浦煒欽，宋志剛，胡一鳴，張博皓

（昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，云南昆明 650500）

引言

步行荷載是人致結(jié)構(gòu)振動(dòng)的重要研究?jī)?nèi)容，大部分荷載模型將步行荷載視為每一步完全相同的周期性荷載。試驗(yàn)研究表明，步行荷載是一個(gè)復(fù)雜的窄帶隨機(jī)過(guò)程［1］，同時(shí)，行人左右腳的步行荷載存在差異，導(dǎo)致步行荷載并非真正的周期性荷載，在步行荷載頻譜的主諧波附近存在能量泄漏［2］，所以在識(shí)別和重構(gòu)步行荷載時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮亞諧分量的影響。

在步行荷載傅里葉級(jí)數(shù)模型中，步頻、各階動(dòng)載因子與相位角是構(gòu)造步行荷載時(shí)程的主要參數(shù)。目前關(guān)于相位角的研究較少，Ellis等［3］的研究表明，相位角具有隨機(jī)性，實(shí)踐中可用平均值來(lái)表示步行荷載的相位角；Zavanovic等［4］與操禮林［5］認(rèn)為各階分量的相位角在［-π，π］上相互獨(dú)立并服從均勻分布；陳雋等［6］給出了相位角的具體取值，在隨后的研究中經(jīng)過(guò)大量數(shù)據(jù)分析得出相位角服從正態(tài)分布［7］。多數(shù)研究忽略了亞諧分量的相位角，不同學(xué)者得到的相位角分布情況也具有較大差異，而且由于相位角隨機(jī)性的影響，將其取平均值或是某一確定值并不能很好地反映步行荷載的隨機(jī)特征。

針對(duì)上述問(wèn)題，文中通過(guò)無(wú)線傳感技術(shù)獲得步行荷載加速度時(shí)程，基于包含亞諧分量的傅里葉級(jí)數(shù)模型［8］，提出均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的參數(shù)識(shí)別方法，對(duì)比分析實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載時(shí)程，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1 試驗(yàn)原理

步行荷載可分為豎向、縱向和橫向3個(gè)方向的荷載分量，其中豎向步行荷載分量可表示為：

式中：F（t）為豎向步行荷載分量時(shí)程函數(shù)；m為人體質(zhì)量；g為重力加速度；a()t為步行荷載豎向的質(zhì)心加速度時(shí)程函數(shù)。由式（1）可知，可通過(guò)測(cè)量人體豎向質(zhì)心加速度間接獲得豎向步行荷載分量。已有研究表明，腰部是最接近人體質(zhì)量中心的位置，且受到的振動(dòng)干擾較小，質(zhì)心加速度輸出信號(hào)比較平緩，通過(guò)質(zhì)心加速度間接獲得的步行荷載及其動(dòng)載因子與已有測(cè)力板試驗(yàn)值基本一致［9］，文中以豎向分量步行荷載為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)以下試驗(yàn)方案。

1.2 試驗(yàn)方案

使用采樣頻率為100 Hz的無(wú)線傳感器進(jìn)行試驗(yàn)，通過(guò)測(cè)定人體質(zhì)心加速度間接獲得步行荷載。考慮到行人正常行走的步頻范圍，選擇測(cè)試步頻為1.6、1.8、2.0、2.2、2.4 Hz，每個(gè)步頻進(jìn)行30組試驗(yàn)，截取10 s的穩(wěn)定數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，限于篇幅，僅給出步頻為1.8 Hz與2.4 Hz的實(shí)測(cè)步行荷載加速度時(shí)程，如圖1所示。可以看出，相比步頻為1.8 Hz的實(shí)測(cè)步行荷載，步頻為2.4 Hz的實(shí)測(cè)步行荷載周期性較弱，測(cè)試者左右腳的荷載差異明顯。

圖1 實(shí)測(cè)質(zhì)心加速度時(shí)程Fig.1 The measured body mass center acceleration time history

2 識(shí)別算法

2.1 荷載模型

通?？紤]步行荷載的前五階分量，將連續(xù)步行荷載近似為一個(gè)由不同頻率簡(jiǎn)諧激勵(lì)組成的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式，見(jiàn)式（2）：

