潘秀亮

初中生應(yīng)當(dāng)要有一定的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、計(jì)算、推理等活動(dòng)過程，而鐘面角問題就是一個(gè)很好的載體，其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如，追及問題的提取，絕對(duì)值的使用等，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和抽象出數(shù)學(xué)模型解決問題的能力.

1 教學(xué)背景

如圖1，時(shí)針與分針的夾角問題是學(xué)生經(jīng)常遇到的一類有趣但又相對(duì)懼怕的數(shù)學(xué)計(jì)算問題，如何改變這一現(xiàn)狀？動(dòng)手實(shí)踐是一種重要的方式，它可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的同步增長(zhǎng);同時(shí)，可以變“被動(dòng)接受”為“主動(dòng)探究”，通過“做”數(shù)學(xué)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)的真諦，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和智慧，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，筆者以“鐘面角”為例，闡釋如何在課題學(xué)習(xí)中，滲透數(shù)學(xué)思想方法，有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

2 教學(xué)目標(biāo)

（1）探索、歸納不同時(shí)刻時(shí)針與分鐘夾角的計(jì)算公式;

（2）培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、分析、歸納得到數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理和演繹推理能力;

（3）通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生獲得成功的喜悅，從不同的角度去審視問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和運(yùn)算能力等核心素養(yǎng);

3 重難點(diǎn)

鐘面角計(jì)算公式的探索論證過程.

4 教學(xué)設(shè)計(jì)

4.1情境引入

時(shí)鐘是我們現(xiàn)實(shí)生活中常見的一種計(jì)時(shí)工具，不管時(shí)間如何變化，鐘面上的時(shí)針和分針都組成了一個(gè)與角度有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，我們稱之為鐘面角問題，這個(gè)問題是很多同學(xué)懼怕的問題，那有沒有什么方法可以幫助我們化解這樣的難題呢？今天，我們一起來探究這個(gè)問題.

4.2 在追問過程中理解計(jì)算鐘面角的內(nèi)涵

環(huán)節(jié)1展示教室里的鐘面圖

問題1鐘面是由哪些“靜態(tài)”的元素組成的？

學(xué)生1：由12個(gè)數(shù)學(xué)組成了12個(gè)大格子，每個(gè)大格子里還有5個(gè)小格子，

追問1：這些大格子和小格子間隔相等嗎？

學(xué)生2：都是相等的，所以總共有12個(gè)大格子，每個(gè)大格子是30°，總共有60個(gè)小格子，每個(gè)小格子是6°，

師：很好，這位同學(xué)了解得很全面，但是我們不能說大格子是30°，應(yīng)該說什么角等于多少度？

問題2鐘面是由哪些“動(dòng)態(tài)”的元素組成的？它們分別是怎么運(yùn)動(dòng)的？

學(xué)生3：鐘面由時(shí)針、分針和秒針組成，時(shí)針每一個(gè)小時(shí)走30°，分針每一分鐘應(yīng)該走6°，秒針一秒鐘應(yīng)該也走6°，

追問2.我們能不能將上面的單位統(tǒng)一為1分鐘各走多少度？

學(xué)生4：因?yàn)闀r(shí)針每小時(shí)走300，那么1分鐘應(yīng)該是0.5°，分針1分鐘還是走6°，秒針1分鐘走360°;

追問3：以上信息實(shí)際上就是在研究時(shí)針、分針和秒針的什么量？

學(xué)生5：速度，也就是說時(shí)針的速度是0.5°/分鐘，分針的速度是30°/分鐘，秒針的速度是360°/分鐘，

環(huán)節(jié)2 由表及里，明辨化歸巧解題

問題1我們?cè)賮砜匆幌掳嗉?jí)的時(shí)鐘，此時(shí)時(shí)間為上午9：21（下面所有的時(shí)間問題，我們假設(shè)秒針都剛好指向12），請(qǐng)問此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是多少？你打算如何思考？

學(xué)生1：因?yàn)榇藭r(shí)分針與數(shù)字9之間有24個(gè)小格子，每個(gè)小格子是6°，總共是24x6°=144°，又因?yàn)闀r(shí)針在21分鐘里還要走21x 0.5°= 10.5°，所以此時(shí)夾角應(yīng)該為144°+10.5°=154.5°.

