范軍紅，朱云飛*，王文彪，鮑官軍，姜利祥

（1. 可靠性與環(huán)境工程技術重點實驗室； 2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所：北京 100094；3. 浙江工業(yè)大學 機械工程學院，杭州 310014）

0 引言

柔性連續(xù)體機器人手臂的研究近年來取得重大進展，研究人員根據不同的應用場景提出許多柔性連續(xù)體的原型，展示了其對多場景復雜環(huán)境的適應性。在航天領域，柔性連續(xù)臂在空間目標柔性捕獲、航天器故障檢測、輔助空間實驗、行星地形探測等場景具有潛在應用價值。柔性連續(xù)臂可使用不同的驅動技術實現，如肌腱/纜繩、流體（氣動或液壓）肌肉驅動器、形狀記憶合金以及介電彈性體驅動。通常情況下，柔性連續(xù)臂由3 個并列分布的驅動器構成，這是一個能夠到達臂展范圍內任意位置的最少驅動器數量配置。然而，由于缺乏運動學解耦和數值穩(wěn)定的動態(tài)模型研究，柔性連續(xù)臂的建模特別是動態(tài)建模研究一直相對滯后。

剛性機械臂是高自由度的串行鋼桿結構，假定鋼桿不發(fā)生變形時，可以采用牛頓-歐拉遞歸法等高效算法進行明確的數學建模。而柔性連續(xù)臂模仿柔性無脊椎動物結構，在操作過程中會發(fā)生很大的變形，使得其數學建模極為復雜。柔性連續(xù)臂的運動方程大多依賴基于能量的模型來推導，針對柔性連續(xù)臂建模的一種常見思路是將柔性連續(xù)臂看作由多個虛擬離散小段剛體串聯組成，然而這種思路由于自由度太多，在正、逆運動學求解中會遇到困難。為解決自由度太多的問題，可以使用形狀函數（shape function）來描述柔性臂運動過程中的變形，這種方法被稱為參數表示法。這些位移場通常表述為空間曲線或關節(jié)空間變量的多元多項式形式，構成可變形運動學模態(tài)方法的基礎。

為了簡化操作過程中的位置和姿態(tài)變化，研究人員提出了使用模態(tài)方法建立連續(xù)體機器人的運動學模型。早期研究者主要使用模態(tài)振型函數（mode shape function, MSF）來建立運動學模型。這種方法雖然簡化了可變參數的數量，但通常需要組合多個形狀函數來描述整個任務空間的參數變化，并且僅適用于變形較小的情況，局限性明顯。2006 年Jones 和Walker 提出的曲線參數（curve parametric,CP）運動學模型是多截面柔性連續(xù)臂的高級運動學模型，并通過迭代方法產生準確的正運動學和逆運動學模型。該模型可以模擬任何柔性連續(xù)臂的彎曲運動，能緊湊表示實際關節(jié)空間變量（即驅動器長度）中的平滑彎曲，因此可以快速得到結果，并給出更好的物理解釋。該模型有很多優(yōu)勢，啟發(fā)了許多其他類似的運動學模型，并為柔性連續(xù)臂的相關研究提供了分析基礎，但也存在一些缺陷——由于數值奇異性，它不能模擬連續(xù)體截面的直臂姿態(tài)（即當各驅動器長度相等時，完全地伸長或收縮運動）?；贑P 模型，研究者解決了其奇異性問題，擴大了CP 模型的應用范圍，并對其逆運動學的數值解法進行了研究，但是其運動學模型求解存在不易收斂、耗時較長的問題。

考慮到上述模型及其求解中存在的局限性，本文提出采用神經網絡對柔性連續(xù)臂運動學進行建模的方法，試圖利用CP 和模態(tài)方法建立正運動學模型，產生關節(jié)空間向量到目標姿態(tài)映射的海量數據集DataSet，并利用此數據集建立基于前饋神經網絡的正運動學和逆運動學模型，以期解決奇異性以及逆運動學求解不穩(wěn)定問題，并顯著縮短逆運動學求解的時間，為之后采用強化學習方法學習控制策略建立基礎模型。

1 自研柔性連續(xù)臂介紹

1.1 設計描述

本文作者所屬團隊研發(fā)的柔性連續(xù)臂如圖1 所示，采用分節(jié)設計，初步設計為3 節(jié)，每節(jié)由多根氣動肌腱并聯組成，采用自研的加壓伸長型氣動肌腱作為驅動器，可實現每節(jié)獨立地彎曲和伸長。

