鄭世燕，袁怡圃，常斗亮

(泉州師范學(xué)院 物理與信息工程學(xué)院，福建 泉州 362000)

晶格振動(dòng)是指晶體中的原子在其平衡位置附近作微振動(dòng).而色散關(guān)系是晶格振動(dòng)理論研究重點(diǎn)之一.只有深入地了解了晶格振動(dòng)的色散關(guān)系，晶體的許多性質(zhì)才能得到理解，它是研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要理論基礎(chǔ).現(xiàn)有的“固體物理學(xué)”教材[1-5]中多數(shù)是在簡(jiǎn)諧和最近鄰雙重近似條件下分析一維單原子鏈和雙原子鏈晶格振動(dòng)模型的色散關(guān)系，它們是學(xué)習(xí)晶格振動(dòng)色散關(guān)系的兩個(gè)非常經(jīng)典的例子，它們的振動(dòng)既簡(jiǎn)單可解，又能較全面地表現(xiàn)出色散關(guān)系的基本特點(diǎn).

在此基礎(chǔ)上，有學(xué)者[6,7]進(jìn)一步分析了一維三原子鏈晶格振動(dòng)模型的色散關(guān)系，該振動(dòng)依舊可獲得解析解.筆者不禁要問(wèn)：一維四原子、五原子甚至更多原子組成的原子鏈晶格振動(dòng)模型的色散關(guān)系是否依然可獲得解析解？本文將以一維j原子鏈晶格振動(dòng)模型為研究對(duì)象，并在簡(jiǎn)諧和最近鄰雙重近似條件下試圖獲得一維j原子鏈晶格振動(dòng)方程組的一般表達(dá)式.現(xiàn)有教材[1-5]及文獻(xiàn)[6,7]中的一維單原子、雙原子以及三原子鏈的色散關(guān)系亦可由該一般表達(dá)式簡(jiǎn)化獲得.最后通過(guò)數(shù)值模擬分析法重點(diǎn)對(duì)一維四原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系進(jìn)行分析討論，并指出由更多原子組成的原子鏈亦可由本文所獲得的晶格振動(dòng)方程組獲得其相關(guān)規(guī)律.

1 一維j原子鏈晶格振動(dòng)模型

質(zhì)量分別為m0、m1、m2、…、mj-1(m0

圖1 一維j原子鏈晶格振動(dòng)模型示意圖

為方便計(jì)算，本文僅考慮簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)下最近鄰原子間的相互作用，且在任意相鄰原子間相互作用的恢復(fù)力系數(shù)都相等的情況下，進(jìn)一步根據(jù)經(jīng)典牛頓力學(xué)理論獲得一維j原子鏈原胞內(nèi)j個(gè)不同原子運(yùn)動(dòng)方程分別為

(1-1)

(1-2)

(1-3)

…………

(1-j)

易知方程組(1)為二階微分方程組，它們有許多形式的解，考慮各原子的振幅分別為A0、A1、A2、…、Aj-1，做頻率相同(設(shè)為ω)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其離開(kāi)平衡位置的位移分別為

μjn=A0ei(qjna-ωt)

(2-1)

μjn+1=A1ei[q(jn+1)a-ωt]

(2-2)

μjn+2=A2ei[q(jn+2)a-ωt]

(2-3)

…………

μjn+(j-1)=Aj-1ei{q[jn+(j-1)]a-ωt}

(2-j)

并把方程組(2)代回方程組(1)得到關(guān)于振幅A0、A1、A2、…、Aj-1的齊次線性方程組：

Aj-1βe-iqa+A0(m0ω2-2β)+A1βeiqa=0

(3-1)

A0βe-iqa+A1(m1ω2-2β)+A2βeiqa=0

(3-2)

A1βe-iqa+A2(m2ω2-2β)+A3βeiqa=0

(3-3)

…………

Aj-2βe-iqa+Aj-1(mj-1ω2-2β)+A0βeiqa=0

(3-j)