追問1：數(shù)小格子是一個(gè)很好的辦法，我們可以從靜態(tài)的角度去算小格子的角度和，再?gòu)膭?dòng)態(tài)的角度去計(jì)算時(shí)針又走了多少度，那么一定是這兩個(gè)角度的和嗎？

學(xué)生2：不一定，比如時(shí)間為9：50，因?yàn)榉轴樦赶虻奈恢门c數(shù)字9之間有5個(gè)小格子，每個(gè)小格子是6°，總共是5x6°=30°，又時(shí)針在50分鐘里要走50x0.5°=25°，所以此時(shí)夾角應(yīng)該為30°-25°=5°，

學(xué)生3：其實(shí)當(dāng)分針超過時(shí)針時(shí)都應(yīng)該使用減法，沒有超過時(shí)用加法，

學(xué)生4：也不對(duì)，比如時(shí)間為9：46，因?yàn)榉轴樦赶虻奈恢门c數(shù)字9之間只有1個(gè)小格子.總共是6°，又因?yàn)闀r(shí)針在46分鐘里要走46×0.5°=23°，所以此時(shí)夾角應(yīng)該為23°-6°=17°。，此時(shí)分針還沒有超過時(shí)針，但也是減法，所以應(yīng)該是當(dāng)分針超過數(shù)字9時(shí)都應(yīng)該使用減法，并且用大角減去小角，沒有超過時(shí)用加法，

學(xué)生5：還要注意使用加法時(shí)，角度和不能大于180°，否則要用360°來減去這個(gè)角才等于時(shí)針與分針的夾角，

追問2：同學(xué)們討論的實(shí)在太好了，那么聯(lián)系上面時(shí)針與分針的速度，我們能不能都從動(dòng)態(tài)的角度來闡釋一下？

學(xué)生6：可以，我們知道9點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針之間有9個(gè)大格子，總共是30x9°=270°，而當(dāng)9：21時(shí)，時(shí)針走了21x 0.5°=10.5°，分針走了21x6°=126°，相當(dāng)于將角度縮小了126° -10.5= 115.5°，此時(shí)夾角應(yīng)該為270° -115.5°=154.5°，

追問3：這種解法和我們行程問題中的哪個(gè)模型很像？

學(xué)生7：我覺得應(yīng)該是追及問題，因?yàn)榉轴樀乃俣缺葧r(shí)針的速度要快，且速度差為5.5。/分鐘，所以整點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的差距分針可以慢慢的追上.

4.3 柳暗花明又一村，化歸總結(jié)得公式;

環(huán)節(jié)3由特殊到一般，抓住問題的本質(zhì)

問題3時(shí)間為m點(diǎn)n分該如何計(jì)算？ 學(xué)生1：因?yàn)閙點(diǎn)整點(diǎn)時(shí).時(shí)針與分針的角度差距為m×30°=30m°，n分針后，分針可以追上5.5n°，此時(shí)夾角就為（30m - 5.5n）°，

追問1：有沒有同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充的？

學(xué)生2：我覺得是這樣的，如果沒追上的話是（30m - 5.5n）°，追上的話應(yīng)該是（5.5n - 30m）°，

追問2：我們可以用一個(gè)式子表示嗎？

學(xué)生3：我們可以用絕對(duì)值|30m -5.5n|°來表示，

追問3：還有什么要注意的？如果時(shí)間是14：21分呢？

學(xué)生4：我們應(yīng)該把它轉(zhuǎn)化成2：21再計(jì)算，此外如果角度算出來大于180°，一樣要用360°來減去這個(gè)角才等于時(shí)針與分針的夾角.

環(huán)節(jié)4超級(jí)變變變，結(jié)論的適時(shí)應(yīng)用

問題1 9點(diǎn)到10點(diǎn)之間，分針與時(shí)針的夾角為10度時(shí)，此時(shí)是幾點(diǎn)？

問題2 9點(diǎn)到10點(diǎn)之間，分針與時(shí)針重合？

問題3 9點(diǎn)到10點(diǎn)之間，分針與時(shí)針垂直？

5教學(xué)反思

波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，教師想要提高學(xué)生的解題效率，就需要不斷地學(xué)習(xí)新的理念，嘗試新的教學(xué)方法，對(duì)課題學(xué)習(xí)的鉆研和對(duì)學(xué)情的了解是嘗試新教法的前提，其中對(duì)教材的再創(chuàng)造，集中表現(xiàn)在：能根據(jù)所教班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，選擇貼切的教學(xué)素材和教學(xué)流程，準(zhǔn)確地體現(xiàn)基本理念和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的要求，在這個(gè)過程中，師生雙方的互動(dòng)往往會(huì)“生成”一些新的教學(xué)資源，這就需要教師能夠及時(shí)把握，因勢(shì)利導(dǎo)，適時(shí)調(diào)整預(yù)案，使教學(xué)活動(dòng)收到更好的效果，

學(xué)生獲得知識(shí)，必須建立在自己思考、動(dòng)手實(shí)踐的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要把基本理念轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)行為，處理好教師講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，注重啟發(fā)學(xué)生積極思考;發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，當(dāng)好學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，