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        基于單元教學視角的章引言課

        2022-05-09 02:44:17朱永廠錢銘
        中國數(shù)學教育(高中版) 2022年5期
        關鍵詞:數(shù)學探究單元教學

        朱永廠 錢銘

        摘? 要:以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向,以《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》為準則,理解單元教學的重要性,討論并形成章引言課教學設計的原則. 以“棱柱、棱錐和棱臺”的章引言課為例,從宏觀設計、情境創(chuàng)設、數(shù)學探究、概念辨析和總結反思等角度進行具體的章引言課的教學設計,并總結出設計的要點.

        關鍵詞:單元教學;章引言課;數(shù)學探究

        一、提出問題

        在新一輪課程改革中,無論是課程標準的制定、教材的編寫,還是教學實施建議都凸顯了“單元教學”的重要性. 幫助學生弄清楚“為什么學、學什么和怎么學”是單元總體設計的主導思想. 加強對章節(jié)內容的宏觀把握和整體性認識,從知識的聯(lián)系性出發(fā)進行教學設計是課程改革的顯著特點,是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵所在. 單元教學需要依據(jù)單元目標和內容,闡述知識形成的背景和必要性,厘清知識的形成過程,梳理知識間的相互聯(lián)系,讓學生體驗研究問題的方法. 這是單元教學設計的主要任務. 下面以立體幾何初步的“棱柱、棱錐和棱臺”的教學為例,談談筆者在單元教學中是如何進行教學設計的,旨在拋磚引玉.

        二、教學過程簡錄

        1. 宏觀設計,章節(jié)引領

        高中數(shù)學教材每章的開頭都有章頭圖和章引言,它們是一章的開始,統(tǒng)領本章的知識要領和思想方法,展現(xiàn)本章內容在實際生產、生活或科技中的應用,傳播數(shù)學文化. 在實際教學過程中,教師對章節(jié)起始課的重視程度普遍不足,經常出現(xiàn)忽略、淡化或一帶而過的現(xiàn)象,致使浪費了良好的教育素材. 實際上,按照教材的編寫意圖對章節(jié)起始課進行合理的問題設計,能夠幫助學生合理構建數(shù)學認知體系,掌握基本思想方法,積累基本活動(研究)經驗,激發(fā)學生積極思考和探索新知的欲望.

        問題1:數(shù)學之美不僅表現(xiàn)在“數(shù)”的方面,更多的時候則表現(xiàn)在“形”的方面. 今天我們就一起走進五彩繽紛的“形”的世界. 看下面三個問題.

        (1)到定點的距離等于定長的點的軌跡是什么?

        (2)我們知道,3條等長的線段可以拼成一個正三角形,那么6條等長的線段最多可以拼成幾個正三角形?

        (3)如何檢查旗桿與地面是否垂直?如何刻畫人造地球衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成的角?

        生:問題1(1),在平面內軌跡是圓,在空間中軌跡是球;問題1(2),6條等長的線段最多可以拼成4個正三角形;問題1(3),見過工人師傅檢驗旗桿是否垂直于地面的方法是測旗桿是否垂直于地面內兩條相交直線,但是不知道原因. 人造地球衛(wèi)星軌道平面與赤道平面所成角的問題想象不出來.

        問題2:回憶一下,初中平面幾何的研究對象和研究內容是什么?立體幾何呢?

        生:記得初中平面幾何的研究對象是平面圖形,研究內容是點、線的位置關系,平面圖形的畫法,角、線段、面積等的相關計算及應用. 類比平面幾何的研究對象和研究內容,猜想立體幾何的研究對象應該是空間幾何體,研究內容應該是點、線、面的位置關系,空間圖形的畫法,角、線段、面積、體積等的相關計算及應用.

        問題3:(1)用一條直線能把圓分成面積相等的兩部分,那么用一個平面能把球分成體積相等的兩部分嗎?

        (2)如圖1,螞蟻甲要從棱長分別為3,4,5的長方體的頂點[A]處沿表面爬到頂點[C1]的好友螞蟻乙處,你能幫它規(guī)劃最短路線嗎?