再按振幅A0、A1、A2、…、Aj-1的順序重新改寫(xiě)上述齊次線性方程組如下：

A0(m0ω2-2β)+A1βeiqa+A2·0+

A3·0+…+Aj-2·0+Aj-1βe-iqa=0

(4-1)

A0βe-iqa+A1(m1ω2-2β)+A2βeiqa+

A3·0+…+Aj-2·0+Aj-1·0=0

(4-2)

A0·0+A1βe-iqa+A2(m2ω2-2β)+A3βeiqa+

A4·0+…+Aj-1·0=0

(4-3)

…………

A0βeiqa+A1·0+A2·0+…+Aj-1·0+

Aj-2βe-iqa+Aj-1(mj-1ω2-2β)=0

(4-j)

方程組(4)由j個(gè)方程所組成，即為一維j原子鏈晶格振動(dòng)方程組的一般表達(dá)式.換言之，當(dāng)j=1時(shí)，方程組(4)只有式(4-1)；當(dāng)j=2時(shí)，方程組(4)由式(4-1)和式(4-2)所組成；當(dāng)j=3時(shí)，方程組(4)由式(4-1)、式(4-2)和式(4-3)共同組成；以此類(lèi)推……

接下來(lái)將基于方程組(4)，從中分別獲取一維單原子、雙原子、三原子、四原子等原子鏈的色散關(guān)系.

2 特例

2.1 一維單原子鏈(j =1)晶格振動(dòng)

當(dāng)j=1時(shí)，上述一維j原子鏈簡(jiǎn)化為一維單原子鏈情形，此時(shí)只有一個(gè)系數(shù)A0，滿足式(4-1).這時(shí)還需令式(4-1)中的A1=A0，且其他系數(shù)A2、A3、A4、…都為零.則當(dāng)系數(shù)A0有非零解時(shí)，式(4-1)簡(jiǎn)化為如下色散關(guān)系:

(5)

這與現(xiàn)有教材[1-5]中所獲得的結(jié)論相吻合，即由完全相同原子所組成的一維單原子鏈的晶格振動(dòng)只有聲學(xué)波.

2.2 一維雙原子鏈(j=2)晶格振動(dòng)

當(dāng)j=2時(shí)，對(duì)應(yīng)雙原子鏈，此時(shí)有兩個(gè)系數(shù)A0和A1，滿足式(4-1)與式(4-2).令式(4-1)與式(4-2)中的A2=A0，且其他系數(shù)都為零.則當(dāng)系數(shù)A0和A1有非零解時(shí)，式(4-1)與式(4-2)簡(jiǎn)化為如下色散關(guān)系：

(6)

式(6)為二階行列式，它是關(guān)于ω2的一元二次方程，易求得其色散關(guān)系為

(7)

其中ω±代表晶格振動(dòng)中聲頻支與光頻支格波的頻率，即聲學(xué)波的頻率為ω-而光學(xué)波的頻率為ω+.這也與現(xiàn)有教材[1-5]中所獲得的結(jié)論相符，即一維雙原子鏈晶格振動(dòng)可以存在2種獨(dú)立的格波(聲學(xué)波ω-和光學(xué)波ω+).

2.3 一維三原子鏈(j =3)晶格振動(dòng)

當(dāng)j=3時(shí)，對(duì)應(yīng)三原子鏈，此時(shí)有三個(gè)系數(shù)A0、A1和A2，滿足式(4-1)、式(4-2)與式(4-3).令式(4-1)、式(4-2)與式(4-3)中的A3=A0，且其他系數(shù)都為零.則當(dāng)系數(shù)A0、A1和A2有非零解時(shí)，式(4-1)、式(4-2)與式(4-3)簡(jiǎn)化為如下色散關(guān)系

(8)

式(8)為三階行列式，它是關(guān)于ω2的一元三次方程，亦可根據(jù)數(shù)學(xué)上一元三次方程的求根公式獲得其色散關(guān)系的解析表達(dá)式[6,7]，從而知曉一維三原子鏈的色散關(guān)系由聲學(xué)波、低頻光學(xué)波和高頻光學(xué)波這3種獨(dú)立的格波組成.

