冀占江

(梧州學(xué)院大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院/廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 梧州 543002)

跟蹤性是拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中非常重要的定義，不僅在計(jì)算數(shù)學(xué)和生物數(shù)學(xué)方面有著廣泛的應(yīng)用前景，而且已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)學(xué)科某個(gè)領(lǐng)域中的一種重要技術(shù)工具。

另外，強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集是拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容[11-14]。如：文獻(xiàn)[11]證明了強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集是閉集，文獻(xiàn)[12]證明了強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集對同胚映射f是強(qiáng)不變的。但是，文獻(xiàn)[11-12]只是在度量空間中研究了強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并未涉及拓?fù)淙鹤饔孟碌亩攘靠臻g中強(qiáng)鏈回點(diǎn)集的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)?；诖耍疚脑谕?fù)淙鹤饔孟碌亩攘靠臻g中研究G-強(qiáng)鏈回點(diǎn)集的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，得到了G-強(qiáng)鏈回點(diǎn)集的若干結(jié)論。

1 預(yù)備知識

定義1[15]設(shè)(X,d)是度量空間，G是拓?fù)淙?，稱(X,d)是度量G-空間，如果映射φ:G×X→X滿足

(1)?xX，有φ(e,x)=x，其中e為G的單位元；

(2)?g1,g2G和?xX，有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x)。

為了書寫方便，通常將φ(g,x)簡寫為gx。若(X,d)是緊致度量空間，則稱(X,d)是緊致度量G-空間。

定義2[15]設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，稱f是偽等價(jià)映射，如果?gG，?xX，?hG，使得f(gx)=hf(x)成立。

定義3[16]設(shè)(X,d)是度量G-空間，若?x,yX，?gG，有d(gx,gy)=d(x,y)，則稱度量d對拓?fù)淙篏不變。

定義5[6]設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，稱x是f的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)，如果對任意的ε>0，存在f作用下從x到x的強(qiáng)(G,ε)-鏈。f的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集記為SCRG(f)。

引理1[16]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓?fù)淙?，則?η>0，?0<η0<η，當(dāng)d(u,v)<η0時(shí)，?sG，有d(su,sv)<η。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓?fù)淙?，f:X→X連續(xù)，則SCRG(f)是閉集。

證明設(shè)zSCRG(f)，則存在ε0>0滿足以下條件：不存在z到z的強(qiáng)(G,ε0)-鏈。由引理1，可得：?0<δ1<ε0/6，當(dāng)d(u,v)<δ1時(shí)，?gG，有

(1)

結(jié)合f:X→X一致連續(xù)可以得到，對δ1>0，?0<δ2<δ1，當(dāng)d(u,v)<δ2時(shí)，有

d(f(u),f(v))<δ1。

(2)

特別地，

由xB(z,δ2)和式(1)、(2)，可得：

則

從而有

所以，{z,x1,x2,…,xm-1,z}是強(qiáng)(G,ε0)-鏈，這與前面的不存在z到z的強(qiáng)(G,ε0)-鏈矛盾，故不存在x到x的強(qiáng)(G,ε0/6)-鏈，則有

xSCRG(f)，B(z,δ2)∩SCRG(f)=?，z

定理2設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓?fù)淙?，f:X→X同胚偽等價(jià)，則

f(SCRG(f))=SCRG(f)。

證明設(shè)zSCRG(f)，由引理1可得：?ε>0，?0<δ1<ε/9，當(dāng)d(u,v)<δ1時(shí)，?gG，有

(3)

結(jié)合f:X→X一致連續(xù)，可得：?0<δ2<δ1，當(dāng)d(u,v)<δ2時(shí)，有

d(f(u),f(v))<δ1。

(4)

故

d(g0f(z),z1)<δ2，d(g1f(z1),z2)<δ2。

由f偽等價(jià)和式(4)知，?t0G，使得

d(t0f2(z),f(z1))<δ1,

再結(jié)合式(3)，可得

則

d(g1t0f2(z),z2)

故

因此，{f(z),z2,z3,…,zn-1,z,f(z)}是f作用下的強(qiáng)(G,ε)-鏈，從而有f(z)SCRG(f)，f(SCRG(f))?SCRG(f)。

