●董文彬

數(shù)學(xué)教育的重要目的之一是指向?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，而學(xué)科素養(yǎng)的培育在單元整體學(xué)習(xí)中則體現(xiàn)出層層遞進(jìn)的進(jìn)階趨向，具體體現(xiàn)為思維發(fā)展和素養(yǎng)進(jìn)階。因此，課堂有必要在基于素養(yǎng)進(jìn)階的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)連續(xù)體式的問(wèn)題鏈條和凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心學(xué)習(xí)活動(dòng)，進(jìn)行深度教學(xué)建構(gòu)，以促進(jìn)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。“比的應(yīng)用”是小學(xué)數(shù)學(xué)北師大版教材六年級(jí)上冊(cè)第六單元“比的認(rèn)識(shí)”的核心課。作為數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域兩量關(guān)系教學(xué)的核心內(nèi)容，是發(fā)展學(xué)生模型思想這一核心素養(yǎng)的重要學(xué)習(xí)載體，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有非常重要的地位。本文在大觀念教學(xué)背景下基于教材和學(xué)情，以“比的應(yīng)用”學(xué)習(xí)為例探討應(yīng)如何建構(gòu)素養(yǎng)進(jìn)階的深度學(xué)習(xí)，以深入發(fā)展學(xué)生的模型思想。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

（一）教材縱向梳理，聚焦核心主線

圖1 “比的認(rèn)識(shí)”單元學(xué)習(xí)路徑

“比的應(yīng)用”是“比的認(rèn)識(shí)”單元的最后一個(gè)主題。本課是這個(gè)主題的第1 課時(shí)，也是單元的第4 課時(shí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)了“比的意義”和“比的化簡(jiǎn)”之后開(kāi)始的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。在本課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)學(xué)習(xí)“生活中的比”，充分體會(huì)同類量關(guān)系的比和不同類量關(guān)系的比，逐步認(rèn)識(shí)和理解比的意義，建立和拓展比的模型，又通過(guò)學(xué)習(xí)“比的化簡(jiǎn)”，理解比的意義，豐富比的模型，完成對(duì)比的再認(rèn)識(shí)。本課是在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)運(yùn)用比的意義、應(yīng)用比的模型解決按比分配的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步理解比的意義和比的模型，深化對(duì)“比”的再認(rèn)識(shí)，初步感悟函數(shù)思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型思想。“比的應(yīng)用”在第2 課時(shí)，按比分配問(wèn)題的拓展，是在同類量的配比情境中運(yùn)用比的意義、應(yīng)用比的模型進(jìn)一步解決有關(guān)按比分配的問(wèn)題，通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)一步理解比的意義和比的模型，深化對(duì)“比”的再認(rèn)識(shí)。

