王金波 吳偉志

粒計算[1-4]是當前人工智能領域中活躍的研究方向之一.它以粒為基本計算單位,強調(diào)對數(shù)據(jù)進行多角度、多層次的分析與處理.目前,學者們已提出較多涉及具體應用背景的粒計算模型與方法.在這些研究中,粗糙集理論[5]對粒計算研究的發(fā)展起到重要作用.

粗糙集理論中的典型數(shù)據(jù)結構稱為信息系統(tǒng)和決策系統(tǒng),又稱信息表和決策表.經(jīng)典粗糙集理論通過信息系統(tǒng)和決策系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)定義等價關系,用等價類描述粒度,進而對信息系統(tǒng)或決策系統(tǒng)進行知識約簡和規(guī)則提取.

由于等價關系這個條件過于嚴格,限制粗糙集理論的應用,因此,一些學者對粗糙集模型進行推廣.一方面,將等價關系推廣為一般的二元關系，得到各種關系下的推廣粗糙集模型[6-8],并用于各種信息系統(tǒng)和決策系統(tǒng)的知識獲取; 另一方面,將等價關系生成的劃分推廣為一般的覆蓋,得到各種覆蓋粗糙集模型,并應用于覆蓋信息(決策)系統(tǒng)的知識獲取[9-14].Zhu等[12]給出論域的單個覆蓋保持集合下近似和上近似不變的約簡方法與近似算子的公理化刻畫.Couso等[13]建立不完備信息系統(tǒng)和覆蓋粗糙集理論之間的聯(lián)系.Yao等[14]在統(tǒng)一框架下研究基于覆蓋的粗糙近似算子.

然而,在傳統(tǒng)的粗糙集數(shù)據(jù)分析中,不論是Pawlak粗糙集及其應用的信息(決策)系統(tǒng),還是覆蓋粗糙集及其應用的信息(決策)系統(tǒng),每個對象在每個屬性下只能取單個尺度的屬性值.但現(xiàn)實生活中人們可能需要在不同的尺度下關于同一對象在同一屬性下對系統(tǒng)進行觀察、分析,因此如何在這樣的數(shù)據(jù)集上發(fā)現(xiàn)知識成為重要問題.

針對這一問題,Wu等[15]提出多尺度決策系統(tǒng)的粗糙集數(shù)據(jù)分析模型,給出這類系統(tǒng)的信息粒表示和多尺度規(guī)則提取方法.Wu等[16]又進一步給出不完備多尺度決策系統(tǒng)的知識獲取方法,這個數(shù)據(jù)處理模型又稱為Wu-Leung模型[17].多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析的主要思想是：根據(jù)決策目標，對每個屬性選擇一個合適的尺度或粒度，構成一個新的單尺度信息系統(tǒng),然后在保持相同目標約束的前提下進行屬性約簡(特征選擇)、決策規(guī)則提取及不確定性分析.因此,保持某種性質(可以是定性的也可以是定量的)不變意義下選擇最粗的尺度標記(稱為最優(yōu)尺度選擇或最優(yōu)粒度選擇)成為多尺度決策數(shù)據(jù)中知識獲取的一個關鍵問題,是多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析研究的一個重要方向.Li等[17]針對Wu-Leung模型中要求所有不同屬性都有相同的尺度個數(shù)這一限制,提出廣義多尺度決策系統(tǒng)的概念，并給出補模型和格模型兩種方法用于分析此類數(shù)據(jù)的知識獲取問題.Li等[18]利用格模型中定義的最優(yōu)尺度組合概念進一步研究不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)中的6種最優(yōu)尺度組合.Wu等[19]在不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)中定義7種最優(yōu)尺度組合,并研究各種最優(yōu)尺度組合之間的關系.Li等[20]將多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析的方法引入覆蓋粗糙集理論中,提出多尺度覆蓋的概念，并研究協(xié)調(diào)與不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.陳應生等[21]使用矩陣方法研究廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.Chen等[22]研究基于信息熵的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.也有一些學者提出廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的概念,陳應生等[23]定義廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.胡軍等[24]研究基于最小化不確定性和代價的廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合選擇方法.

