新疆 劉杭州 尚振玉

復(fù)雜的物理問題一定是需要在定性的分析和思考后進行定量運算的，而最終能否解決問題，數(shù)理思維能力起著關(guān)鍵作用。物理教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理思維，對學(xué)生科學(xué)思維的形成具有重要作用。本文以帶電粒子在圓形磁場中的運動為例，探討學(xué)生數(shù)理思維的培養(yǎng)。

數(shù)理思維是科學(xué)思維的重要構(gòu)成。數(shù)理思維是指應(yīng)用數(shù)學(xué)思維理解和解決物理問題的思維方式。在高中物理核心素養(yǎng)中，“科學(xué)思維”主要包括模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素；高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”“數(shù)學(xué)建模”“數(shù)學(xué)運算”“直觀想象”“數(shù)據(jù)分析”。這些素養(yǎng)要求置于高中物理素養(yǎng)要求中一點也不違和，“抽象”“推理”“建?！薄斑\算”“想象”“分析”正是“科學(xué)思維”的重要要素。核心素養(yǎng)視域下的數(shù)理思維并不只是在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，更多的是數(shù)學(xué)思維和物理思維的相互融合、相互促進。數(shù)學(xué)和物理自古就是并肩發(fā)展的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和物理學(xué)習(xí)始終是相輔相成的。數(shù)理思維的培養(yǎng)是物理課堂的重要任務(wù)，忽視數(shù)理思維的培養(yǎng)會造成學(xué)生知道問題怎么解決，但是解決不了的尷尬局面。筆者下面以帶電粒子在圓形磁場中的運動為例，結(jié)合幾道例題，探討學(xué)生數(shù)理思維的培養(yǎng)。

1.帶電粒子在圓形磁場中的運動問題

帶電粒子在磁場中的運動特征學(xué)生很容易理解，核心思想是洛倫茲力提供向心力，主要方法是“定圓心、畫軌跡、找關(guān)系”，但關(guān)鍵的是怎樣定圓心，從何處找關(guān)系。教師在教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)理思維尋求解決辦法。

如圖1所示，帶電粒子在圓形磁場中運動的問題實質(zhì)是兩個相交圓的關(guān)系問題，一個是帶電粒子運動的軌跡圓，一個是磁場邊界圓。相交圓的基本特征為：(1)兩圓具有公共弦、兩個交點；(2)兩圓的圓心連線是公共弦的垂直平分線(兩圓關(guān)于圓心連線對稱)；(3)兩圓心與兩個交點的連線構(gòu)成一個四邊形(內(nèi)角和為360°)。教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生厘清兩圓的基本關(guān)系是打開思維大門的關(guān)鍵。

圖1

1.1 沿徑向入射問題

帶電粒子沿徑向射入圓形磁場問題有兩個重要結(jié)論。一個是帶電粒子若沿徑向射入，則必沿徑向射出。教師在教學(xué)中如果直接告知學(xué)生該結(jié)論，則不能讓學(xué)生形成良好的數(shù)理思維。利用兩圓關(guān)系很容易推導(dǎo)出這個結(jié)論，速度實際是沿軌跡圓的切線方向，如圖2所示，顯然O1A⊥O2A，根據(jù)對稱性有O1B⊥O2B，從B點射出的粒子速度要與O1B垂直，即粒子出射速度的反向延長線一定過圓心O2。

圖2

另外一個結(jié)論是速度偏轉(zhuǎn)角等于圓弧對應(yīng)的圓心角。如果教學(xué)中只從角度關(guān)系證明，只能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)關(guān)系的層面認(rèn)識到該結(jié)論的成立。而從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理思維的角度，只需讓學(xué)生認(rèn)識到速度方向沿軌跡圓的切線，切線和對應(yīng)半徑始終垂直，切線旋轉(zhuǎn)的角度肯定與對應(yīng)半徑旋轉(zhuǎn)的角度相等。

圖3

( )

【答案】B

1.2 不沿徑向入射問題

不沿徑向射入圓形磁場的問題比較復(fù)雜，問題設(shè)置需附加多個條件，這些條件的引入都是為了輔助尋找角度關(guān)系。圓心的確定是該類問題的難點，教師在教學(xué)中必須有意識的讓學(xué)生利用圓的基本性質(zhì)找到圓心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理思維。常見的不沿徑向入射問題有兩類：一類是已知入射速度方向、入射點和出射點；另一類是已知速度偏轉(zhuǎn)角和入射點的位置。