（二）教材橫向?qū)Ρ?，深度分析解讀

圖2 三版本教材關(guān)于“比的應(yīng)用”的對(duì)比編排

橫向比較各版本教材，可見(jiàn)：①問(wèn)題情境和學(xué)習(xí)素材的選?。焊靼姹窘滩碾m然呈現(xiàn)的具體素材不同，但都是通過(guò)創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活、富有趣味性和啟發(fā)性的問(wèn)題情境引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。在素材信息的呈現(xiàn)上有所不同，蘇教版和人教版都是直接呈現(xiàn)要分的具體數(shù)量，且直接呈現(xiàn)兩個(gè)數(shù)量的比；而北師大版教材開(kāi)始未直接呈現(xiàn)要分的具體數(shù)量，而是在列表思考之后才給出具體要分的數(shù)量。北師大版教材的這種呈現(xiàn)方式更能夠把學(xué)生拉回原點(diǎn)，更有助于從理解比的本質(zhì)出發(fā)思考問(wèn)題，進(jìn)而理解比的意義。另外，北師大版教材也沒(méi)有直接給出兩個(gè)數(shù)量的比，只是給了兩個(gè)數(shù)量是多少，這更有助于學(xué)生體會(huì)按比分配產(chǎn)生的需求和必要性。②學(xué)習(xí)方式的編排：從情境創(chuàng)設(shè)、活動(dòng)編排到交流策略方法，各版本教材都特別注重學(xué)生經(jīng)歷兩個(gè)過(guò)程，一個(gè)是運(yùn)用比的意義、應(yīng)用比的模型解決問(wèn)題的全過(guò)程，一個(gè)是充分展現(xiàn)學(xué)生多角度的思維過(guò)程。在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生進(jìn)一步理解比的意義，認(rèn)識(shí)比的模型，深化對(duì)比的再認(rèn)識(shí)。各版本教材都呈現(xiàn)了從份的角度和分?jǐn)?shù)的角度進(jìn)一步理解比的意義，將按比分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘除法運(yùn)算來(lái)解決，溝通比與分?jǐn)?shù)、運(yùn)算之間的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)比。不同的是，北師大版教材在繼續(xù)呈現(xiàn)列表嘗試的方法之外還呈現(xiàn)了方程的方法，列表嘗試更能體現(xiàn)按比分配的本質(zhì)，滲透建立正比例模型，幫助學(xué)生初步感悟函數(shù)思想，方程方法呈現(xiàn)了代數(shù)思維，其本質(zhì)也是從份的角度再理解比的意義。在理解比的意義時(shí)，人教版和北師大版都借助幾何直觀呈現(xiàn)了畫(huà)圖的方式；再獲得結(jié)論之后，蘇教版和人教版都呈現(xiàn)了對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)過(guò)程。另外，蘇教版還由兩個(gè)量的比拓展到多個(gè)量的連比問(wèn)題，一個(gè)除法算式或者一個(gè)分?jǐn)?shù)無(wú)法一下子表示多個(gè)量之間的關(guān)系，這種拓展更加體現(xiàn)了比的應(yīng)用的獨(dú)特價(jià)值。

二、學(xué)習(xí)者分析

（一）知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與能力基礎(chǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)比的應(yīng)用之前，已經(jīng)在第一學(xué)段經(jīng)歷了比較（比大?。⒊ㄒ饬x與倍的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)以及第二學(xué)段分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)；是在已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)分?jǐn)?shù)乘（除）法的意義和計(jì)算、分?jǐn)?shù)的意義及基本性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的基礎(chǔ)上，特別是學(xué)習(xí)了本單元“比的意義”和“比的化簡(jiǎn)”之后開(kāi)始進(jìn)一步學(xué)習(xí)的。學(xué)生已經(jīng)對(duì)比的意義的理解建構(gòu)了比的模型，具體體現(xiàn)在：在豐富的問(wèn)題情境中逐步感知比，經(jīng)歷了從具體情境中抽象出比的過(guò)程；充分體會(huì)比既可以刻畫(huà)兩個(gè)同類量之間的關(guān)系（倍比關(guān)系），也可以刻畫(huà)兩個(gè)不同類量之間的關(guān)系（衍生的量）；深入理解比表示一種關(guān)系，一種“怎樣”的關(guān)系，突出“1 份”作為度量單位的重要性；溝通理解比與倍、除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系；逐步認(rèn)識(shí)和理解比的意義，建立、拓展和豐富比的模型，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了比。

（二）前測(cè)調(diào)研

為了解學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前對(duì)比的意義的理解和運(yùn)用程度，我對(duì)六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)調(diào)研。特別說(shuō)明，為避免問(wèn)題之間彼此造成干擾和提示，以下四個(gè)問(wèn)題各用兩個(gè)班分別進(jìn)行測(cè)查。

問(wèn)題1：淘氣幾次配置蜂蜜水，他認(rèn)為蜂蜜與水的體積比是2:15 時(shí)口感最佳。你知道此時(shí)這個(gè)比的含義嗎？請(qǐng)你用喜歡的方式解釋這個(gè)比的意思。

意圖：調(diào)研學(xué)生對(duì)比的意義的理解狀況。

問(wèn)題2：你認(rèn)為學(xué)習(xí)“比”最大的用處是什么？

意圖：調(diào)研學(xué)生對(duì)比的價(jià)值的認(rèn)識(shí)程度。

問(wèn)題3：學(xué)校圖書(shū)館新進(jìn)了450 本圖書(shū)，要把這些本圖書(shū)分給四年級(jí)和五年級(jí)，應(yīng)該怎么分？用你喜歡的方式記錄下你分的過(guò)程和結(jié)果。（如圖3）