        生:問題3(1),用一條過圓心的直線能把圓分成面積相等的兩部分,類比可知,用一個過球心的平面能把球分成體積相等的兩部分. 問題3(2),如圖2,將長方體分別沿著棱[BB1,A1B1,A1D1]展開成平面圖形進行求解并比較,可得最短路線.

        【設計意圖】問題1的設計能將學生的視野從平面引向空間. 其中,通過問題1(3)的設計能夠誘發(fā)學生的認知沖突,讓學生認識到學習立體幾何知識的必要性,同時培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察世界的良好習慣. 問題2的設計啟發(fā)了學生通過類比、聯(lián)想得到立體幾何的研究對象和研究內容,讓學生初步構建了研究立體幾何的內容、框架和體系. 問題3的設計是引導學生用類比和化歸的思想來解決問題,即讓學生學會用類比平面和空間問題平面化等方法來研究立體幾何問題. 這樣,通過以上問題的提出和解決,實現(xiàn)了“為什么學、學什么和怎么學”的宏觀引領.

        2. 創(chuàng)設情境,直觀感知

        《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》要求普通高中數(shù)學課程要以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向,創(chuàng)設合適的教學情境為學生的可持續(xù)發(fā)展和終身學習創(chuàng)造條件. 所創(chuàng)設的問題情境要能產生認知沖突,要能蘊含數(shù)學的本質,要能激發(fā)學生求知的欲望,要能體現(xiàn)數(shù)學新、舊知識之間的聯(lián)系.

        師:既然有許多問題用已有的平面幾何知識無法解決,那么就讓我們一起沖出平面,走向空間,來欣賞一組精美的圖片.

        教師投影展示上海金茂大廈建筑群、北京水立方、埃及金字塔、神舟五號發(fā)射塔、家居的設計圖等,讓學生感受數(shù)學的簡潔之美、對稱之美、和諧之美和奇異之美,思考其中蘊含的豐富的幾何體.

        問題4:能否畫出一些簡單的空間圖形?

        師:以上圖片中的建筑物蘊含了豐富的幾何體,有的復雜,有的簡單. 本節(jié)課我們就先從抽象出來的部分簡單的幾何體開始吧.

        問題5:如圖3,你能將下面的幾何體分類嗎?你對所分類的幾何體有哪些認識?

        生:圖3(1)、圖3(2)、圖3(6)和圖3(8)是一類,圖3(3)、圖3(5)和圖3(7)是一類,圖3(4)和圖3(9)是一類. 它們分別是棱柱、棱錐和棱臺. 棱柱是兩頭一樣大的幾何體,棱錐是棱柱一頭縮成一個點的幾何體,棱臺是棱錐被一個平面截下來的幾何體.

        師:同學們的分類和概括都很好,但是語言過于生活化,沒有把它們的本質特征用數(shù)學語言準確表述出來. 下面,我們就從棱柱、棱錐和棱臺開始研究.

        3. 數(shù)學探究,意義構建

        孔凡哲、史寧中教授認為,教師要幫助學生親身體驗數(shù)學化的過程,并獲得理解性掌握,在獲得過程中提升數(shù)學學科核心素養(yǎng). 通過親身經歷觀察、探究和發(fā)現(xiàn)的過程,可以使學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力得到提高.

        探究1:棱柱性質的“發(fā)現(xiàn)”.

        問題6:觀察棱柱的生成過程(動畫演示),通過獨立思考、小組交流,能否歸納、概括出圖3(1)、圖3(2)、圖3(6)和圖3(8)的共同特征,并用數(shù)學語言給棱柱下個定義?

        生:它們分別由平面四邊形、三角形、五邊形和六邊形沿同一方向平移而得. 通過討論,我們給棱柱下的定義是:由一個平面多邊形沿某一確定的方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱.

        師:非常準確!點動成線,線動成面,面動成體. 我們把平移起止位置的兩個面叫做棱柱的底面,把多邊形的邊平移所形成的面叫做棱柱的側面,把兩個側面的公共邊(或多邊形的頂點平移所形成的線段)叫做側棱. 按底面多邊形來分,棱柱可以分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 棱柱可以記作棱柱[ABC-A1B1C1]、棱柱[ABCD-A1B1C1D1]等.

        問題7:根據(jù)棱柱的生成過程和棱柱的定義,你能概括出棱柱有哪些特點嗎?