式中：F（t）為步行荷載時(shí)程函數(shù)；DLFi、φi分別為第i階主諧分量的動(dòng)載因子和相位角；G、fs和t分別為行人靜止重力、步頻和步行時(shí)間。

式（2）僅包含主諧分量的動(dòng)載因子和相位角，不能體現(xiàn)步行荷載的非周期性，所以基于式（1）引入亞諧分量式（3），得到包含亞諧分量的傅里葉級(jí)數(shù)模型［8］，見(jiàn)式（4）：

其中fz（t）如式（5）所示：

式中：fz（t）、fy（t）分別為主諧分量和亞諧分量；DLFzi、φzi分別為主諧分量的第i階動(dòng)載因子和相位角；DLFyj、φyj分別為亞諧分量的第j階動(dòng)載因子和相位角。為便于區(qū)分，將式（2）記為模型Ⅰ，式（4）記為模型Ⅱ。

由式（2）～式（5）可知，重構(gòu)步行荷載需要識(shí)別步頻和主、亞諧分量的前五階動(dòng)載因子及相位角，因此設(shè)計(jì)以下識(shí)別方法。

2.2 動(dòng)載因子識(shí)別

將實(shí)測(cè)步行荷載時(shí)程進(jìn)行傅里葉變換得到荷載頻譜，限于篇幅，僅給出步頻為1.8 Hz與2.4 Hz的實(shí)測(cè)步行荷載頻譜和動(dòng)載因子，如圖2、表1所示。主諧波峰值出現(xiàn)的頻率即為實(shí)際步頻fs，步頻及其整數(shù)倍頻處的幅值即為主諧分量的動(dòng)載因子，在0.5fs、1.5fs、2.5fs、3.5fs、4.5fs附近存在各階亞諧波，其幅值即為亞諧分量的動(dòng)載因子，將部分主、亞諧分量動(dòng)載因子統(tǒng)計(jì)如表1所示?？梢钥闯觯筋l為1.8 Hz的實(shí)測(cè)步行荷載亞諧波較弱，步頻為2.4 Hz的實(shí)測(cè)步行荷載亞諧波較強(qiáng)，這說(shuō)明亞諧波隨著步行荷載非周期性的提高而增強(qiáng)。

圖2 實(shí)測(cè)步行荷載頻譜Fig.2 The measured walking load spectrum

表1 動(dòng)載因子統(tǒng)計(jì)Table 1 Dynamic load factor statistics

2.3 相位角識(shí)別

2.3.1 均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)

均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)表是一個(gè)n行m列的矩陣，當(dāng)試驗(yàn)因素?cái)?shù)即列數(shù)m較多時(shí)，可由方冪法構(gòu)造均勻表。由式（2）～式（5）可知，在已知測(cè)試者體重并統(tǒng)計(jì)得到實(shí)際步頻和動(dòng)載因子的基礎(chǔ)上，還需對(duì)相位角進(jìn)行識(shí)別。模型Ⅰ中，因素?cái)?shù)m=5，即主諧分量前五階相位角；模型Ⅱ中，因素?cái)?shù)m=10，即主、亞諧分量的前五階相位角。均勻設(shè)計(jì)表第k個(gè)因素的第q個(gè)水平值Xkq可由式（6）求得：

式中：Xkmin、Xkmax分別為第k個(gè)因素需要考慮的最值，主、亞諧分量的各階相位角取值范圍均為［0，2π］，即Xkmin=0、Xkmax=2π。

結(jié)合均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)識(shí)別相位角可以通過(guò)調(diào)整均勻設(shè)計(jì)表的水平數(shù)n控制各因素的求解精度2π/n。因此，針對(duì)模型Ⅰ與模型Ⅱ分別設(shè)計(jì)5因素與10因素不同水平數(shù)n的均勻表，將相位角在［0，2π］上劃分為n=10，25，50，100，500，1 000，1 500，2 000，2 500，3 000共10種情況，評(píng)估水平數(shù)n對(duì)識(shí)別精度的影響。

2.3.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

參考神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)算例及運(yùn)算流程［10］，基于2種步行荷載模型識(shí)別相位角并重構(gòu)步行荷載，過(guò)程如下：