2.4 一維四原子鏈(j =4)晶格振動(dòng)

當(dāng)j=4時(shí)，對(duì)應(yīng)四原子鏈，此時(shí)有四個(gè)系數(shù)A0、A1、A2和A3，其色散關(guān)系應(yīng)滿足

(9)

式(9)為四階行列式，它是關(guān)于ω2的一元四次方程，求其解析解較繁瑣，之后將考慮用數(shù)值解的方法討論其色散關(guān)系.不難推測(cè)，一維四原子鏈的色散關(guān)系應(yīng)由4種獨(dú)立的格波組成.

2.5 一維j原子鏈(j ≥5)晶格振動(dòng)

以此類(lèi)推，當(dāng)j≥5時(shí)，此時(shí)應(yīng)有j個(gè)系數(shù)A0、A1、A2、…、Aj-1，其色散關(guān)系可用j階行列式來(lái)描述，即

(10)

式(10)為關(guān)于ω2的一元j次方程，該色散關(guān)系應(yīng)由j種獨(dú)立的格波組成.但當(dāng)j≥5時(shí)，求其解析解相對(duì)困難，此時(shí)數(shù)值解顯得尤為重要，因它可直觀地給出具體圖像，為分析研究一維原子鏈晶格振動(dòng)特點(diǎn)提供一定的理論及圖像依據(jù).

為深入了解一維j原子鏈晶格振動(dòng)的特點(diǎn)，本文將以目前未曾報(bào)道過(guò)的一維四原子鏈晶格振動(dòng)為例分析其色散關(guān)系.

3 一維四原子鏈晶格振動(dòng)的數(shù)值模擬分析

一維四原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系由式(9)所決定，它與原子間距a、恢復(fù)力系數(shù)β以及4個(gè)原子質(zhì)量(m0、m1、m2和m3)均有關(guān)系.應(yīng)用MATLAB軟件對(duì)式(9)進(jìn)行數(shù)值模擬分析，可得一維四原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系曲線.該色散關(guān)系由4條曲線所構(gòu)成，如圖2所示.圖中ω1、ω2、ω3和ω4分別表示聲學(xué)波、低頻光學(xué)波、中頻光學(xué)波和高頻光學(xué)波所對(duì)應(yīng)的頻率；Δω1、Δω2、Δω3和Δω4分別表示聲學(xué)波、低頻光學(xué)波、中頻光學(xué)波和高頻光學(xué)波的頻譜寬度；ωg1、ωg2和ωg3分別表示聲學(xué)波與低頻光學(xué)波間、低中頻光學(xué)波間以及中高頻光學(xué)波間的頻率禁帶寬度.另外，由于高頻光學(xué)波的色散關(guān)系曲線相較于聲學(xué)波、低頻光學(xué)波以及中頻光學(xué)波所對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系曲線變化較不明顯，故在圖2左上角內(nèi)插圖中顯示了高頻光學(xué)波的色散關(guān)系曲線放大圖.

圖2 一維四原子鏈色散關(guān)系曲線

3.1 原子間距對(duì)晶格振動(dòng)的影響

在原子質(zhì)量(m0、m1、m2和m3)與恢復(fù)力系數(shù)(β)保持不變的情況下，令式(9)中的原子間距分別為a和a/2，其色散關(guān)系曲線如圖3所示，圖中左上角內(nèi)插圖中顯示了高頻光學(xué)波的色散關(guān)系曲線放大圖.分析圖3曲線可知：

圖3 不同原子間距下一維四原子鏈色散關(guān)系曲線

2)在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)范圍內(nèi)，觀察圖3曲線的斜率變化可知，曲線斜率隨著原子間距的減小而減小，意味著晶格振動(dòng)在晶體中的傳播速度(即格波速度)隨原子間距的減小而減小，由此進(jìn)一步說(shuō)明格波速度與晶格結(jié)構(gòu)的周期性有關(guān).