類型一：已知入射速度方向、入射點和出射點問題

過入射點做速度方向的垂線與入射點、出射點連線的中垂線交于一點，該點即為圓心。確定圓心，根據(jù)已知條件，尋找角度關(guān)系即可求解。

【例2】(2016年全國卷Ⅱ第18題)一圓筒處于磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場中，磁場方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖4所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時針轉(zhuǎn)動。在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi)，射入時的運動方向與MN成30°角。當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90°時，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒，不計重力。若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為

圖4

( )

圖5

【答案】A

類型二：已知速度偏轉(zhuǎn)角和入射點的位置問題

先做出過入射點速度方向的垂線，然后過邊界圓的圓心做速度偏轉(zhuǎn)角的補角的角平分線，二者的交點即為圓心。根據(jù)圓的性質(zhì)，速度是沿軌跡圓的切線方向，兩切線的交點一定在相交圓的圓心連線上。

圖6

( )

圖7

【答案】B

天空變得更亮了，白色云朵多了起來，一大團一大團地簇?fù)碓谝黄?。雪白的云團上有許多黑洞似的暗斑，遠遠望去，像極了一個個不規(guī)則的蜂巢。

綜上所述，若教師不在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)理思維建構(gòu)正確地確定圓心的方法，學(xué)生很難做出軌跡圓，就不能很好地解決上述兩類問題，可見培養(yǎng)數(shù)理思維的重要性。

1.3 極值問題

極值問題是帶電粒子在圓形磁場中運動的重點問題，教學(xué)中需要借助旋轉(zhuǎn)圓、放縮圓、平移圓等方法輔助學(xué)生分析問題。但從解決問題的角度出發(fā)，畫出很多軌跡圓并不能真正地幫助學(xué)生快速、正確地解決問題。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)理思維的角度思考問題，該類問題常設(shè)置為粒子運動時間最長或半徑最大，解決問題則是依靠圓的唯一性原則，一是圓的最大弦是直徑，二是軌跡確定的情況下，圓外一點到圓的切線是唯一的。從這個角度考慮問題可以有效地鍛煉學(xué)生的數(shù)理思維能力。

類型一：弦是直徑

若帶電粒子在圓形磁場中入射、出射的距離最遠，則邊界圓的弦(公共弦)一定是軌跡圓的直徑，即弦是直徑。

【例4】(2017年全國卷Ⅱ第18題)如圖8，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為

圖8

( )

甲

【答案】C

類型二：直徑是弦

若粒子在圓形磁場運動的時間最長，則邊界圓的直徑一定是軌跡圓的弦，即直徑是弦。該類型的問題適用于軌跡圓的直徑大于邊界圓的直徑的情況，通過“直徑是弦”可以迅速找到出射點，快速解決問題。

圖10

( )

類型三：唯一切線

若圓形是磁場邊界的一部分，粒子射出磁場的最大偏轉(zhuǎn)角一定對應(yīng)邊界圓的唯一切線。由于軌跡圓的圓心角等于弦切角的二倍，則圓外一點到邊界圓的切線對應(yīng)的弦切角最大，對應(yīng)的圓心角也最大。

圖11

( )

圖12

綜上所述，教師在教學(xué)中注重數(shù)理思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生有意識的思考臨界條件下兩圓關(guān)系的唯一性，同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)圓、放縮圓等方法，讓學(xué)生形成正確的思維方式。

1.4 磁偏轉(zhuǎn)與磁聚焦

磁偏轉(zhuǎn)和磁聚焦是帶電粒子在圓形磁場中運動的特殊問題，當(dāng)軌跡圓和邊界圓的半徑相等時，平行入射的等速粒子會匯聚于一點，教學(xué)中常借助多媒體輔助描繪軌跡的動態(tài)圓進行解釋。因為軌跡圓和邊界圓的半徑相等，故兩圓心與兩圓交點的連線構(gòu)成的四邊形為菱形，只需任意選取入射位置畫出軌跡圓，即可說明磁偏轉(zhuǎn)和磁聚焦的特點，如圖13所示。

圖13

2.培養(yǎng)數(shù)理思維的策略和建議