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        基于建構(gòu)主義的數(shù)列裂項(xiàng)求和探析

        2022-05-07 03:15:00廣東王翠娜
        關(guān)鍵詞:建構(gòu)主義建構(gòu)教師

        廣東 王翠娜

        數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.在人教A版新教材中,數(shù)列由原來(lái)的必修變?yōu)檫x擇性必修,難度有增加的趨勢(shì),全國(guó)各地的高考模擬題也對(duì)數(shù)列的考查加大了難度.高三的復(fù)習(xí)課對(duì)數(shù)列結(jié)構(gòu)中的規(guī)律性的探究顯得越來(lái)越重要.教材中研究了兩種基本的數(shù)列:等差數(shù)列和等比數(shù)列.等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有求和公式,對(duì)于非等差、非等比數(shù)列的求和問(wèn)題,沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的求和公式可以用,只能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本數(shù)列或者通過(guò)正負(fù)相消來(lái)求和.基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的數(shù)列裂項(xiàng)相消求和法就是一種解決非等差、等比數(shù)列求和的重要方法.本文通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng),引領(lǐng)學(xué)生逐步建立裂項(xiàng)求和的知識(shí)結(jié)構(gòu),從而達(dá)成從知識(shí)結(jié)構(gòu)到知識(shí)應(yīng)用的深度學(xué)習(xí).

        一、理論基礎(chǔ)

        (一)建構(gòu)主義的理論

        皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為知識(shí)是“個(gè)體在與環(huán)境交互作用的過(guò)程中逐漸建構(gòu)的結(jié)果”.學(xué)習(xí)是“主體內(nèi)部的邏輯構(gòu)造”,學(xué)習(xí)“是一種能動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程”“在原有圖式的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認(rèn)知圖式”.在他看來(lái),知識(shí)的習(xí)得是學(xué)生主動(dòng)探索、主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程,而不是被動(dòng)接受.“學(xué)生掌握解決問(wèn)題的程序和方法,比掌握知識(shí)內(nèi)容更重要”.皮亞杰建構(gòu)主義認(rèn)識(shí)論的最實(shí)質(zhì)性的方面——認(rèn)識(shí)的螺旋.人的認(rèn)識(shí)是一個(gè)螺旋上升的過(guò)程,呈一個(gè)倒置的圓錐的形狀,而且螺旋是開(kāi)放的,它的開(kāi)口越來(lái)越大.人的認(rèn)識(shí)是一個(gè)永遠(yuǎn)向前伸展的、連續(xù)的、螺旋上升的過(guò)程.

        (二)最近發(fā)展區(qū)理論

        “最近發(fā)展區(qū)”理論的基本內(nèi)涵:蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基認(rèn)為:學(xué)生的發(fā)展存在兩種水平:一是現(xiàn)有水平,二是潛在水平,兩種水平之間的距離稱為“最近發(fā)展區(qū)”.教學(xué)是由潛在水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有水平,并不斷創(chuàng)造新的發(fā)展區(qū)的過(guò)程.

        本節(jié)裂項(xiàng)求和的教學(xué)就是由教師創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境,以基于最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題為驅(qū)動(dòng),通過(guò)學(xué)生的小組合作、主動(dòng)探索,進(jìn)行有意義的知識(shí)和能力的建構(gòu)過(guò)程.

        二、教學(xué)片段摘錄

        裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的式子的代數(shù)和的形式,然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng),從而可以求和的方法.

        教學(xué)片段1:創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境,引出裂項(xiàng)求和

        (Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;

        答案:an=2n+1

        師:第(2)問(wèn)用什么方法求和呢?

        生:可以采用裂項(xiàng)相消法.

        師:同學(xué)們裂項(xiàng)看看,通項(xiàng)的式子裂開(kāi)后是什么樣子的?

        師:這兩種形式哪個(gè)正確呢?為什么?

        生:第二個(gè)正確,因?yàn)橥ǚ种蠛驮瓉?lái)相等.

        師:那你一開(kāi)始是怎么知道要裂成這種形式的呢?

        師:通過(guò)這三個(gè)例子,你發(fā)現(xiàn)了什么?有什么規(guī)律嗎?

        學(xué)生開(kāi)始沉默了.教師及時(shí)實(shí)施小組討論的策略開(kāi)始小組討論.

        評(píng)析:此題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引出裂項(xiàng)求和.結(jié)合學(xué)生的回答引出裂項(xiàng)求和的原理是利用了分式的性質(zhì),通分還原和原來(lái)相等或者直接用待定系數(shù)法確定系數(shù).

        學(xué)生恍然大悟,原來(lái)是通過(guò)通分對(duì)比相應(yīng)系數(shù)相等得到的.教師進(jìn)一步追問(wèn):

        師:裂項(xiàng)相消法適用于那種類(lèi)型的數(shù)列呢?哪種結(jié)構(gòu)?

        師:只有這種形式嗎?只能相鄰不能間隔嗎?

        師:總結(jié)的非常好,還要特別注意分母有什么特征?分母是兩項(xiàng)乘積的形式.