圖1 柔性連續(xù)臂實拍圖Fig. 1 The flexible continuum arm

加壓伸長型氣動肌腱由內部硅膠管和外部限制其徑向變形的波紋管構成。波紋管的伸長量來源于其軸向層疊的波紋結構，此結構使得氣動肌肉的伸長量與纖維編織角度無關，突破了現有傳統(tǒng)雙螺旋編織網氣動肌肉、囊顆粒型氣動肌肉的設計局限。

在高壓氣體作用下，該氣動肌腱最大能產生300%的軸向變形，氣壓降為所處環(huán)境大氣壓時可恢復為原來的形狀。這在每個驅動器能夠伸長和收縮的功能基礎上，極大提高了柔性連續(xù)臂的彎曲致動性能和運動抓取的靈活性。

1.2 系統(tǒng)模型

為對柔性連續(xù)臂進行建模，需要抽象出其系統(tǒng)模型。因此，基于Godage 等2015 年建立的運動學模型給出該柔性連續(xù)臂第小段的幾何模型，如圖2 所示。

圖2 柔性連續(xù)臂任意第i 小段的幾何模型Fig. 2 Geometrical model of an optional part of the flexible continuum arm

為不失通用性，本文采用3 個可變長度驅動器的配置，將驅動器固定在一個半徑為r的圓形剛構上，并按照2π/3 的弧度間隔分布，平行于一條假想的穿過截面中心點的線。驅動器的初始長度為L，伸長量為l，且l≤l()≤l，其中表示第小段，表示此小段的第個驅動器。因此，一個驅動器在任何時刻的長度為L()=L+ l()。為方便后文的描述，將第小段的伸長量組成關節(jié)向量q=[l()l()l()]。

2 運動學模型

本章對CP 模型進行推導，并總結分析采用模態(tài)方法建立的運動學模型，提出一種有效收斂的逆運動學求解方法。

2.1 曲線參數模型

基于可變長度驅動器的特點，柔性連續(xù)臂每一小段都能完成伸長、收縮和彎曲運動。因此，在忽略負載的情況下，連續(xù)體每一小段的空間姿態(tài)完全可以用一個變曲率半徑和變長度的圓弧來表示。這個圓弧可由3 個空間參數定義——關于瞬時中心的曲率半徑λ∈(0, ∞)、彎曲弧度φ∈[0, 2π)以及彎曲平面相對于+X的角度θ∈[-π, π]。關節(jié)空間變量中的3 個曲線參數的求解公式為

為了完成運動學建模，必須正確計算柔性連續(xù)臂的位置和姿態(tài)。由于連續(xù)體截面的固有力學變形較大，沿長度方向有變化，必須用齊次變換矩陣（HTM）來表示。在圖2 中，定義了一個移動坐標系{′}，并且引入一個標量參數ξ∈[0, 1]來描述移動坐標系{′}沿柔性臂中心軸線從起點（ξ=0）至末端點（ξ=1）的移動。最終，基于曲線參數模型的柔性連續(xù)臂第小段的 HTM 表達式為

正如式(1)所述，當3 個可變長度驅動器的伸長量相同（即柔性臂直線伸縮運動）時，第小段的曲率半徑無窮大，曲線參數的HTM 描述失去意義。

2.2 基于模態(tài)方法的運動學模型及逆運動學求解

將該基于模態(tài)方法的運動學模型與自研的柔性連續(xù)臂實測數據進行對比，以證明該模型的有效性。圖3 為1 根關節(jié)伸長48%、另外2 根關節(jié)不伸長的情況下，運動學模型（采用13 階泰勒展開）與實測數據的對比，可以看到兩者的偏差在5%以內。

圖3 模型數據與實測數據對比Fig. 3 Comparison between model data and measured values

對于逆運動學問題，適用于剛性機械臂的雅可比矩陣求逆方法失效，故考慮數值迭代的方法。逆運動學的目標是以任務空間的位姿信息作為約束條件，求解出關節(jié)空間的伸長量。關節(jié)空間到任務空間的映射為非線性關系，因此可將逆運動學視作一個約束條件下的非線性優(yōu)化問題。本文嘗試使用MATLAB 中的非線性約束問題求解函數，將目標姿態(tài)看作約束條件，求解出滿足約束條件的關節(jié)向量值（即可變長度驅動器的伸長量）。