證據(jù)理論[25]是另一種有效處理不確定性的數(shù)學工具,該理論的基本概念是由mass函數(shù)生成的信任結構，根據(jù)信任結構可導出一對對偶的測度,即信任函數(shù)和似然函數(shù)，以此度量知識的不確定性.學者們研究證據(jù)理論與粗糙集理論之間的關系.在理論方面,Yao等[26]給出有限論域中一般二元關系產(chǎn)生的粗糙集中的下近似與證據(jù)理論中的信任函數(shù)之間的關系,一方面,證明集合的下近似的概率是該集合的信任度,另一方面,給定一個信任結構和信任函數(shù),則一定存在一個對應的近似空間,使該近似空間導出的信任函數(shù)就是給定的信任函數(shù).Wu等[27-29]研究模糊環(huán)境下粗糙集理論與證據(jù)理論之間的關系,給出無限論域中基于模糊蘊含算子的粗糙近似空間導出的下近似算子與上近似算子和信任結構及其生成的信任函數(shù)與似然函數(shù)的相互表示.在應用發(fā)展方面,Chen等[9]對若干覆蓋粗糙集進行分類,建立覆蓋粗糙集與證據(jù)理論的關系,并設計基于信任函數(shù)的屬性約簡算法[10].Tan等[30]在不完備信息系統(tǒng)中使用證據(jù)理論定量刻畫多粒度粗糙集的上近似與下近似,設計基于證據(jù)理論的屬性約簡算法.吳偉志等[31-32]使用證據(jù)理論給出不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合和不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合的特征.車曉雅等[33]研究4種多粒度覆蓋粗糙集與證據(jù)理論之間的關系.這些研究表明,證據(jù)理論可定量刻畫各種系統(tǒng)中知識的不確定性,因此可使用證據(jù)理論分析信息(決策)系統(tǒng)中的知識獲取問題.

迄今尚未有用證據(jù)理論刻畫廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合的相關研究,本文在文獻[19]和文獻[20]的基礎上,使用證據(jù)理論分別刻畫協(xié)調(diào)與不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,給出各種最優(yōu)尺度組合概念之間的關系.

1 基礎知識

1.1 覆蓋粗糙集

本節(jié)回顧一些覆蓋粗糙集的基本概念.

本文使用U表示一個非空有限集合,稱為論域.U的全體子集記為P(U).若C?P(U)，??C，且C中所有集合的并集為U(即∪C=U),則稱C為U上的一個覆蓋.U上的所有覆蓋全體表示為

C(U)={C?P(U)|(??C)∧(∪C=U)}.

一個二元組(U,)稱為一個覆蓋信息系統(tǒng),其中,={C1,C2,…,Cm}為U上的一族覆蓋,若D={D1,D2,…,Dr}為U上的一個劃分,則稱三元組(U,,D)為一個覆蓋決策系統(tǒng).

定義1[14]設C是論域U上的一個覆蓋,?x∈U,集族

mdC(x)={K∈C|x∈K∧

(?S∈C(x∈S∧S?K?K=S))},

MDC(x)={K∈C|x∈K∧

(?S∈C(x∈S∧S?K?K=S))},

分別稱為x關于C的極小描述和極大描述.

論域U上的一個映射N∶U→P(U)稱為U上的一個鄰域算子.基于鄰域算子N,集合X?U的下近似和上近似分別定義如下：

這里～X表示X關于U的補集,即

～X={x∈U|x?X}.

接下來給出覆蓋信息系統(tǒng)中4種鄰域算子的定義.

特別地,當C為U上的一個劃分時,則

且它們均為劃分C中元素x的等價類.

定義3[33]設(U,)為一個覆蓋信息系統(tǒng),其中={C1,C2,…,Cm}為U上的一族覆蓋.?x∈U,x關于的4種鄰域Ni(x)(i∈{1,2,3,4})定義如下：

Ni

根據(jù)上述4種鄰域,分別定義X?U關于覆蓋信息系統(tǒng)(U,)的4對上、下近似如下：

此外,還可定義U上4種誘導的覆蓋

Covi()={Ni(x)|x∈U}.

性質1[7,14]設(U,)為一個覆蓋信息系統(tǒng),X?U,Y?U,i∈{1,2,3,4},則

4)X?Y?

定義4[20]設U為論域,C1∈C(U),C2∈C(U),若對?K1∈C1,?K2∈C2,使得K1?K2,則稱C1比C2細,或C2比C1粗,記為C1C2.

定義5[20,33]設(U,,D)為一個覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},若

Covi()D,

則稱(U,,D)為第i型協(xié)調(diào)的.