        生:棱柱的兩個底面是全等的多邊形且對應邊互相平行,棱柱的側面都是平行四邊形.

        問題8:觀察棱錐和棱臺的生成過程(動畫演示棱柱轉化為棱錐和棱錐轉化為棱臺的過程),通過獨立思考、小組交流,你能用數(shù)學語言給棱錐和棱臺下個定義嗎?

        生:當棱柱的一個底面收縮為一個點時,得到的幾何體叫做棱錐. 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分叫做棱臺.

        探究2:棱錐和棱臺性質的類比“發(fā)現(xiàn)”.

        問題9:你能用同樣的方法研究棱錐和棱臺嗎?類比棱柱的研究方法,以自主探究、合作交流的形式把研究的成果設計成表格,并向全班匯報研究成果.

        【設計意圖】問題的設計不只是為了幫助學生獲得知識和技能,更重要的是為學生創(chuàng)造一個積極、民主、和諧的探究環(huán)境,讓學生親身體驗自主探究、合作交流的過程,讓學生嘗試“說數(shù)學”的思維與表達過程,讓學生收獲成功的喜悅的情感過程,并在這一過程中積累失敗的教訓和成功的經驗,不斷感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、審美價值和育人價值.

        4. 概念辨析,深化理解

        數(shù)學概念的形成、理解和掌握既要經歷建構的過程,又要經歷解構的過程. 建構是抽象概括的過程,而解構是辨析、理解和應用的過程. 通過解構能夠幫助學生更深刻地理解和掌握概念的本質. 解構是知識內化的過程.

        探究3:概念內涵的理解與辨析.

        問題10:如圖4,過[BC]的截面截去長方體的一角,所得的幾何體是不是棱柱?為什么?

        生:根據(jù)棱柱的定義知,以上幾何體是棱柱,只不過底面是[ABB1A1]和[DCC1D1].

        問題11:如圖5所示的幾何體是棱臺嗎?為什么?

        生:圖5(1)是棱臺,圖5(2)不是棱臺,因為圖5(2)的側棱延長后不交于一點,不能還原成棱錐.

        問題12:指出如圖6所示的幾何體的名稱和它們的底面.

        生:圖6(1)是棱錐,底面為[ABCD];圖6(2)是棱柱,各個面都可以作為底面;圖6(3)是棱臺,底面是[ABC]和[A1B1C1];圖6(4)是棱錐,各個面都可以作為底面.

        問題13:能否用轉化的思想和聯(lián)系的觀點談談棱柱、棱錐和棱臺之間是如何相互轉化的?

        【設計意圖】以上問題的設計主要是對棱柱、棱錐和棱臺的概念本質的辨析和理解,通過對數(shù)學概念、性質的探究和辨析能夠讓學生達到掌握數(shù)學基礎知識、訓練數(shù)學基本技能、領悟數(shù)學基本思想、積累基本活動經驗的目的.

        5. 總結反思,拓展延伸

        問題14:本節(jié)課我們研究棱柱、棱錐和棱臺的思維路線圖是什么?

        生:歸納共性→抽象定義→對象分類→符號表示→探究性質→學以致用.

        問題15:借助已有的研究經驗,接下來你還會去研究哪些幾何體?如何去研究?

        生:接下來我們要研究的幾何體應該是圓柱、圓錐、圓臺和球等,研究的思想方法應該是類比和化歸思想.

        問題16:本節(jié)課你有哪些收獲?你能提出一些有價值的問題嗎?

        【設計意圖】通過學生總結、教師點睛深化認識,讓學生體會在立體幾何的學習過程中能夠規(guī)劃研究問題的方案,能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題,能夠進行思維與表達、交流與反思,能夠在感悟數(shù)學思想的基礎上積累基本活動經驗. 這些都有利于學生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng).

        三、關于單元設計的教學思考

        以考試為目的,以灌輸為手段,以題型(套公式)訓練為方法,這些都嚴重束縛了師生的教學行為,損害了學生的問題意識,限制了學生的全面發(fā)展. 實際上,學生能力的發(fā)展和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開好問題的驅動、自主探究的體驗、合作后的交流和教師恰當?shù)膯l(fā).