（1）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

根據(jù)荷載模型構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。模型Ⅰ中有5個(gè)未知量作為輸入?yún)?shù)，即主諧分量前五階相位角，所以輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)為5，以采樣頻率為100 Hz的10 s步行荷載加速度時(shí)程作為輸出量，相應(yīng)的輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)為1 000，隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)置為5，基于以上參數(shù)構(gòu)建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為5-5-1 000。同樣的，模型Ⅱ中考慮了亞諧分量的相位角，則有10個(gè)未知量作為輸入?yún)?shù)，所以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為10-5-1 000。

（2）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練與測(cè)試

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本分為訓(xùn)練樣本與測(cè)試樣本，統(tǒng)計(jì)模型Ⅰ與模型Ⅱ的樣本，如表2所示。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以均方誤差取最小值為目標(biāo)，建立了各階相位角與步行荷載的映射關(guān)系，對(duì)輸入的不同水平相位角均勻表進(jìn)行識(shí)別，尋找最優(yōu)結(jié)果。

表2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣本Table 2 BP neural network sample

（3）重構(gòu)步行荷載

基于相位角的識(shí)別結(jié)果，分別按模型Ⅰ和模型Ⅱ重構(gòu)步行荷載，以步頻為1.8 Hz與2.4 Hz的重構(gòu)步行荷載為例，如圖3所示?？梢钥闯觯啾饶Ｐ廷瘢紤]了亞諧分量的模型Ⅱ能夠清晰地體現(xiàn)行人左右腳的步行荷載差異。

圖3 重構(gòu)步行荷載加速度時(shí)程Fig.3 The reconstructed walking load acceleration time history

2.4 識(shí)別算法的敏感性分析

以均方根相對(duì)誤差式（7）為標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)價(jià)識(shí)別算法與重構(gòu)步行荷載的準(zhǔn)確性，分析亞諧分量與均勻表水平數(shù)對(duì)識(shí)別精度的影響。

式中：Fsc（t）為實(shí)測(cè)步行荷載時(shí)程；Fcg（t）為重構(gòu)步行荷載時(shí)程；u為步行荷載時(shí)程數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

2.4.1 水平數(shù)的影響

統(tǒng)計(jì)不同水平數(shù)n對(duì)均方根相對(duì)誤差的影響，以步頻為1.8 Hz與2.4 Hz的重構(gòu)步行荷載為例，如圖4所示?？梢钥闯觯S著水平數(shù)的提高，實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載的均方根相對(duì)誤差會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)，但整體呈下降趨勢(shì)，說(shuō)明可以通過(guò)控制均勻表的水平數(shù)提高識(shí)別方法的精度。同時(shí)應(yīng)該注意到，當(dāng)水平數(shù)大于500時(shí)，均方根相對(duì)誤差基本趨于穩(wěn)定，提高水平數(shù)對(duì)識(shí)別精度的影響十分有限，因此以水平數(shù)為1 000的相位角均勻表為訓(xùn)練樣本，水平數(shù)為500的相位角均勻表為測(cè)試樣本對(duì)步行荷載進(jìn)行識(shí)別與重構(gòu)。

圖4 均方根相對(duì)誤差與水平數(shù)的變化關(guān)系Fig.4 The relationship between RMSE and n

2.4.2 亞諧分量的影響

基于2種荷載模型重構(gòu)步行荷載，限于篇幅，僅給出步頻為1.8 Hz與2.4 Hz的實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載加速度時(shí)程和荷載頻譜進(jìn)行對(duì)比，如圖5～圖8所示，統(tǒng)計(jì)實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載均方根相對(duì)誤差，如表3所示。