1.2 證據(jù)理論

定義6[25]設U為非空有限論域,集函數(shù)

m∶P(U)→[0,1]

稱為U上的一個mass函數(shù),若滿足

1)m(?)=0,

稱A∈P(U)為m的焦元,若m(A)>0.記

M={A∈P(U)|m(A)>0},

則序對(M,m)稱為U上的一個信任結構.

定義7[25]設(M,m)為U上的一個信任結構,集函數(shù)

Bel∶P(U)→[0,1]

稱為U上的信任函數(shù),若

集函數(shù)

Pl∶P(U)→[0,1]

稱為U上的似然函數(shù),若

由同一信任結構導出的信任函數(shù)和似然函數(shù)是對偶的,即

Pl(X)=1-Bel(～X).

反之,信任結構中的mass函數(shù)可通過M?bius變換用信任函數(shù)表示,即?X∈P(U),

信任函數(shù)和似然函數(shù)還可等價地用公理定義.集函數(shù)

Bel∶P(U)→[0,1]

為U上的一個信任函數(shù)，當且僅當滿足如下公理：

1)Bel(?)=0,

2)Bel(U)=1,

3)對?X1?U,X2?U,…,Xl?U,有

同樣地,集函數(shù)

Pl∶P(U)→[0,1]

為U上的一個似然函數(shù)，當且僅當滿足如下公理：

1)Pl(?)=0,

2)Pl(U)=1,

3)對?X1?U,X2?U,…,Xl?U,有

一些學者研究覆蓋粗糙集與證據(jù)理論之間的關系[9,33],為了在統(tǒng)一框架下研究本文的廣義多尺度覆蓋粗糙集模型在各種多尺度系統(tǒng)中的應用,給出如下定理1與定理2.

定理1[9,33]設(U,)為一個覆蓋信息系統(tǒng),其中為U上的一族覆蓋,i∈{1,2,3,4},定義關系劃分函數(shù)ji∶Covi()→P(U),

ji(X)={x∈U|X=Ni(x)},

則{ji(X)|X∈Covi()}構成U上的一個劃分.

設U為一個非空有限論域,本文使用P表示均勻概率分布,即?X?U,

P(X)=|X|/|U|,

|X|表示集合X的基數(shù).

定理2[9,33]設(U,)為一個覆蓋信息系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},?X?U,記

2 廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

在覆蓋決策系統(tǒng)(U,,D)中,={C1,C2,…,Cm}為U上的一族覆蓋,若中每個覆蓋都有多個尺度,則稱(U,,D)為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng).下面結合文獻[20]和文獻[22]給出具體的定義.首先,定義8給出兩個覆蓋之間的尺度關系.

定義8[22]設U為論域,C′∈C(U),C″∈C(U),若存在一個滿射f∶C′→C″滿足對?K″∈C″,

則稱C″為基于C′的粒度變換覆蓋,f為粒度變換函數(shù).

本文使用C′?C″表示C″為基于C′的粒度變換覆蓋.

性質2[20]設U為論域,則?滿足如下性質：

1)自反性.C1?C1,?C1∈C(U);

2)傳遞性.對于?C1∈C(U),C2∈C(U),C3∈C(U),若C1?C2,C2?C3,則C1?C3.

性質3[20]?C′∈C(U),C″∈C(U),若C′?C″,則對?x∈U,X?U,i∈{1,2,3,4},有

1)NiC′(x)?NiC″(x),

定義9[20]稱

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中

3)D={D1,D2,…,Dr}為U上的劃分.

在一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

中,若覆蓋Cj∈取第lj個尺度,

1≤lj≤Ij,j∈{1,2,…,m},

記L=(l1,l2,…,lm),則稱L為S的一個尺度組合.顯然,每個尺度組合對應一個單尺度的覆蓋決策系統(tǒng)

SL=(U,

記S的尺度組合全體為L.設

L′=(l′1,l′2,…,l′m)∈L,L″=(l″1,l″2,…,l″m)∈L.

L′∧L″=(l′1∧l″1,l′2∧l″2,…,l′m∧l″m),

L′∨L″=(l′1∨l″1,l′2∨l″2,…,l′m∨l″m),

則(L,?，∧，∨)為一個有界格,也是一個完備格,最小元L1=(1,1,…,1),最大元為(I1,I2,…,Im).

