郝建強(qiáng)，李瑩，王棟

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 聊城 252059)

0 引言

四元數(shù)的概念于1843年由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓提出,如今更是被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)。侯培國(guó)等[1]提出了一種基于四元數(shù)最少特征點(diǎn)的相機(jī)位姿估計(jì)算法。陳柯勛等[2]利用四元數(shù)法分別構(gòu)造姿態(tài)矩陣、速度矩陣及位置矩陣,通過解算四元數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程求出飛行器的姿態(tài)角和位置。李國(guó)進(jìn)等[3]用單位四元數(shù)表示世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣從而減少了需要標(biāo)定的參數(shù)。周珂等[4]利用四元數(shù)矩陣提出了一種無參考模糊彩色圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)算法。Hankel矩陣在許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。陸全等[5]利用線性方程組是否有解給出了Hankel矩陣可逆的條件及求逆的遞推公式,并給出了逆矩陣新的表達(dá)式。魯玲等[6]研究了塊Hankel矩陣的快速SVD分解算法在地震信號(hào)處理中的應(yīng)用。

近年來，矩陣半張量積作為一個(gè)便捷的新工具發(fā)展迅速。它由程代展教授提出,是矩陣乘法的拓展。張量積在布爾網(wǎng)絡(luò)的分析與控制中得到了發(fā)展，在一些數(shù)學(xué)或物理問題的理論分析中也得到若干有意義的應(yīng)用[7]。目前,以矩陣半張量積為工具,代數(shù)狀態(tài)空間表示為方法,發(fā)展起來的邏輯系統(tǒng)控制理論,已經(jīng)成為一個(gè)初具規(guī)模的理論體系。葛美俠等[8]利用矩陣的半張量積方法把網(wǎng)絡(luò)演化博弈表示為離散時(shí)間k-值邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。于永淵等[9]利用矩陣半張量積研究了有序勢(shì)博弈及其在智能體無線網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，解決了布爾網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器和輸出反饋鎮(zhèn)定問題[10-11]。

基于文獻(xiàn)[12]中提出的四元數(shù)矩陣的乘積可以利用矩陣半張量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,本文將利用矩陣半張量積研究四元數(shù)線性系統(tǒng)的計(jì)算問題。

本文研究的具體問題如下:

針對(duì)該問題,本文應(yīng)用矩陣半張量積進(jìn)行求解。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要介紹四元數(shù)、矩陣半張量積的有關(guān)概念和性質(zhì)。

定義1[13]四元數(shù)x可以表示為x=x1+x2i+x3j+x4k,其中xi∈R(i=1,2,3,4),i、j、k為虛部單位，滿足

i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j。

顯然,四元數(shù)乘積不滿足交換律,因此,四元數(shù)的乘積運(yùn)算十分復(fù)雜。

定義2[14]對(duì)于n階矩陣A=(aij)∈Rm×n,若A的元素滿足aij=ai-1,j+1(i,j=1,2,…,n),則稱A為Hankel矩陣,記作H(a1,a2,…,a2n-1)。

定義3[15]設(shè)A=(aij)∈Rm×n,B=(bij)∈Rp×q,A與B的Kronecker記作A?B,定義為

定義4[16]設(shè)A∈Rm×n,B∈Rp×q,A和B的半張量積定義為

(1)

式中,t=lcm(n,p)是n和p的最小公倍數(shù),當(dāng)n=p時(shí),矩陣A和B的半張量積變?yōu)榻?jīng)典矩陣乘法，因此,半張量積是經(jīng)典矩陣乘法的一個(gè)推廣。下面介紹矩陣半張量積的基本性質(zhì)。

引理1[16]令x∈Rm,y∈Rn,則x∝y=x?y。

換位矩陣的作用是交換乘積中兩個(gè)向量因子的順序。

引理2[15]設(shè)x∈Rm,y∈Rn則W[m,n]∝x∝y=y∝x。

被稱為F的結(jié)構(gòu)矩陣。下面介紹矩陣和向量的偽交換性。

引理3[17]設(shè)x∈Rt，A為任意實(shí)矩陣,則x∝A=(It?A)∝x。

引理4[18]設(shè)A∈Rm×n,b∈Rm,Ax=b的最小二乘解可以表示為x=A+b+(I-A+A)y,y為任意n維向量,其極小范數(shù)最小二乘解為x=A+b。當(dāng)且僅當(dāng)AA+b=b時(shí)，Ax=b有解,通解表達(dá)式為x=A+b+(I-A+A)y。