在求解過程中發(fā)現，只有目標姿態(tài)矩陣與初始姿態(tài)矩陣的歐氏距離極小時，此求解過程才能收斂。顯然，這是不具有實用價值的。為此，本文提出建立一個從初始姿態(tài)矩陣到目標姿態(tài)矩陣轉換的連續(xù)函數，并將連續(xù)函數產生的中間目標姿態(tài)作為求解過程中的臨時姿態(tài)矩陣。圖4 展示了沿著直線軌跡逼近目標姿態(tài)的逆運動學求解過程，其中虛線表示臨時姿態(tài)矩陣形成的逼近軌跡，可以看出其完全按照直線軌跡逼近目標點。

圖4 沿著直線軌跡的逆運動學求解示例Fig. 4 Example of inverse kinematics solution along a straight trajectory

圖5 展示了沿著圓弧軌跡逼近目標姿態(tài)的逆運動學求解過程，雖然沒有完全按照圓弧軌跡進行逼近，但是最終還是收斂到了目標點。沒有完全按照圓弧軌跡逼近的主要原因是圓弧軌跡的前半段不在工作空間范圍內，不可達。

圖5 沿著圓弧軌跡的逆運動學求解示例Fig. 5 Example of inverse kinematics solution along an arc trajectory

多次實驗發(fā)現，添加臨時姿態(tài)矩陣的方法成功解決了目標點與初始點相差較遠導致不收斂的問題，但是，由于添加了很多的中間臨時姿態(tài)矩陣，計算量和求解時間顯著增加。

3 運動學模型擬合

上述運動學研究所用的臨時姿態(tài)矩陣方法求解過程耗時較長，在逆運動學求解中尤為明顯；而基于模型的強化學習方法來得到柔性臂的控制策略則要求求解時間盡量短。故此，本文提出使用前饋神經網絡來擬合正運動學和逆運動學模型，以在保證精度的情況下縮短求解時間。

3.1 前饋神經網絡簡介

前饋神經網絡是一種典型的深度學習網絡。萬能近似定理表明，如果一個前饋神經網絡具有線性輸出層和至少一層包含非線性激活函數的隱藏層結構，那么只要給予網絡足夠數量的隱藏單元，它就可以任意精度來近似從任何一個有限維空間到另一個有限維空間的Boral 可測函數。因此，前饋神經網絡很適合用來擬合柔性連續(xù)臂的運動學模型（非線性函數）。

此外，神經網絡可以靈活更改輸入和輸出神經元的數量，對應于柔性連續(xù)臂而言，意味著可以靈活更改關節(jié)空間變量和任務空間變量的數量，即能較容易地將1 節(jié)的模型遷移到3 節(jié)的模型中，并可以將任意點的位置和姿態(tài)視作任務空間變量來進行建模，從而顯著提高模型的靈活性和普適性。

3.2 正運動學模型擬合

利用前面建立的正運動學模型，產生關節(jié)向量到末端姿態(tài)映射的100 000 個數據，作為訓練數據集，其中關節(jié)向量在0～80%的伸長率區(qū)間里按照均勻分布產生；使用相同的方法產生10 000 個數據，作為測試集。然后將關節(jié)向量作為輸入量，末端姿態(tài)作為輸出量，訓練一個前饋神經網絡來擬合這個映射，從而求解出一個端到端的運動學模型，并在測試集上測試該模型的準確性。

本文設計了一個8層的神經網絡，其輸入輸出層均包含3 個神經元，隱藏層的結構如圖6 所示。在數據集預處理過程中，將其歸一化為均值為0、方差為1 的正態(tài)分布數據集，故相應的激活函數采用雙曲正切激活函數tanh。此模型本質上是一個回歸模型，回歸模型一般采用均方誤差（MSE）作為損失函數。關于優(yōu)化函數，采用目前最主流的Adam 函數，并取得了很好的效果。