性質4[20]設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L′∈L,L″∈L,X?U,i∈{1,2,3,4},若L′?L″,則

1)Ni(x)?Ni(x),

定義10[20]設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4}.若SL1為第i型協(xié)調(diào)的,即

Covi(L1)D,

則稱S為第i型協(xié)調(diào)的,否則稱S為第i型不協(xié)調(diào)的.設S為第i型協(xié)調(diào)的,L′∈L,若SL′為第i型協(xié)調(diào)的,但對?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型最優(yōu)尺度組合.

3 協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合

本節(jié)使用證據(jù)理論刻畫協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.

定理3在廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

中,L′∈L,L″∈L,X?U,i∈{1,2,3,4},若L′?L″,則

證明由定理2、性質1和性質4可得.

證畢.

定理4設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D={D1,D2,…,Dr})

為一個第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L∈L,i∈{1,2,3,4},若SL為第i型協(xié)調(diào)的,則

證明1)一方面,對?Dj∈D,根據(jù)性質1,有

另一方面,對?x∈Dj,有x∈Ni(x),又根據(jù)協(xié)調(diào)性及D={D1,D2,…,Dr}為U上的劃分,有

Ni(x)?Dj,

2)一方面,對?Dj∈D,根據(jù)性質1,有

Ni(x)∩Dj≠?.

設

y∈Ni(x)∩Dj,

從而

{x,y}?Ni(x),y∈Dj,

又根據(jù)協(xié)調(diào)性及D={D1,D2,…,Dr}為U上的劃分,有Ni(x)?Dj,從而{x,y}?Dj,故x∈Dj,于是

因此

證畢.

定理5設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為一個第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L=(l1,l2,…,lm)∈L,i∈{1,2,3,4},則如下條件等價：

1)SL=(U,為第i型協(xié)調(diào)的,

證明1)?2).若SL為第i型協(xié)調(diào)的,則對?Dj∈D,根據(jù)定理4,有

而D為U上的一個劃分,從而

2)?1).由于S為第i型協(xié)調(diào)的,故

若

則

即

(1)

由于L1?L,根據(jù)性質4,對?Dj∈D,有

再根據(jù)式(1),可得

下證對?x∈U,有

Ni(x)?[x]D,

[x]D表示劃分D中包含元素x的等價類.由于

故

再根據(jù)下近似的定義,有

Ni(x)?[x]D,

從而SL為第i型協(xié)調(diào)的.

1)?3).若SL為第i型協(xié)調(diào)的,對?Dj∈D,根據(jù)定理4,有

而D為U上的一個劃分,從而

3)?1).反證法,若SL不是第i型協(xié)調(diào)的,則?x∈U,使得

Ni(x)[x]D,

即?y∈Ni(x)且y?[x]D.根據(jù)性質1,

由于

Ni(x)∩[y]D≠?,

再結合定理3可得

這與

矛盾,于是SL為第i型協(xié)調(diào)的.

證畢.

由定理5可知,可通過決策類的信任度和似然度定量刻畫第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,根據(jù)證據(jù)理論刻畫的最優(yōu)尺度組合和通過覆蓋粗糙集理論定義的最優(yōu)尺度組合可看作對系統(tǒng)保持協(xié)調(diào)性不變的最粗的尺度組合特征的定量刻畫與定性刻畫.在定理5的基礎上可進一步得到定理6.

定理6設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L∈L,i∈{1,2,3,4},則如下條件等價：

1)L為S的一個第i型最優(yōu)尺度組合.

證明由定義10、定理3和定理5可證.

證畢.

4 不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的尺度組合

本節(jié)在文獻[19]的基礎上,討論不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的各種最優(yōu)尺度組合和它們之間的關系.

設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L∈L,X?U,Y?U,Y≠?,定義

可證明

記

定義11設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),L′∈L,i∈{1,2,3,4},則

1)若

則稱SL′為第i型下近似協(xié)調(diào)的.若SL′是第i型下近似協(xié)調(diào)的,而對?L″∈L,滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型下近似協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型下近似最優(yōu)尺度組合.

2)若

Hi(D)=Hi(D),

則稱SL′為第i型上近似協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型上近似協(xié)調(diào)的,而對?L″∈L,滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型上近似協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型上近似最優(yōu)尺度組合.

3)若?x∈U,

則稱SL′為第i型分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型分布協(xié)調(diào)的,而對?L″∈L，滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型分布最優(yōu)尺度組合.

4)若?x∈U,

則稱SL′為第i型最大分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型最大分布協(xié)調(diào)的,而對?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型最大分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型最大分布最優(yōu)尺度組合.

