周群益

（廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540）

鐘 錚

（贛州市第一中學(xué) 江西 贛州 341000）

莫云飛

（長(zhǎng)沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410022）

侯兆陽(yáng)

（長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710064）

1 引言

對(duì)于均勻帶電圓形薄板，為了計(jì)算軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度，許多教材根據(jù)電勢(shì)疊加原理首先推導(dǎo)出電勢(shì)公式［1～4］

其中，σ是電荷的面密度，ε0是真空介電常數(shù)，R是圓板的半徑，x是過(guò)中心垂直于盤面的軸線上場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo).再利用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系推導(dǎo)電場(chǎng)強(qiáng)度

也有教材和習(xí)題解答直接利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理推導(dǎo)上式［1～5］.不過(guò)，這些公式只適合于x＞0的情況.本文利用電勢(shì)疊加原理計(jì)算軸線上的電勢(shì)，再利用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系重新建立了軸線上的場(chǎng)強(qiáng)公式，用圖形說(shuō)明了電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的分布規(guī)律.

人們通常將一對(duì)半徑相等共軸帶均勻異號(hào)電荷的薄圓板當(dāng)作平行板電容器，這并不正確，因?yàn)榫鶆驇щ妶A板并不是導(dǎo)體.本文專門研究了均勻帶正負(fù)電荷的共軸圓板在軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度，發(fā)現(xiàn)軸線上的電場(chǎng)并不均勻，中間是極小值，用圖形直觀地顯示電場(chǎng)的分布規(guī)律.文本提出了均勻系數(shù)的概念，衡量電場(chǎng)的均勻程度.用圖形說(shuō)明了均勻系數(shù)與兩板之間距離的關(guān)系.

2 均勻帶電薄圓板在軸線上產(chǎn)生的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

均勻帶電薄圓板如圖1所示，其半徑為R，電荷的面密度為σ（σ＞0）.

圖1 均勻帶電薄圓板在軸線上產(chǎn)生的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

在半徑為ρ處取寬為dρ的一個(gè)圓環(huán)，其面積為

所帶電荷量為

環(huán)電荷到軸線上的場(chǎng)點(diǎn)P的距離為

dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為

其中，k是靜電力恒量.取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，利用湊積分法，點(diǎn)P的電勢(shì)為

式（5）與式（1）相比，式（5）中出現(xiàn)了絕對(duì)值函數(shù).

符號(hào)函數(shù)定義為

利用絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式，場(chǎng)強(qiáng)為

式（9）與式（2）相比，式（9）中多了絕對(duì)值函數(shù)和符號(hào)函數(shù).筆者曾在文獻(xiàn)［6］中利用絕對(duì)值函數(shù)表示電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng).在此，對(duì)薄圓板軸線上的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)討論如下：

（1）當(dāng)R→+∞時(shí)，圓板變成無(wú)限大平板，在板兩邊產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

可見(jiàn)：均勻帶電圓形薄板在遠(yuǎn)處的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)接近于點(diǎn)電荷的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng).

（3）當(dāng)x=0時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)為E（0）=0，這是因?yàn)閳A板內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為零.當(dāng)x→0+時(shí)，sgnx→1，可得圓板正面的場(chǎng)強(qiáng)

當(dāng)x→0-時(shí)，sgnx→-1，可得反面的場(chǎng)強(qiáng)

可見(jiàn)：圓板表面的場(chǎng)強(qiáng)等于無(wú)限大均勻帶電平面在空間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)（忽略圓板厚度）.

3 場(chǎng)強(qiáng)的無(wú)量綱化和可視化

取R為坐標(biāo)單位，取U0=2πkσR=為電勢(shì)單位，則軸線上無(wú)量綱的電勢(shì)為

點(diǎn)電荷的無(wú)量綱電勢(shì)為

點(diǎn)電荷的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)為

利用M ATLAB的函數(shù)很容易計(jì)算電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度，利用作圖指令plot可畫(huà)出函數(shù)曲線.

如圖2（a）所示，均勻帶電圓形薄板在軸線上的電勢(shì)U（x）是偶對(duì)稱曲線，在x=0處是一個(gè)尖點(diǎn)；當(dāng)很大時(shí)，其電勢(shì)接近于點(diǎn)電荷的電勢(shì).如圖2（b）所示，均勻帶電圓形薄板在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)E（x）是奇對(duì)稱曲線，在x=0處是一個(gè)間斷點(diǎn)：E（0+）=E0，E（0-）=-E0，這是薄板兩個(gè)表面的場(chǎng)強(qiáng).由于U（x）在x=0處是一個(gè)尖點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)并不存在，E（0）=0是補(bǔ)充值，表示薄板內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng).當(dāng)很大時(shí)，圓形薄板的場(chǎng)強(qiáng)接近于點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng).

圖2 均勻帶電圓板在軸線上的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

4 均勻等量異號(hào)帶電圓板共軸線上的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

如圖3所示，兩個(gè)圓形薄板共軸，分別帶有面電荷密度為σ的正負(fù)電荷，組成一對(duì)均勻帶等量異號(hào)電荷的薄圓板.設(shè)兩板相距為2d（d稱為半距），取x軸為橫軸，則軸線上點(diǎn)P的電勢(shì)是兩個(gè)圓形薄板電荷產(chǎn)生的電勢(shì)之和

圖3 均勻等量異號(hào)帶電圓板共軸線上的場(chǎng)強(qiáng)

點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度是兩個(gè)圓形薄板電荷產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的疊加，由于軸線上的場(chǎng)強(qiáng)均沿x軸方向，則總場(chǎng)強(qiáng)

一個(gè)均勻帶電圓形薄板的場(chǎng)強(qiáng)E（x）對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為

所以EC（0）在x=0處是駐點(diǎn).E（x）對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)為

所以EC（x）在x=0處是極小值，說(shuō)明中心附近的場(chǎng)強(qiáng)并不是均勻的.