        生:第一個(gè)可以直接相消,第二個(gè)不行,要間隔兩項(xiàng)才能相消.

        教師進(jìn)一步追問(wèn):

        師:為什么呢?所以我們?cè)诹秧?xiàng)時(shí)要注意什么問(wèn)題?

        生:因?yàn)橥?xiàng)公式一個(gè)是相鄰的兩項(xiàng),一個(gè)是間隔開(kāi)的兩項(xiàng),要多裂幾項(xiàng)找規(guī)律,最好列出前三項(xiàng)和后三項(xiàng).

        師:對(duì)比前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)你有什么發(fā)現(xiàn)?

        生:好像是對(duì)稱的,前面剩第幾項(xiàng)后面就對(duì)稱的剩第幾項(xiàng).

        評(píng)析:通過(guò)這一道題,以基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)積極地建構(gòu)裂項(xiàng)相消的相關(guān)知識(shí),使學(xué)生基本都掌握了常見(jiàn)的裂項(xiàng)類(lèi)型和裂項(xiàng)求和需要注意的問(wèn)題.

        教學(xué)片段2:引申拓展,合作探究

        教師拋出問(wèn)題:

        【例2】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,S5=30,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且Tn=2n-1.

        (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.

        答案:an=2n;bn=2n-1

        學(xué)生有些困惑,經(jīng)過(guò)小組討論交流后,有同學(xué)舉起了手.

        生:和例1不同的是這個(gè)題是指數(shù)型的,例1的分母是一次函數(shù)型的等差數(shù)列相乘,分子是常數(shù).相同的地方是分母都是兩項(xiàng)的乘積,結(jié)構(gòu)相似,可以考慮裂項(xiàng)相消.

        師:非常好!請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試.

        學(xué)生把分母裂開(kāi),通分驗(yàn)算,發(fā)現(xiàn)左右兩邊相等,喜出望外.

        師:你能用剛才講的待定系數(shù)法直接裂開(kāi)嗎?試一試.

        小組合作探究1:設(shè)

        最后派代表上講臺(tái)投影.

        師:本題中通項(xiàng)cn的分子不是常數(shù),這個(gè)2n-1是怎么來(lái)的呢?

        生:是分母通分之后相減的結(jié)果.

        師:很好,我如果把通項(xiàng)cn換成

        生:一樣的方法.

        師:請(qǐng)同學(xué)們把這兩個(gè)通項(xiàng)分別求和,看看過(guò)程和結(jié)果一樣嗎?

        生:不一樣,一個(gè)可以連續(xù)相消,一個(gè)要間隔兩項(xiàng)才能相消.

        師:和剛才的例1一樣,一個(gè)分母是相鄰的兩項(xiàng),一個(gè)是間隔開(kāi)的兩項(xiàng).

        師:同學(xué)們總結(jié)的非常到位,除此之外你能將這題的通項(xiàng)概括出一般形式嗎?

        師:太強(qiáng)了!指數(shù)型的我們會(huì)了,請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)研究下面的問(wèn)題;

        (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

        答案:an=2n

        生:是剛才例1的平方,分子上多了n+1,分母也是兩項(xiàng)乘積的形式,可以試試裂項(xiàng).

        小組合作交流2:

        師:分子的n+1實(shí)際上是分母通分運(yùn)算的結(jié)果.你能從bn的結(jié)構(gòu)特征概括出一般情形嗎?

        評(píng)析:例2和例3是例1的變式,難度提升,根據(jù)學(xué)習(xí)是“在原有圖式的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認(rèn)知圖式”的建構(gòu)主義理論,筆者沒(méi)有放棄任何啟發(fā)誘導(dǎo)的機(jī)會(huì),以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式,層層推進(jìn),螺旋上升,通過(guò)類(lèi)比模仿,使學(xué)生基本掌握了待定系數(shù)法裂項(xiàng)的本質(zhì).

        教學(xué)片段3:綜合應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)建構(gòu)能力

        師:除了上面的三種類(lèi)型外,請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏聪旅娴膯?wèn)題:

        (1)求{an}的通項(xiàng)公式;

        答案an=n

        學(xué)生,保持沉默.教師繼續(xù)及時(shí)開(kāi)展小組討論活動(dòng).聰明的同學(xué)觀察到分母是乘積的形式,嘗試開(kāi)始裂項(xiàng).

        師:有沒(méi)有同學(xué)看出端倪?分母三項(xiàng)的乘積是怎么來(lái)的?

        生:應(yīng)該是通分相乘化來(lái)的.

        師:那你能裂出原來(lái)的兩個(gè)分式嗎?注意分裂的式子結(jié)構(gòu)要相同.

        師:聰明,說(shuō)得太好了!最根本的還是利用了前面建構(gòu)的待定系數(shù)法.根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征,分母的三項(xiàng)相乘實(shí)際上是兩分式的分母的最小公倍數(shù),所以裂開(kāi)時(shí)要裂成結(jié)構(gòu)相同的兩項(xiàng),才能正負(fù)抵消.分子依然是分母通分運(yùn)算的結(jié)果.這里2n在分母上,如果將2n放到分子上又如何求和呢?請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究下面的問(wèn)題.