5)若

Beli(D)=Beli(D),

則稱SL′為第i型信任分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型信任分布協(xié)調(diào)的,而對?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型信任分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型信任分布最優(yōu)尺度組合.

6)若

則稱SL′為第i型似然分布協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型似然分布協(xié)調(diào)的,而對?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型似然分布協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型似然分布最優(yōu)尺度組合.

7)若?x∈U,

則稱SL′為第i型廣義決策協(xié)調(diào)的.若SL′為第i型廣義決策協(xié)調(diào)的,而對?L″∈L滿足L′L″(若{L″∈L|L′L″}≠?),SL″不是第i型廣義決策協(xié)調(diào)的,則稱L′為S的一個第i型廣義決策最優(yōu)尺度組合.

下面討論這7種最優(yōu)尺度組合之間的關系.

定理7設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,若對?x∈U,

則

2)Hi(D)=Hi(D),

證明1)一方面,由于L1?L,根據(jù)性質4,對?Dj∈D,有

另一方面,對?Dj∈D,?xk∈U,若

即Ni(xk)?Dj,有

P(Dj|Ni(xk))=1,

根據(jù)

得

P(Dj|Ni(xk))=P(Dj|Ni(xk))=1,

即Ni(xk)?Dj,從而所以

因此,對?Dj∈D,

即

2)一方面,由于L1?L,根據(jù)性質4,對?Dj∈D,有

即

Ni(xk)∩Dj≠?,

有

P(Dj|Ni(xk))>0,

根據(jù)

得

P(Dj|Ni(xk))=P(Dj|Ni(xk))>0,

即

Ni(xk)∩Dj≠?,

因此,對?Dj∈D,

即

Hi(D)=Hi(D).

3)顯然可證.

證畢.

但定理7的逆命題不成立,下面用例1和例2說明.

例1設

S=(U,={C1,C2},D)

為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x6},C1有2個尺度,C2有1個尺度,分別表示如下：

于是S共有2個尺度組合(1,1)與(2,1).容易驗證,S為第1、2、3、4型不協(xié)調(diào)的,計算可得，(1,1)是唯一的第1、2、3、4型分布最優(yōu)尺度組合和最大分布最優(yōu)尺度組合,(2,1)是唯一的第1、2、3、4型上近似最優(yōu)尺度組合和下近似最優(yōu)尺度組合.

結合定理7和例1可得，由SL為第i型分布協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型上近似協(xié)調(diào)、第i型下近似協(xié)調(diào)的.

例2設

S=(U,={C1,C2},D)

為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x6},C1有2個尺度,C2有1個尺度,分別表示如下：

于是S共有2個尺度組合(1,1)與(2,1).容易驗證,S為第1、2、3、4型不協(xié)調(diào)的,計算可得,(1,1)是唯一的第1、2、3、4型分布最優(yōu)尺度組合、上近似最優(yōu)尺度組合和下近似最優(yōu)尺度組合,(2,1)是唯一的第1、2、3、4型最大分布最優(yōu)尺度組合.

結合定理7和例2可得，由SL為第i型分布協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型最大分布協(xié)調(diào)的.結合例1和例2可知,在第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中,第i型最大分布最優(yōu)尺度組合與第i型上近似最優(yōu)尺度組合、第i型下近似最優(yōu)尺度組合之間無必然關系.

文獻[21]證明第1型上近似最優(yōu)尺度組合和第1型廣義決策最優(yōu)尺度組合是等價的,下面定理8統(tǒng)一證明第i型上近似最優(yōu)尺度組合和第i型廣義決策最優(yōu)尺度組合也是等價的.

定理8設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則下述等價：

1)Hi(D)=Hi(D),

證明1)?2).若

Hi(D)=Hi(D),

則對?Dj∈D,有

從而?x∈U,

Ni(x)∩Dj≠??Ni(x)∩Dj≠?,

所以

j∈?i(x)?j∈?i(x),

故對?x∈U,

2)?1).若?x∈U,

則對?Dj∈D,

即

Ni(x)∩Dj≠??Ni(x)∩Dj≠?,

因此對?Dj∈D，

所以

Hi(D)=Hi(D).

證畢.

由定理8可知，SL為第i型上近似協(xié)調(diào)的當且僅當SL為第i型廣義決策協(xié)調(diào)的.

定理9設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則下述等價：

2)Beli(D)=Beli(D),

證明1)?2).若

則對?Dj∈D,有

從而

故

Beli(D)=Beli(D).