圖3

意圖：調(diào)研學(xué)生在給出具體數(shù)量的前提下運(yùn)用比的意義解決按比分配問(wèn)題的情況。

問(wèn)題4：學(xué)校圖書(shū)館新進(jìn)了一些圖書(shū)，要把這些圖書(shū)分給四年級(jí)和五年級(jí)，應(yīng)該怎么分？用你喜歡的方式記錄下你分的過(guò)程和結(jié)果。（如圖4）

圖4

意圖：調(diào)研學(xué)生在不給出具體數(shù)量的前提下運(yùn)用比的意義解決按比分配問(wèn)題的情況。

調(diào)研結(jié)果分析：

問(wèn)題1：

表1 關(guān)于“問(wèn)題1”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

圖5 關(guān)于“問(wèn)題1”學(xué)生典型作答

分析：

對(duì)六年級(jí)69 名學(xué)生的前測(cè)可見(jiàn)：

（1）對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活簡(jiǎn)單配比情境中的比的意義，92.8%的學(xué)生能夠作出正確解釋，其中14.5%的學(xué)生能列舉，58%的學(xué)生能從份的角度解釋，8.7%的學(xué)生能聯(lián)系分?jǐn)?shù)意義來(lái)對(duì)比作出解釋，11.6%的學(xué)生能從份和分?jǐn)?shù)兩個(gè)角度對(duì)比作出解釋。這說(shuō)明在學(xué)習(xí)完比的意義、比的化簡(jiǎn)之后，絕大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠正確理解比的意義，這為學(xué)習(xí)比的應(yīng)用奠定了必備的知識(shí)基礎(chǔ)。

（2）另有4.3%的學(xué)生對(duì)比的意義解釋不清，2.9%的學(xué)生作出錯(cuò)誤解釋，對(duì)于這7.2%的學(xué)生要引起重視，需要在學(xué)習(xí)比的應(yīng)用這節(jié)課時(shí)通過(guò)交流，幫助他們建立比的模型、理解比的意義之后，再應(yīng)用比的模型解決問(wèn)題。

問(wèn)題2：

分析：

對(duì)六年級(jí)69 名學(xué)生的前測(cè)可見(jiàn)：

表2 關(guān)于“問(wèn)題2”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

圖6 關(guān)于“問(wèn)題2”學(xué)生典型作答

53.6%的學(xué)生認(rèn)為“比可以幫助解決問(wèn)題”，其中7.2%的學(xué)生能夠舉例說(shuō)明比可以解決甜度、擁擠度、快慢等問(wèn)題，34.8%的學(xué)生能夠舉例說(shuō)明比在生活中廣泛存在，11.6%的學(xué)生認(rèn)為比更直觀、方便、快捷；30.4%的學(xué)生明確談及比表示一種關(guān)系。另有14.5%的學(xué)生聯(lián)系除法、分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)明比的作用，其中2.9%的學(xué)生還談及“通過(guò)學(xué)習(xí)比能使思維更進(jìn)一步而不是停留在除法”“比能幫助我們解決一些除法和分?jǐn)?shù)解決不了的問(wèn)題”等。這說(shuō)明98.5%的學(xué)生對(duì)比的價(jià)值有不同程度的體會(huì)。比的應(yīng)用這節(jié)課能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用比的意義、比的模型來(lái)解決按比分配問(wèn)題的思想，特別是設(shè)計(jì)按多個(gè)量的連比分配問(wèn)題能夠幫助學(xué)生更進(jìn)一步感悟比更加獨(dú)特的價(jià)值——比可以一下子直觀表示多個(gè)量之間的關(guān)系。

問(wèn)題3：

表3 關(guān)于“問(wèn)題3”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

圖7 關(guān)于“問(wèn)題3”學(xué)生典型作答

分析：

對(duì)六年級(jí)69 名學(xué)生的前測(cè)可見(jiàn)：

（1）對(duì)于在給出具體總數(shù)量以及兩個(gè)量的比的前提下，96.6%的學(xué)生都能夠運(yùn)用比的意義根據(jù)自己的理解正確解決按比分配問(wèn)題。其中83.6%的學(xué)生從份的角度理解比，先求1 份數(shù)再求幾份數(shù)，僅有8.2%的學(xué)生從分?jǐn)?shù)角度理解比，將按比分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題解決，而運(yùn)用方程解決的少之又少，僅有3.2%，有1 名學(xué)生通過(guò)猜測(cè)嘗試獲得答案，另有2 名學(xué)生解答錯(cuò)誤。