圖6 前饋神經網絡結構示意Fig. 6 Schematic diagram of feedforward network structure

訓練過程中的超參數選擇如表1 所示，其中學習率（learning_rate）為0.0001，這是在比較了學習率為0.001、0.005、0.0001 的效果之后擇優(yōu)選擇的。批尺寸（bactch_size）和單次優(yōu)化數據量（epoch）的改變對訓練結果影響不明顯。由于本文的訓練集樣本數量足夠大，幾乎涵蓋了所有可能的輸入情況，所以不考慮過擬合問題（有關參數weight_decay 的值很?。?。

表1 正運動學模型擬合中的超參數選擇Table 1 Selection of hyperparameters for forward kinematics model fitting

損失值（loss value）的優(yōu)化曲線如圖7 所示，可以看出，損失值在經過250 個epoch 時間優(yōu)化之后較好地收斂到一個接近于0 的值，說明此模型在訓練集上表現優(yōu)異，有效學習到了關節(jié)向量到末端姿態(tài)的映射關系。

圖7 正運動學擬合中損失值優(yōu)化曲線Fig. 7 Optimization curve of loss value in forward kinematics fitting

之后，在測試集上測試模型的效果，并采用相對誤差的平均值來評估模型的效果。的計算式為

式中：表示測試集上第個樣本的真實輸出結果；表示第個樣本的模型預測結果，并采用L2范數衡量輸出向量的大小。

圖8 展示了模型在測試集上的最終效果，可以看出，相對誤差的平均值在0.055 左右，轉換為絕對誤差后穩(wěn)定在5 mm 左右，符合柔性連續(xù)臂的控制精度要求。此誤差來源主要是因為損失值的優(yōu)化函數是隨機梯度下降法，其最優(yōu)值是一個相對效果很好的局部最優(yōu)值，并不是絕對全局最優(yōu)值。

圖8 正運動學相對誤差平均值曲線Fig. 8 Mean value curve of forward kinematics relative error

3.3 逆運動學模型擬合

利用3.2 節(jié)生成的訓練數據集，將末端姿態(tài)作為輸入量，關節(jié)向量作為輸出量，訓練一個神經網絡來擬合這個映射，從而完成逆運動學的求解過程。逆運動學與正運動學的神經網絡結構完全相同（參見圖6），不再贅述；部分超參數選擇存在變化（參見表2），主要是對學習率進行了微調。

表2 逆運動學模型擬合中的超參數選擇Table 2 Selection of hyperparameters for inverse kinematics model fitting

圖9 展示了損失值的變化過程，從圖中可以看出損失值在經過250 個epoch 時間優(yōu)化之后接近完美地收斂于0，說明此模型在訓練集上表現很好，學習到了末端姿態(tài)到關節(jié)向量的映射關系。

圖9 逆運動學擬合中損失值優(yōu)化曲線Fig. 9 Optimization curve of loss value in inverse kinematics fitting

圖10 展示了逆運動學相對誤差平均值，可以看出，其相對誤差平均值為0.038 左右，轉換為絕對誤差約為4 mm，滿足大部分柔性連續(xù)臂的控制精度要求，其誤差來源已在正運動學部分予以解釋。

圖10 逆運動學相對誤差平均值曲線Fig. 10 Mean value curve of inverse kinematics relative error

此外，此逆運動學模型顯著提高了求解效率。第2 章提到，利用臨時姿態(tài)矩陣求解逆運動學的方法完成1 次逆運動學求解需要進行很多次約束條件下的非線性函數求解，而每次非線性函數求解需要進行很多步數的迭代，多次實驗后得到其1 次逆運動學求解平均耗時14.4 s。而基于前饋神經網絡的模型是一個端到端的數據驅動的模型，只關注輸入/輸出量，忽視過程量，且模型結構較小，因此能夠很快給出結果，對數量為10 000 的測試集完成1 次測試所需的時間僅為1.5 s。

4 結束語

本文針對柔性連續(xù)臂逆運動學求解過程中不易收斂的問題，提出使用臨時姿態(tài)矩陣進行逆運動學求解的方法。但是，這種方法存在求解時間過長，不適用于控制策略的學習等要求快速求解的過程。為此，又提出使用前饋神經網絡對柔性連續(xù)臂進行正運動學和逆運動學端到端建模的方法，該方法的應用在保證模型精度的基礎上，顯著提高了逆運動學求解的效率，為后續(xù)柔性連續(xù)臂的智能控制策略研究奠定了基礎。

（編輯：張艷艷）