        1. 創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境,激發(fā)數(shù)學探究欲望

        荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾說過,數(shù)學學習是一種活動,這種活動像游泳、騎自行車一樣,不經過親身經歷,僅僅通過看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的. 因此,在數(shù)學教學中,教師要精心設計真實有趣的問題情境,給學生充足的時間和空間展開探究活動,讓學生開展理性思考,幫助學生從不同的視角獲取信息,使學生的思維得到有效的啟發(fā)和鍛煉,在情境和活動中激發(fā)興趣,建構起自己對數(shù)學的認識和理解.

        問題是數(shù)學的心臟,是數(shù)學活動和數(shù)學探究的出發(fā)點和原動力,好問題能夠激發(fā)學生數(shù)學探究的欲望. 好問題的呈現(xiàn)需要情境的創(chuàng)設,情境的創(chuàng)設可以來自現(xiàn)實情境,也可以是數(shù)學情境和科學情境. 好的問題情境有助于激發(fā)學生的探究欲望;有助于促進學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,經歷數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程;有助于學生了解知識的來龍去脈. 問題情境應該使學生感興趣并具有一定的挑戰(zhàn)性,應與學生所學數(shù)學內容有著本質的聯(lián)系,等等.

        2. 開展數(shù)學探究活動,積累基本活動經驗

        建構主義學習觀認為,知識并不是簡單地由教師或其他人傳授給學生,而只能由學生依據(jù)自身已有的知識、經驗,主動加以建構. 學習活動,是學生認知框架的不斷變革或重組,是新的學習活動與原有認知結構相互作用的直接結果,也就是說,學生是學習的主體,任何一種學習方式都必須以學生的自主學習為基礎,讓學生親身體驗面對一個新問題時應如何探索和研究. 科學的學習方式必須以學生的主體參與為前提,以促進學生的全面發(fā)展為核心,以促使學生積累數(shù)學活動經驗為手段,以提高學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目標.

        數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題,運用數(shù)學知識、思想和方法等開展自主探究、合作研究,并最終解決數(shù)學問題的過程. 具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題,猜測合理的數(shù)學結論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結論. 數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動,也是高中階段數(shù)學課程的重要內容. 教師在教學中還要善于運用現(xiàn)代技術工具為學生創(chuàng)造出更加豐富多彩、人機交互、及時反饋、快捷高效的學習環(huán)境,使學生在這一環(huán)境中能更加生動、自主地學習,進而積累多樣化的數(shù)學活動經驗,創(chuàng)造性地解決一些有意義、有價值的問題.

        3. 把握合適啟發(fā)時機,教會學生怎么學

        教之道在于度,學之道在于悟. 課堂教學是教與學的雙邊活動. 教的秘訣在于適度,度就是恰到好處,就是能在恰當?shù)臅r間和節(jié)點給予學生恰當?shù)膯l(fā)和幫助;學的真諦在于悟,悟是學生的獨立思考,是用心感悟,是自主構建,是反思提升,是高效的學習方法. 在數(shù)學教學過程中,教師對度的精準把握,能夠幫助學生在獲得必要的基礎知識和基本技能、感悟數(shù)學基本思想、不斷積累數(shù)學基本活動經驗的過程中,逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,發(fā)展數(shù)學應用意識及創(chuàng)新意識,樹立科學態(tài)度和科學精神,促進學生學會學習.

        美國著名教育家杜威曾指出,教育是在經驗中、由于經驗和為著經驗的一種發(fā)展過程. 教育的理念與視野決定了教育的品位與高度. 只有立足于以學生的全面發(fā)展為本,轉變陳舊、落后的教育觀念,創(chuàng)設符合學生認知特點、有思考價值和挑戰(zhàn)性的問題,營造寬松、和諧、積極、民主的探究環(huán)境,組織興趣盎然的探究交流活動,才能真正實現(xiàn)積累基本活動經驗、培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目標.

        參考文獻:

        [1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2018.

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        [5]胡浩.“平面”教學設計的理性突圍:兼談原始概念的教學[J]. 數(shù)學通報,2019,58(1):16-18,26.

        [6]朱永廠. 讓思維在探究中升華:以2018年江蘇高考第13題為例[J]. 中學數(shù)學月刊,2018(11):49-51,65.

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