（2）由此暴露兩個(gè)問(wèn)題：一是超過(guò)八成學(xué)生都是從份的角度解決問(wèn)題，體現(xiàn)出學(xué)生解決問(wèn)題的視角單一，說(shuō)明對(duì)比的意義的理解維度單一、不豐富。因此比的應(yīng)用這節(jié)課有必要充分展現(xiàn)學(xué)生多角度的思維過(guò)程，通過(guò)交流方法多角度豐富理解比的意義、認(rèn)識(shí)比的模型，深化對(duì)比的再認(rèn)識(shí)。二是通過(guò)列表嘗試方法的學(xué)生一個(gè)也沒(méi)有，而列表嘗試更能體現(xiàn)按比分配的本質(zhì)，幫助學(xué)生滲透建立正比例模型，更能體現(xiàn)比的最原始、最本質(zhì)的意義，更能幫助學(xué)生理解比的結(jié)構(gòu)關(guān)系模型。學(xué)生之所以沒(méi)有用列表嘗試，是因?yàn)轭}目直接給了具體總數(shù)量這個(gè)信息所導(dǎo)致的，因此，教學(xué)中設(shè)計(jì)不直接給具體數(shù)量，更有助于把學(xué)生拉回原點(diǎn)，讓學(xué)生借助列表嘗試解決問(wèn)題，是非常必要的。

問(wèn)題4：

表4 關(guān)于“問(wèn)題4”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

圖8 關(guān)于“問(wèn)題4”學(xué)生典型作答

分析：

對(duì)六年級(jí)69 名學(xué)生的前測(cè)可見(jiàn)：

（1）29%的學(xué)生從份的角度理解比的意義，10.1%的學(xué)生從分?jǐn)?shù)角度理解比的意義，2.9%的學(xué)生在理解比的意義時(shí)有列表嘗試的意識(shí)，這42%的學(xué)生能夠從問(wèn)題情境中自主抽象出比、建立比的模型，并應(yīng)用比的模型、運(yùn)用比的意義正確解決按比分配問(wèn)題。

（2）但是有高達(dá)58%的學(xué)生沒(méi)有正確建立比的模型，導(dǎo)致不能應(yīng)用比的模型、運(yùn)用比的意義解決問(wèn)題。其中43.5%的學(xué)生不能正確解答或者無(wú)思路無(wú)結(jié)果，14.5%的學(xué)生雖然“按人分”也能在一定范圍（總量900 本）解決問(wèn)題，但是依然沒(méi)有在頭腦中建立起比的模型，沒(méi)有理解橘子“應(yīng)該按兩個(gè)班人數(shù)的比”來(lái)分的需求及合理性，這與“問(wèn)題3”的結(jié)果形成巨大反差和鮮明對(duì)比。因此教學(xué)中需設(shè)計(jì)在開(kāi)始不給具體數(shù)量也不給兩個(gè)班人數(shù)的比更不給兩個(gè)班人數(shù)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生討論“怎么分合理”，進(jìn)而在學(xué)生有需求的前提下再呈現(xiàn)兩個(gè)班的具體人數(shù)信息，繼續(xù)讓學(xué)生交流“怎么分合理”，進(jìn)而抽象出比，理解按兩個(gè)班人數(shù)的比來(lái)分的合理性。這個(gè)過(guò)程是非常必要的，能夠幫助學(xué)生從問(wèn)題情境中根據(jù)真實(shí)需求抽象出比、建立比的模型，幫助學(xué)生體會(huì)產(chǎn)生按比分配的需求，在頭腦中建立起比的模型——兩個(gè)班分到的橘子數(shù)要與兩個(gè)班人數(shù)的比保持一致，這一點(diǎn)是非常重要的，只有建立了比的模型，接下來(lái)才能應(yīng)用比的模型解決問(wèn)題。