由表3可知，重構(gòu)步行荷載與實(shí)測(cè)步行荷載的均方根相對(duì)誤差最小值約為9%，最大值約為21%，均值約為15%，相比模型Ⅰ，除步頻為1.8 Hz的重構(gòu)步行荷載，基于模型Ⅱ重構(gòu)的步行荷載均方根相對(duì)誤差更小。由圖5和圖6可知，當(dāng)實(shí)測(cè)步行荷載非周期性較強(qiáng)時(shí)，考慮了亞諧分量的重構(gòu)步行荷載加速度時(shí)程與實(shí)測(cè)步行荷載加速度時(shí)程更為吻合。這說(shuō)明當(dāng)行人左右腳的荷載差異較大時(shí)，基于模型Ⅱ重構(gòu)的步行荷載更接近真實(shí)步態(tài)。由圖7和圖8可知，基于模型Ⅰ重構(gòu)的步行荷載不能反映亞諧波的存在，而基于模型Ⅱ重構(gòu)的步行荷載準(zhǔn)確地反映了各階亞諧波，與實(shí)測(cè)步行荷載的荷載頻譜十分吻合。這說(shuō)明在重構(gòu)非周期性較強(qiáng)的步行荷載時(shí)，不應(yīng)忽略測(cè)試者左右腳的荷載差異，考慮亞諧分量的影響是必要的。

圖6 2.4 Hz實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載加速度時(shí)程Fig.6 Measured-reconstructed walking load acceleration time history at 2.4 Hz

圖7 1.8 Hz實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載頻譜Fig.7 Measured-reconstructed walking load spectrum at 1.8 Hz

圖8 2.4 Hz實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載頻譜Fig.8 Measured-reconstructed walking load spectrum at 2.4 Hz

表3 實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載均方根相對(duì)誤差Table 3 RMSE of measured-reconstructed walking load

圖5 1.8 Hz實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載加速度時(shí)程Fig.5 Measured-reconstructed walking load acceleration time history at 1.8 Hz

2.5 相位差統(tǒng)計(jì)

結(jié)合均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識(shí)別得到步行荷載主、亞諧分量各階相位角。由于一階相位角容易受到試驗(yàn)起始時(shí)間與人為截取數(shù)據(jù)的影響，所以不考慮一階相位角的具體取值，而關(guān)注各階相位角與一階相位角的差值。利用Lilliefors檢驗(yàn)，通過(guò)MATLAB中的lillietest函數(shù)對(duì)相位角分布進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)，如式（8）。

當(dāng)h=0且p＞0.05時(shí)，認(rèn)為相位角φi服從正態(tài)分布。限于篇幅，僅給出模型Ⅱ中部分頻率重構(gòu)步行荷載的主、亞諧波各階相位角的h和p，如表4。結(jié)果表明主、亞諧分量的各階相位角均服從正態(tài)分布，并統(tǒng)計(jì)模型Ⅱ中各階相位角的均值和變異系數(shù)，如表5和表6所示?？梢钥闯?，除步頻為1.8 Hz的亞諧波分量二階相位角與五階相位角，其余步頻各階相位角均服從變異系數(shù)為30%～70%的正態(tài)分布。

表4 Lilliefors檢驗(yàn)結(jié)果Table 4 Lilliefors normal test results

表5 模型Ⅱ主諧分量各階相位角均值與變異系數(shù)Table 5 ModelⅡharmonic phase angle mean and variable coefficient

表6 模型Ⅱ亞諧分量各階相位角均值與變異系數(shù)Table 6 ModelⅡsub-harmonic phase angle mean and variable coefficient

3 結(jié)論

文中提出了均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的相位角識(shí)別方法，并基于模型Ⅰ和模型Ⅱ重構(gòu)步行荷載得出以下結(jié)論：

（1）提高均勻表的水平數(shù)，可以提高該方法的識(shí)別精度與重構(gòu)步行荷載的準(zhǔn)確性，當(dāng)水平數(shù)達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，再次提高水平數(shù)對(duì)識(shí)別精度的影響十分有限；

（2）該方法識(shí)別的相位角精度較好，實(shí)測(cè)-重構(gòu)步行荷載的均方根相對(duì)誤差最小值約為9%，最大值約為21%，均值約為15%；

（3）當(dāng)步行荷載非周期性較強(qiáng)，測(cè)試者左右腳的荷載差異較大時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮亞諧分量的影響，基于模型Ⅱ重構(gòu)的步行荷載能更好地反映實(shí)際步態(tài)；

（4）結(jié)合均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識(shí)別得到的主、亞諧分量各階相位角大致服從變異系數(shù)為30%-70%的正態(tài)分布。