]在均值-方差框架下考慮了具有跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)不確定性的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的α穩(wěn)健最優(yōu)投資問(wèn)題。還有文獻(xiàn)[10-11]均假設(shè)盈余過(guò)程滿足跳-擴(kuò)散模型，研究了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)超額再保險(xiǎn)和投資策略問(wèn)題。

股票誤定價(jià)是指股票估計(jì)價(jià)值與真實(shí)價(jià)值之間存在的差值或同一只股票在不同市場(chǎng)上的價(jià)值差值，包括股票價(jià)格被低估和被高估的偏差。Wang等[12]在研究政府和保險(xiǎn)公司的穩(wěn)健最優(yōu)保險(xiǎn)和投資策略中假設(shè)保險(xiǎn)公司可投資于帶有誤定價(jià)的股票。Winston等[13]研究了信息不對(duì)稱下股票的誤定價(jià)模型。Ma等[14]在Heston模型下研究了帶有誤定價(jià)的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略問(wèn)題。

本文假設(shè)養(yǎng)老金管理者將保費(fèi)分別投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和帶有誤定價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票，并假設(shè)其中一個(gè)的價(jià)格過(guò)程是跳-擴(kuò)散的，研究了管理者的終端財(cái)富效應(yīng)最大化問(wèn)題。通過(guò)求解關(guān)于養(yǎng)老金管理者值函數(shù)滿足的HJB方程，得到其最優(yōu)投資策略，并通過(guò)數(shù)值模擬，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度分析了各參數(shù)對(duì)養(yǎng)老金管理者最優(yōu)投資策略的影響；推廣了已有結(jié)果，對(duì)養(yǎng)老保險(xiǎn)市場(chǎng)具有一定的指導(dǎo)意義。

1 模型設(shè)定

W(t)=(Wp(t),Z(t),Z1(t),Z2(t))是定義在完備帶流概率空間(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。信息流Ft=σ{W(s);0

假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程S0(t)：

(1)

式中，r>0為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

類似文獻(xiàn)[14]中，S1(t)、S2(t)表示同一種股票在兩個(gè)不同市場(chǎng)中的價(jià)格過(guò)程，且S1(t)滿足跳-擴(kuò)散模型，滿足

(2)

且α1、α2是正常數(shù)，l1、l2、a、b是常數(shù)，l1、l2是控制均值回歸率的參數(shù)，Wp(t)、Z(t)、Z1(t)、Z2(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且相互獨(dú)立。adZ(t)表示股票相同風(fēng)險(xiǎn)，bdZi(t)表示股票個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)。

類似文獻(xiàn)[8]中：

此時(shí)，S1(t)股票價(jià)格過(guò)程則可以表示為

(3)

根據(jù)伊藤引理，價(jià)格誤差動(dòng)態(tài)過(guò)程M(t)可表示如下：

本文假設(shè)工資是關(guān)于時(shí)間t的確定性函數(shù)P(t)，投保人按工資的固定比例ε繳納保費(fèi)直至退休。在DC型養(yǎng)老金的積累期[0,T]，管理者可以將保費(fèi)投資于不同金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，假設(shè)在t時(shí)刻投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1(t)、S2(t)的比例分別為π1(t)、π2(t)，則投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)為1-π1(t)-π2(t)。投資者的財(cái)富過(guò)程為X(t)，滿足如下方程：

(4)

將式(1)～(3)代入式(4)，可得

(5)

2 最優(yōu)投資策略

首先利用隨機(jī)最優(yōu)控制推導(dǎo)優(yōu)化問(wèn)題的一般框架，然后找出期望效用函數(shù)的最優(yōu)策略。養(yǎng)老金管理者的目標(biāo)是終端財(cái)富期望效用最大化，即

maxE[U(X(T))]。

假設(shè)養(yǎng)老金管理者有一個(gè)恒定的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)，并遵循如下效用函數(shù)：

p是相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。采用隨機(jī)最優(yōu)控制方法，定義管理者的值函數(shù)為