三、“比的應(yīng)用”教學(xué)思考與建議

首先，“比的認(rèn)識(shí)”單元教學(xué)需要大觀念統(tǒng)領(lǐng)。即教師應(yīng)該從更大的范圍、站在更高的視角，用一般的思想實(shí)施單元整體設(shè)計(jì)，進(jìn)而聚焦到大單元教學(xué)中的每一個(gè)主題、每一節(jié)核心課、每一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)任務(wù)序列、每一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的設(shè)計(jì)?；诖耍宜伎疾⑿纬闪恕氨鹊恼J(rèn)識(shí)”單元學(xué)習(xí)的大觀念：比的本質(zhì)是表達(dá)和度量?jī)蓚€(gè)量的倍數(shù)關(guān)系，是刻畫(huà)事物某種屬性的重要模型，“比”源于同類量的比較關(guān)系，但是可以推廣到“不同類量”的情形。不同類量的比可以產(chǎn)生新的量（衍生的量）。比源于度量，度量解決了物體可度量的屬性，比更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性，這也是除法所不能及的。比為比例的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，并可以擴(kuò)展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。通過(guò)以上過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的模型思想、度量意識(shí)，提高問(wèn)題解決能力。

其次，從教材對(duì)比解讀到學(xué)情調(diào)研分析，在觀念統(tǒng)領(lǐng)下我進(jìn)一步思考：“比的應(yīng)用”這節(jié)課的價(jià)值到底是什么？通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)最終在數(shù)學(xué)上讓學(xué)生獲得什么才是最寶貴的？我想，比的應(yīng)用是運(yùn)用比的意義，解決按一定的比進(jìn)行分配的實(shí)際問(wèn)題，按比分配即是應(yīng)用模型、應(yīng)用比的模型解決問(wèn)題。同時(shí)，兩個(gè)量的按比分配其本質(zhì)上是進(jìn)一步建立了一個(gè)正比例關(guān)系模型，這樣看，按比分配本身也是一個(gè)具體的模型，是在應(yīng)用模型的基礎(chǔ)上對(duì)比的模型的進(jìn)一步建構(gòu)和再認(rèn)識(shí)。通過(guò)比的應(yīng)用，進(jìn)一步感悟函數(shù)思想也是這節(jié)課的重點(diǎn)。比的應(yīng)用是對(duì)比的認(rèn)識(shí)的深化，而不是簡(jiǎn)單的獲得按比分配的結(jié)果，所以不給具體數(shù)量來(lái)進(jìn)行按比分配，正體現(xiàn)著對(duì)比的認(rèn)識(shí)的深化，也正體現(xiàn)著對(duì)比的意義最原始、最本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

最后，在“比的應(yīng)用”這節(jié)課，我認(rèn)為學(xué)生在解決按比分配問(wèn)題過(guò)程中進(jìn)一步建立比的模型是非常必要的。因此，我設(shè)計(jì)了既不給具體數(shù)量也不直接呈現(xiàn)兩個(gè)數(shù)量的比而讓學(xué)生分橘子的活動(dòng)。在學(xué)生體會(huì)按比分配的需求和必要性的基礎(chǔ)上，通過(guò)列表嘗試，在感悟“變”與“不變”中建立比的正比例模型，感悟函數(shù)思想，深化對(duì)比的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，在運(yùn)用比的意義、應(yīng)用比的模型解決按比分配的問(wèn)題中，通過(guò)交流充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，獲得豐富多元的策略方法，幫助學(xué)生充分體會(huì)比與分?jǐn)?shù)、除法之間的聯(lián)系，進(jìn)一步理解比的意義，發(fā)展模型思想。設(shè)計(jì)“溝通按比分配與平均分問(wèn)題的聯(lián)系”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到以前學(xué)習(xí)的平均分問(wèn)題是按比分配問(wèn)題的特殊情況（即按1:1:1……分），按比分配是平均分問(wèn)題的發(fā)展，按比分配其本質(zhì)也是平均分，拓展思維，提升認(rèn)識(shí)。最后，通過(guò)《九章算術(shù)》中的“巧女織布”問(wèn)題以及均分與衰分的歷史，幫助學(xué)生感悟按比分配的數(shù)學(xué)史的文化價(jià)值。

圖9 “比的應(yīng)用”素養(yǎng)進(jìn)階的教學(xué)結(jié)構(gòu)圖