2)?3).顯然可證.

3)?1).若

則

(2)

又根據(jù)性質4,

(3)

即

再結合式(2)可得，?Dj∈D,

根據(jù)式(3)可得,對?Dj∈D,有

所以

證畢.

由定理9可知,L為S的一個第i型下近似最優(yōu)尺度組合當且僅當L為S的一個第i型信任分布最優(yōu)尺度組合.S的一個尺度組合對應一個單尺度的覆蓋決策系統(tǒng),也對應一個信任結構,根據(jù)覆蓋粗糙集理論定義的下近似最優(yōu)尺度組合與根據(jù)證據(jù)理論定義的信任分布最優(yōu)尺度組合可視為系統(tǒng)對保持確定性知識不變的最粗的尺度組合特征的定性與定量刻畫.

定理10設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則下述等價：

1)Hi(D)=Hi(D),

證明與定理9證明類似.

證畢.

由定理10可知,L為S的一個第i型上近似最優(yōu)尺度組合當且僅當L為S的一個第i型似然分布最優(yōu)尺度組合.類似地,根據(jù)覆蓋粗糙集理論定義的上近似最優(yōu)尺度組合與根據(jù)證據(jù)理論定義的似然分布最優(yōu)尺度組合可視為系統(tǒng)保持可能性知識不變的最粗的尺度組合特征的定性與定量刻畫.

定理11設

S=(U,={C1,C2,…,Cm},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),i∈{1,2,3,4},L∈L,則

證明一方面,由于L1?L,根據(jù)性質4,對?Dj∈D,有

另一方面,若

H(D)=H(D),

則對?Dj∈D,有

即對?x∈U,

Ni(x)∩Dj≠??Ni(x)∩Dj≠?.

(4)

Ni(y)∩Dj≠?,

且

Ni(y)∩Dk=?.

再根據(jù)式(4)可得,?k≠j,

Ni(y)∩Dj≠?,

且

Ni(y)∩Dk=?.

因此Ni(y)?Dj,即因此

綜上所述,對?Dj∈D,有

因此

證畢.

例3說明定理11的逆命題不成立.

例3設

S=(U,={C1,C2},D)

為第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x6},C1有2個尺度,C2有1個尺度,分別表示如下：

于是S共有2個尺度組合(1,1)與(2,1).計算可得,(2,1)是唯一的第1、2、3、4型下近似最優(yōu)尺度組合,而(1,1)是唯一的第1、2、3、4型上近似最優(yōu)尺度組合.

結合定理11和例3可知，由SL為第i型上近似協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型下近似協(xié)調(diào)的.

通過本節(jié)的討論，可得到在第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中7種協(xié)調(diào)性之間的關系，直觀表示如圖1所示.由圖可知,在第i型不協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中實際有4種不同的最優(yōu)尺度組合,這一結果與文獻[19]中討論的不協(xié)調(diào)完備廣義多尺度決策系統(tǒng)中7種最優(yōu)尺度組合之間的關系類似.

圖1 不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中7種協(xié)調(diào)性之間的關系Fig.1 Relationships among 7 types of consistencies in inconsistent generalized multi-scale covering decision systems

需要指出的是,在第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)S中,第i型下近似最優(yōu)尺度組合、第i型上近似最優(yōu)尺度組合、第i型分布最優(yōu)尺度組合、第i型信任分布最優(yōu)尺度組合、第i型似然分布最優(yōu)尺度組合和第i廣義決策最優(yōu)尺度組合都是等價的且它們都與定義10定義的第i型最優(yōu)尺度組合等價(結合圖1、定理4和定理5易證).此外,由SL為第i型分布協(xié)調(diào)的可推出SL為第i型最大分布協(xié)調(diào)(根據(jù)定理7易證),但反之不成立,下面用例4說明.

例4設S=(U,={C1,C2},D)為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,x7},C1有2個尺度,C2有1個尺度,分別表示如下：

于是S共有2個尺度組合(1,1)與(2,1).容易驗證,S為第1、2、3、4型協(xié)調(diào)的.計算可得,(1,1)是唯一的第1、2、3、4型最優(yōu)尺度組合和分布最優(yōu)尺度組合,而(2,1)是唯一的第1、2、3、4型最大分布最優(yōu)尺度組合.

綜上可知，在第i型協(xié)調(diào)的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中,本節(jié)定義的7種最優(yōu)尺度組合之間的關系可用圖2表示,這一結果與文獻[19]討論的協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)中的結論不同.