∏表示允許的投資策略集。

算子Aπ滿足如下式子：

AπH(t,x,m)=Ht+Hx·x[-m(l1π1(t)-l2π2(t))+((α1+ap)π1(t)+α2π2(t))+r]+

式中，H(t,x,m)∈C1,2,2([0,T]×R×R)，H滿足以下的HJB方程：

(6)

邊界條件H(T,x,m)=U(x)。

由式(6)最優(yōu)性一階條件可得

(7)

其中，

為求解HJB方程，猜測(cè)

(8)

綜上可得如下命題。

其中，

當(dāng)u1>0時(shí)，

當(dāng)u1<0時(shí)，

證明見(jiàn)附錄A。

3 數(shù)值分析

本節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬說(shuō)明誤定價(jià)系數(shù)和其他參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響。假設(shè)m>0，l2-l1>0，這意味著股票S1的定價(jià)相對(duì)于真實(shí)價(jià)值來(lái)說(shuō)被高估了，S2價(jià)值被低估了，且被低估的股票S2回歸均值的速度要快于被高估股票S1回歸均值的速度。

相關(guān)參數(shù)設(shè)定如表1所示。β(t)為時(shí)間t的確定性函數(shù)，為了方便分析,以下假設(shè)β(t)和P(t)為常數(shù)，分別設(shè)β(t)=1,P(t)=0.5。

表1 相關(guān)參數(shù)設(shè)定

3.1 誤定價(jià)系數(shù)m敏感性分析

誤定價(jià)系數(shù)描繪了股票的價(jià)差，p=0.1時(shí)，m對(duì)π1(t)、π2(t)的影響如圖1所示。由圖1可見(jiàn)，隨著m的增大，π1(t)逐漸減小，π2(t)逐漸增大。當(dāng)定價(jià)偏離程度增大時(shí)，養(yǎng)老金管理者擔(dān)心股票S1價(jià)格虛高會(huì)驟跌，為了規(guī)避損失減少買進(jìn)被高估的股票S1；同時(shí)也減少賣空定價(jià)偏低的股票S2，以獲取更大的利潤(rùn)。

圖1 p=0.1時(shí)，m對(duì)π1(t)、π2(t)的影響圖2 m=0.1時(shí)，p對(duì)π1(t)、π2(t)的影響

3.2 風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)p敏感性分析

m=0.1時(shí)，p對(duì)π1(t)、π2(t)的影響如圖2所示。由圖2可見(jiàn)，當(dāng)股票價(jià)差一定時(shí)，隨著管理者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度增大，管理者購(gòu)買更多被高估的股票S1，同時(shí)拋售定價(jià)偏低的股票S2，以獲得更大的利潤(rùn)。

3.3 初始財(cái)富x敏感性分析

m=0.1,p=0.1時(shí)，x對(duì)π1(t)、π2(t)的影響如圖3所示。由圖3可見(jiàn)，π1(t)隨著x的增大呈現(xiàn)小幅度的減少，π2(t)隨著x的增大呈現(xiàn)小幅度的增加。因?yàn)轲B(yǎng)老金繳費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)、跨度大，所以初始財(cái)富的多少對(duì)投資策略的影響不大。

圖3 m=0.1,p=0.1時(shí)，x對(duì)π1(t)、π2(t)的影響

4 小結(jié)

本文研究了在跳-擴(kuò)散市場(chǎng)環(huán)境中，帶誤定價(jià)的DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略問(wèn)題。首先考慮跳-擴(kuò)散模型下，將保費(fèi)投資于帶誤定價(jià)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，利用最優(yōu)控制理論解相應(yīng)的HJB方程得到養(yǎng)老金管理者的最優(yōu)投資策略。通過(guò)數(shù)值分析，模型參數(shù)對(duì)投資策略的影響符合市場(chǎng)交際，具有一定的經(jīng)濟(jì)意義。本文假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率為常數(shù)，接下來(lái)將考慮通貨膨脹的影響，假設(shè)利率是隨機(jī)形式，考慮到投保人提前死亡還可以加入保費(fèi)退還，使模型更貼近實(shí)際市場(chǎng)。