2 四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示及其性質(zhì)

本節(jié)提出四元數(shù)矩陣的一種實(shí)向量表示,并研究其部分性質(zhì)。

定義6[12]設(shè)x=x1+x2i+x3j+x4k∈Q,定義VR(x)=(x1,x2,x3,x4)T為x的實(shí)向量表示。利用這種表示,可以將四元數(shù)乘積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量之間的半張量積運(yùn)算,

VR(xy)=MQ∝VR(x)∝VR(y),

(2)

下面定義四元數(shù)向量的實(shí)向量表示。

定義7[12]設(shè)x=(x1,x2,…,xn)∈Qn,y=(y1,y2,…,yn)T∈Qn,稱

VR(x)=(VR(x1),VR(x2),…,VR(xn))T,VR(y)=(VR(y1),VR(y2),…,VR(yn))T,

分別為四元數(shù)行向量x和四元數(shù)列向量y的實(shí)向量表示。

利用四元數(shù)向量的實(shí)向量表示,可以定義四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示。

定義8[12]設(shè)A∈Qm×n,記colj(A)為A的第j列(1≤j≤n),rowi(A)為A的第i行(1≤i≤m)，稱

分別為四元數(shù)矩陣A的行實(shí)向量表示和列實(shí)向量表示。下面介紹四元數(shù)向量和四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示的相關(guān)性質(zhì)。

②VR(αx)=αVR(x)；

證明①,②顯然成立,下證③。根據(jù)①、②,可得

VR(xy)=VR(x1y1+x2y2+…+xnyn)=VR(x1y1)+VR(x2y2)+…+VR(xnyn)=

MQ∝[VR(x1)∝VR(y1)+…+VR(xn)∝VR(yn)]=

證明①、②、③易得。下面證明④

3 四元數(shù)線性系統(tǒng)Ax=b的解

本節(jié)將根據(jù)Hankel矩陣元素的特性,提取其獨(dú)立元素以簡(jiǎn)化運(yùn)算。利用矩陣半張量積及四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示給出四元數(shù)線性系統(tǒng)Ax=b最小二乘解的表達(dá)式及有解的條件。

設(shè)B=(bij)∈Rm×n,記bi=(b1i,b2i,b3i,…,bmi)(i=1,2,3,…,n)，令Vec(B)=(b1,b2,…,bn)T。

式中：

由引理5可類比得下面提取Hankel四元數(shù)矩陣的獨(dú)立元素的定理。

則得

4 數(shù)值算例

本節(jié)將給出數(shù)值算法,并將此算法得到的數(shù)值解與精確解作比較,以驗(yàn)證本文所提方法的有效性。

4.1 算法

③根據(jù)式(1)計(jì)算極小范數(shù)最小二乘解xM。

4.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例2取不同規(guī)模下四元數(shù)線性系統(tǒng)Ax=b,分別用實(shí)表示[20]、復(fù)表示[21]和實(shí)向量表示方法進(jìn)行誤差比較,共進(jìn)行k次,統(tǒng)計(jì)其中最優(yōu)次數(shù),取k=30。3種方法的最優(yōu)次數(shù)如圖2所示。

圖1 誤差

圖2 不同規(guī)模下3種方法的最優(yōu)次數(shù)Fig.2 Optimal times of three methods on different scales

從圖1中看出,當(dāng)維數(shù)到達(dá)30時(shí),誤差仍處于10-14數(shù)量級(jí),可見該算法是有效的。由圖2可以看出，在維數(shù)變大時(shí),實(shí)向量表示方法誤差最小的概率會(huì)更大。

5 結(jié)語

本文利用矩陣半張量積給出了四元數(shù)線性系統(tǒng)Ax=b的最小二乘解,同時(shí)給出了有解的充要條件,為處理該類型的方程提供了一種有效的新算法。此方法將四元數(shù)實(shí)部和三個(gè)虛部作為一個(gè)整體進(jìn)行排列,充分考慮四元數(shù)Hankel次三對(duì)角矩陣的特殊結(jié)構(gòu),獨(dú)立元素的提取減小了后續(xù)數(shù)值算法的復(fù)雜性。