圖2 協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中7種協(xié)調(diào)性之間的關系Figure.2 Relationships among 7 types of consistencies in consistent generalized multi-scale covering decision systems

5 廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的應用

本節(jié)給出廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇模型在不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)和廣義多尺度集值決策系統(tǒng)中的應用.

5.1 在不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)中的應用

定義12[32]一個廣義多尺度決策系統(tǒng)為一個二元組(U,AT∪y0g00ui),其中，U={x1,x2,…,xn}為非空有限論域,d為決策屬性,d∶U→Vd,Vd為決策屬性的值域,由d導出的決策劃分為

即

在廣義多尺度決策系統(tǒng)中,若某個對象在某個屬性上的取值未知,則稱該系統(tǒng)為不完備廣義多尺度決策系統(tǒng),用*表示缺省值,即若ak(x)=*,則認為x在屬性ak上的取值未知.此時不同尺度之間的屬性值變換為

其中,k∈{1,2,…,Ij-1},j∈{1,2,…,m},x∈U.

在對不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)進行知識獲取時,通常的方法是定義一個相似關系[32],得到每個對象的相似類,進而定義相關的協(xié)調(diào)性和最優(yōu)尺度組合等概念.根據(jù)文獻[20],一個不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)可轉化為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng).

顯然,對?j∈{1,2,…,m},k∈{1,2,…,Ij},

為U上的一個覆蓋.易證[20],對

從而由一個不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)

導出一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)

(U,{a-1(V1),a-1(V2),…,a-1(Vm)},D),

其中

將一個不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)轉化為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可根據(jù)第3節(jié)和第4節(jié)的討論,計算該系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合.文獻[20]已證明按照本文討論的第4型鄰域計算得到的最優(yōu)尺度組合與按照定義一個相似關系得到的最優(yōu)尺度組合是等價的,具體見文獻[20],這里不再詳細討論,下面使用例5進行說明.

例5[16]表1給出一個不協(xié)調(diào)的不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)(U,AT∪wwg0a8k),其中

表1 不協(xié)調(diào)的不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)Table 1 An inconsistent incomplete generalized multi-scale decision system

U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10},

AT={a1,a2,a3},

a1、a2、a3都有3個尺度,S、M、L、E、G、Y和N分別表示小、中、大、優(yōu)、良、是和否，d為單尺度決策屬性.

計算可得

{x5,x6,x7},{x5,x6,x8}，{x5,x6,x9,x10}},

{x5,x6,x7,x8,x9,x10}},

{{x1,x2,x3,x4,x5,x6},{x5,x6,x7,x8,x9,x10}},

{{x1,x2},{x3,x6,x8,x10},{x4,x5,x7,x9}},

{x7,x8,x9,x10}},

{x7,x8,x9,x10}},

D={D1,D2},

其中

D1={x1,x2,x3,x4,x5,x6},D2={x7,x8,x9,x10}.

令

從而

S=(U,

為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng).所有的尺度組合為

L={(l1,l2,l3)|l1,l2,l3∈{1,2,3}},

因此S共有27個尺度組合.

經(jīng)計算可得

N4(x1)={x1},N4(x2)={x2},

N4(x3)={x3,x6},N4(x4)={x4,x5},

N4(x5)={x4,x5,x7},N4(x6)={x3,x6,x8},

N4(x7)={x5,x7},N4(x8)={x6,x8},

N4(x9)={x9},N4(x10)={x10}.

由于

N4(x5)={x4,x5,x7}D1,

且

N4(x5)={x4,x5,x7}D2,

所以S為第4型不協(xié)調(diào)的,根據(jù)第4節(jié)中的討論,計算可得

Bel4(D)=(Bel4(D1),Bel4(D2))=

Bel4(D)=(Bel4(D1),Bel4(D2))=

Bel4(D)=(Bel4(D1),Bel4(D2))=

所以(3,3,2)為S的一個第4型信任分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個信任分布最優(yōu)尺度組合.同時,計算可得

所以(3,3,2)為S的一個第4型似然分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個似然分布最優(yōu)尺度組合.并且,可得到論域中的對象在不同尺度組合下的分布,如表2所示.

表2 例5中的對象在不同尺度組合下的分布Table 2 Distribution of objects under different scale combinations in Example 5

易見,(1,1,2)為S的一個第4型分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個分布最優(yōu)尺度組合,(1,1,2)為S的一個第4型最大分布最優(yōu)尺度組合,也是原不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)的一個最大分布最優(yōu)尺度組合.