設(shè)xSCRG(f)，由引理1有：?0<δ3<ε/4，當(dāng)d(u,v)<δ3時(shí)，?gG，有

(5)

因?yàn)閒-1一致連續(xù)，所以對δ3>0，?0<δ4<δ3，當(dāng)d(u,v)<δ4時(shí)，有

d(f-1(u),f-1(v))<δ3。

(6)

特別地，

d(lp-1f(xp-1),x)<δ4，d(lp-2f(xp-2),xp-1)<δ4。

由f偽等價(jià)和式(6),可得:?l′p-1G，使得

由式(5)有

則

故

因此，{f-1(x),x,x1,…,xp-2,f-1(x)}是f作用下的強(qiáng)(G,ε)-鏈，從而有f-1(x)SCRG(f)，SCRG(f)?f(SCRG(f))。證畢。

定理3設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，f:X→X同胚偽等價(jià)且度量d對G不變，則

高層次人才引進(jìn)依賴于完善的人才政策法規(guī)和成熟的人才引進(jìn)機(jī)制。目前，河北省現(xiàn)有政策并沒有體現(xiàn)出更多的優(yōu)越性，相比其他省市較為落后，沒有對人才形成強(qiáng)大的吸引力。人才引進(jìn)渠道較為單一，人才引進(jìn)需求信息沒有得到廣泛、全面、有效的傳播，限制了河北省人才引進(jìn)的成效性。政府引進(jìn)人才的政策信息公開程度不高，政策公布渠道不夠完善，公布時(shí)間相對滯后，使很多區(qū)域外人才難以獲取相關(guān)信息，影響人才集聚。

SCRG(f)=SCRG(f-1)。

證明設(shè)zSCRG(f)。由f-1的一致連續(xù)性,可得：?ε>0，?0<δ1<ε/3，當(dāng)d(u,v)<δ1時(shí)，有

(7)

(8)

則有

d(gm-1f(zm-1),z)<δ1,d(gm-2f(zm-2),zm-1)<δ1。

由式(7)和f偽等價(jià),可得：?tm-1G，使得

由度量d對G不變,可得：

d(tm-1gm-2f(zm-2),tm-1zm-1)=d(gm-2f(zm-2),zm-1)<δ1。

由三角不等式可得

d(f-1(z),tm-1gm-2f(zm-2))

由度量d對G不變，有

d((tm-1gm-2)-1f-1(z),f(zm-2))=

由式(8)，有

由度量d對G不變,有

則有

d((tm-1gm-2)-1f-1(z),f(zm-2))+

故{z,f(zm-2),f(zm-3),…,f(z2),f(z1),f(z0),z}是f-1作用下的強(qiáng)(G,ε)-鏈，因此zSCRG(f-1)，故SCRG(f)?SCRG(f-1)。

設(shè)ySCRG(f-1)。由于f一致連續(xù)，故對?η>0，?0<δ2<η/4，當(dāng)d(u,v)<δ2時(shí)，有

(9)

(10)

則有

d(pn-1f-1(yn-1),y)<δ2，d(pn-2f-1(yn-2),yn-1)<δ2。

由式(9)和f偽等價(jià),有：?ln-1G，使得

由度量d對G不變，有

d(ln-1pn-2f-1(yn-2),ln-1yn-1)=

d(pn-2f-1(yn-2),yn-1)<δ2，

由三角不等式，可得

d(f(y),ln-1pn-2f-1(yn-2))

再由度量d對G不變，有

d((ln-1pn-2)-1f(y),f-1(yn-2))=

由式(10)可得

再由度量d對G不變,可得

故

d((ln-1pn-2)-1f(y),f-1(yn-2))+

則{y,f-1(yn-2),…,f-1(y2),f-1(y1),f-1(y),y}是f作用下的強(qiáng)(G,η)-鏈，故ySCRG(f)，因此SCRG(f-1)?SCRG(f)。證畢。

3 總結(jié)

本文引入G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的概念，在度量G-空間中研究G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的動(dòng)力學(xué)特征。主要結(jié)論如下：(1)SCRG(f)是閉集且對同胚映射f強(qiáng)不變；(2)SCRG(f)=SCRG(f-1)。所得的結(jié)論推廣文獻(xiàn)[6-7]中強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的結(jié)果，為其在實(shí)際中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。