        【例5】設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.

        (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

        答案:bn=n

        (2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n(n∈N*),(i)求Tn;

        答案:Tn=2n+1-n-2

        師:請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下前面的五種類(lèi)型有什么共同特征呢?都是什么結(jié)構(gòu)的裂項(xiàng)求和?可以歸納一下嗎?大家回顧一下,小組的同學(xué)互相交流一下.

        經(jīng)過(guò)交流之后,有同學(xué)得出了答案.

        師:那分子上不是常數(shù)1的呢?也能這樣裂項(xiàng)嗎?

        生:可以采用待定系數(shù)法,分子實(shí)質(zhì)上是分母通分運(yùn)算的結(jié)果.

        【例6】已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,a1=1,且a1+2,2a2,a3+7成等比數(shù)列.

        (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

        答案:an=2n-1(n∈N*)

        師:注意到我們一開(kāi)始說(shuō)的裂項(xiàng)求和的定義,是將數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的式子的代數(shù)和的形式,實(shí)際上也是兩項(xiàng)的和,大家再看看這個(gè)題,轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)的和是什么呢?

        學(xué)生恍然大悟,都怪自己受思維定勢(shì)的影響,一直想著轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)的差.我繼續(xù)追問(wèn):

        師:為什么這題要轉(zhuǎn)化成兩項(xiàng)的和呢?為什么轉(zhuǎn)化為和卻可以正負(fù)相消呢?

        生:因?yàn)榍懊嬗袀€(gè)(-1)n,加上n的奇偶性,就可以轉(zhuǎn)化為差了.

        師:所以同學(xué)們要注意多觀察題目的特點(diǎn),要注意裂項(xiàng)求和形式的多樣性.那么正確地解答本題的步驟應(yīng)該是怎樣的?

        生:要分n的奇偶性分類(lèi)討論.

        學(xué)生做完以后,找同學(xué)黑板投影,

        評(píng)析:最后讓學(xué)生回顧了今天所學(xué)內(nèi)容,裂項(xiàng)求和有哪些類(lèi)型?裂項(xiàng)的本質(zhì)特征是什么?布置學(xué)生課后歸納整理.第二天學(xué)生交出了如下總結(jié):

        裂項(xiàng)相消的類(lèi)型:

        常見(jiàn)裂項(xiàng)技巧:

        三、基于建構(gòu)主義的裂項(xiàng)求和

        這兩節(jié)課中,學(xué)生經(jīng)歷了讀懂結(jié)構(gòu)體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程;精做練習(xí),經(jīng)歷了知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用過(guò)程;歸納總結(jié),感悟知識(shí)點(diǎn)的提煉過(guò)程.教師的問(wèn)題驅(qū)動(dòng),追問(wèn)啟發(fā),學(xué)生的親身實(shí)踐,大大提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,從而進(jìn)一步提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

        四、基于建構(gòu)主義的數(shù)列裂項(xiàng)求和對(duì)教師教學(xué)的啟示

        新課標(biāo)新高考如何建構(gòu)新教學(xué)?崔允漷教授指出,新目標(biāo)就是學(xué)生“在什么情境下運(yùn)用什么知識(shí)能做什么事(關(guān)鍵能力),是否持續(xù)地做事(必備品格),是否正確地做成事(價(jià)值觀念)”.做事是新目標(biāo)的宗旨,是新教學(xué)的關(guān)鍵,是新評(píng)價(jià)的焦點(diǎn),是素養(yǎng)推論的直接依據(jù).

        1.精讀教材,基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行學(xué)科整體教學(xué)設(shè)計(jì),單元教學(xué)設(shè)計(jì)和具體課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì),層層推進(jìn),螺旋上升,突出系統(tǒng)建構(gòu)和解決問(wèn)題.新教材加強(qiáng)了知識(shí)間的系統(tǒng)性、邏輯性和聯(lián)系性,所以教師在備課時(shí)要整體規(guī)劃,注重知識(shí)之間邏輯性的教學(xué),加強(qiáng)概念原理的生成性教學(xué),以深度教學(xué)實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).從一節(jié)課到一個(gè)主題,從一節(jié)內(nèi)容到一章內(nèi)容,整體把握教材內(nèi)容,把握數(shù)學(xué)本質(zhì),引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

        2.聚焦課堂教學(xué)關(guān)鍵,精心備課,精誠(chéng)參與,從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),引領(lǐng)學(xué)生積極主動(dòng)地自主學(xué)習(xí),自主建構(gòu)新知識(shí),幫助學(xué)生將碎片化的知識(shí)結(jié)構(gòu)化,一步步接近問(wèn)題的本質(zhì),從課堂解題轉(zhuǎn)向解決問(wèn)題.不斷地通過(guò)問(wèn)題解決培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),打通數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的最后一公里.

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