結合例5和本節(jié)的討論,將一個不協(xié)調(diào)的不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)轉化為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可用本文第4節(jié)的方法計算該系統(tǒng)的4種最優(yōu)尺度組合,因此本文第4節(jié)中的結論可視為文獻[19]中討論的不協(xié)調(diào)廣義多尺度決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合之間的關系在不完備情形下的推廣.

5.2 在廣義多尺度集值決策系統(tǒng)中的應用

在一個決策系統(tǒng)中,若某個對象的某個屬性有多個取值,稱這樣的系統(tǒng)為集值決策系統(tǒng).以往關于集值決策系統(tǒng)的研究中,每個屬性只有一個尺度,文獻[22]～文獻[24]定義廣義多尺度集值決策系統(tǒng),并討論廣義多尺度集值決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度選擇問題,但這些研究均未使用證據(jù)理論刻畫最優(yōu)尺度組合.下面討論將一個廣義多尺度集值決策系統(tǒng)轉化為廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,結合第3節(jié)和第4節(jié)中的結論，使用證據(jù)理論刻畫相關的最優(yōu)尺度組合.

定義13[22]稱(U,AT∪s0yu0e8)為廣義多尺度集值決策系統(tǒng),其中，U={x1,x2,…,xn}為非空有限論域,d為決策屬性,d∶U→Vd,Vd為決策屬性的值域,由d導出的決策劃分為

為非空有限屬性集,

使

即

下面討論廣義多尺度集值決策系統(tǒng)與廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)之間的關系.

定義集合類

其中

將一個廣義多尺度集值決策系統(tǒng)轉化為一個廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可根據(jù)第3節(jié)和第4節(jié)中的討論,計算協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,下面用例6簡單描述協(xié)調(diào)廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合的計算方法.

注將一個廣義多尺度集值決策系統(tǒng)轉化為一個多尺度覆蓋決策系統(tǒng)后,可采用本文定義的4種鄰域中的一種用于計算系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合,有些研究[22-23]采用第1型鄰域,也有一些研究[24]采用第4型鄰域,例6采用第1型鄰域.

例6[22]表3為廣義多尺度集值決策系統(tǒng)

表3 一個廣義多尺度集值決策系統(tǒng)Table 3 A generalized multi-scale set-valued decision system

不同尺度間的信息粒度變換為

根據(jù)本節(jié)的討論,由它導出的廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)為

其中

{x2,x5,x6},{x3,x4,x6},{x2,x3,x4}},

{x2,x5,x6},{x2,x3,x4,x6}},

{x1,x2,x3,x6},{x5,x6,x7,x8},{x5,x6,x8}},

{x5,x6,x7,x8}},

D={D1,D2,D3,D4},

其中

D1={x1,x2},D2={x3,x4},

D3={x5,x6},D4={x7,x8}.

S共有9個尺度組合.由于

N1(x1)={x1},N1(x2)={x2},

N1(x3)={x3},N1(x4)={x4},

N1(x5)={x5},N1(x6)={x6},

N1(x7)={x7},N1(x8)={x8},

從而S是第1型協(xié)調(diào)的,計算可得

根據(jù)第3節(jié)中的討論可知,(2,2)為S的一個第1型最優(yōu)尺度組合,也是原廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的一個最優(yōu)尺度組合.

6 結 束 語

證據(jù)理論和粗糙集理論都是處理數(shù)據(jù)的不確定性問題的有效方法,本文結合證據(jù)理論和粗糙集理論,定量、定性地研究廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合的選擇問題.在協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋系統(tǒng)中,使用證據(jù)理論中的信任函數(shù)和似然函數(shù)刻畫最優(yōu)尺度組合的數(shù)值特征.在不協(xié)調(diào)廣義多尺度覆蓋決策系統(tǒng)中,定義7種最優(yōu)尺度組合概念,并給出它們之間的關系.將本文方法應用于不完備廣義多尺度決策系統(tǒng)和廣義多尺度集值決策系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合的選擇問題,闡明可在統(tǒng)一框架下研究這些多尺度系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合選擇問題.在后續(xù)的研究中,一方面可用證據(jù)理論研究廣義多尺度覆蓋系統(tǒng)的局部最優(yōu)尺度組合的選擇問題,另一方面可進一步研究相應的知識約簡與規(guī)則提取問題.