在右板的左表面，x=d-，場(chǎng)強(qiáng)為

在左板的右表面，x=-d+，場(chǎng)強(qiáng)為EC（-d+）=EC（d-），即：圓形薄板內(nèi)表面的場(chǎng)強(qiáng)相等.當(dāng)d→0時(shí)，EC（d-）→4πkσ.

EC（d-）或EC（-d+）與EC（0）之差反映軸線上電場(chǎng)的均勻特性，因此可定義無(wú)量綱的均勻系數(shù)

將式（21）和式（26）代入上式，可得

均勻系數(shù)K取決于半距d.K越大，表示場(chǎng)強(qiáng)越不均勻.

5 均勻等量異號(hào)帶電圓板共軸線上場(chǎng)強(qiáng)的可視化

取R為坐標(biāo)單位，取U0為電勢(shì)單位，取E0為場(chǎng)強(qiáng)單位，可以把電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)公式無(wú)量綱化，也可以將中心和內(nèi)邊緣的電場(chǎng)無(wú)量綱化.通過(guò)圖形可以顯示場(chǎng)強(qiáng)疊加的結(jié)果和均勻系數(shù)隨距離的變化規(guī)律.

如圖4（a）所示，取圓形薄板的半距d=0.2R（大小可以根據(jù)需要選取），盡管U+（x）和U-（x）是非奇非偶函數(shù)，但是其和UC（x）是奇函數(shù)曲線，尖點(diǎn)在x=±d處，兩板之間UC（x）曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，幾乎直線下降.如圖4（b）所示，盡管E+（x）和E-（x）是非奇非偶函數(shù)，但是其和EC（x）是偶函數(shù)曲線，跳躍點(diǎn)在x=±d處；兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)EC（x）比較平，在x=0處處微微下凹，是極小值；兩板之外的場(chǎng)強(qiáng)比較小，方向與板內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)的方向相反.當(dāng)半距d不同時(shí)，合電勢(shì)UC（x）與合場(chǎng)強(qiáng)EC（x）曲線會(huì)發(fā)生一些改變，但是大體形狀不變（圖略）.

圖4 均勻等量異號(hào)帶電圓板共軸線上的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

半距d取0.1R到0.25R的值，間隔為0.05R，如圖5（a）所示，不論兩板之間的距離如何，兩板之內(nèi)的電勢(shì)UC（x）都是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的單調(diào)下降的曲線，接近于直線；當(dāng)d不同時(shí)，“直線”的斜率稍有不同.如圖5（b）所示，兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)EC（x）在x=0是極小值；兩板距離越小，板內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)EC（x）就越大，也越均勻，板外的場(chǎng)強(qiáng)就越小.當(dāng)d=0.1R時(shí)，板內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)線又高又平；當(dāng)d=0.25R時(shí)，板內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)線明顯變低且下凹，連中垂線上都不是勻強(qiáng)電場(chǎng)，其他地方就更不是勻強(qiáng)電場(chǎng)了.

圖5 不同距離d的軸線上的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

由式（28）可得軸線上場(chǎng)強(qiáng)均勻系數(shù)K隨兩板距離d的關(guān)系如圖6所示.

圖6 軸線上的場(chǎng)強(qiáng)及場(chǎng)強(qiáng)的均勻系數(shù)和分界點(diǎn)

由圖6可知，中心的場(chǎng)強(qiáng)EC（0）和內(nèi)邊緣的場(chǎng)強(qiáng)EC（d-）或EC（-d+）都隨著半距d的增加而減小，均勻系數(shù)K隨著半距d的增加而增加.當(dāng)K=1%=0.01時(shí)，利用M ATLAB可以計(jì)算d=0.153 7R.在圖5中，當(dāng)d=0.1R時(shí)，K=0.29%，所以板內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)曲線十分水平；當(dāng)d=0.2R時(shí)，K=2.08%，所以板內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)曲線略顯下凹.可見(jiàn)只有當(dāng)兩板距離很小時(shí)，均勻帶電圓形薄板兩板之間在軸線上的電場(chǎng)才能當(dāng)作勻強(qiáng)電場(chǎng)，d=0.153 7R是1%均勻性的分界點(diǎn).

6 結(jié)束語(yǔ)

利用M ATLAB可以幫助我們學(xué)習(xí)和研究電學(xué)問(wèn)題.檢驗(yàn)公式是否正確的一種簡(jiǎn)單方法就是畫(huà)出曲線.通過(guò)曲線，發(fā)現(xiàn)式（1）和式（2）只在x＞0的區(qū)間才成立.通過(guò)慎密演算，就能得到在全部區(qū)間都成立的公式.

均勻帶電圓形共軸薄板在軸線上的電場(chǎng)是一個(gè)典型問(wèn)題，比較容易計(jì)算，可是，即使在軸線的電場(chǎng)也不是均勻的.電場(chǎng)的均勻性并不是指某一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)值，而是指電場(chǎng)大小的分布范圍.用均勻系數(shù)可以衡量電場(chǎng)的均勻性.均勻帶電的平行薄板在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)也可以用同樣的方法研究其軸線上的均勻性.