3)頻譜寬度(Δω1、Δω2、Δω3和Δω4)和頻率禁帶寬度(ωg1、ωg2和ωg3)并未受到原子間距變化的影響，說(shuō)明頻譜寬度和頻率禁帶寬度與晶體結(jié)構(gòu)的周期性無(wú)關(guān).

3.2 恢復(fù)力系數(shù)對(duì)晶格振動(dòng)的影響

在原子間距(a)與原子質(zhì)量(m0、m1、m2和m3)保持不變的情況下，令式(9)中的恢復(fù)力系數(shù)分別為β和β/2，其色散關(guān)系曲線如圖4所示，分析圖4曲線可知：

圖4 不同恢復(fù)力系數(shù)下一維四原子鏈色散關(guān)系曲線

1)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)寬度并不隨恢復(fù)力系數(shù)的變化而變化，說(shuō)明簡(jiǎn)約布里淵區(qū)寬度與恢復(fù)力系數(shù)無(wú)關(guān).

2)曲線斜率除了聲學(xué)波ω1隨著恢復(fù)力系數(shù)的減小而變小外，低頻光學(xué)波ω2、中頻光學(xué)波ω3和高頻光學(xué)波ω4曲線斜率變化較不明顯，即聲學(xué)波波速有所減小而光學(xué)波波速變化不大，由此說(shuō)明恢復(fù)力系數(shù)對(duì)聲學(xué)波的波速影響較明顯.

3)隨著恢復(fù)力系數(shù)的減小，4種格波的頻率值相應(yīng)減小，頻譜寬度和頻率禁帶寬度都有變窄趨勢(shì)，由此說(shuō)明帶通濾波器的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮恢復(fù)力系數(shù)變化對(duì)頻譜寬度和頻率禁帶寬度的影響.

3.3 原子質(zhì)量對(duì)晶格振動(dòng)的影響

如前所述，對(duì)于一維四原子鏈，原胞內(nèi)共有4個(gè)不同的原子，質(zhì)量分別為m0、m1、m2和m3.為分別分析每種原子變化對(duì)晶格振動(dòng)的影響，將在原子間距(a)及恢復(fù)力系數(shù)(β)保持不變的情況下，每次只改變4個(gè)原子質(zhì)量中的一個(gè)進(jìn)行數(shù)值模擬分析獲得其色散關(guān)系曲線.即在原子質(zhì)量比為m3/m2/m1/m0=8/4/2/1的基礎(chǔ)上，分別再取m3/m2/m1/m0=8/4/2/1.5、8/4/2.5/1、8/4.5/2/1、8.5/4/2/1.其色散關(guān)系曲線如圖5、圖6、圖7及圖8所示，綜合分析圖5、圖6、圖7及圖8曲線可知：

圖5 不同m0下一維四原子鏈色散關(guān)系曲線

圖6 不同m1下一維四原子鏈色散關(guān)系曲線

圖7 不同m2下一維四原子鏈色散關(guān)系曲線

圖8 不同m3下一維四原子鏈色散關(guān)系曲線

1)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)寬度也不隨著原子質(zhì)量的變化而變化，說(shuō)明簡(jiǎn)約布里淵區(qū)寬度與原子質(zhì)量無(wú)關(guān).

2)原子質(zhì)量對(duì)4種格波的頻率值均有影響，只是對(duì)聲學(xué)波的影響較小，而對(duì)光學(xué)波的影響較大.體現(xiàn)在：當(dāng)m0或m1改變時(shí)，中高頻光學(xué)波頻率值變化較明顯；當(dāng)m2改變時(shí)，低中頻光學(xué)波頻率值變化也明顯；但m3對(duì)所有格波的影響都較不明顯.

3)原子質(zhì)量對(duì)4種格波的頻譜寬度影響較小，而對(duì)頻率禁帶寬度的影響較大.特別地，當(dāng)m0或m1改變時(shí)，低中頻光學(xué)波間以及中高頻光學(xué)波間的頻率禁帶寬度ωg2與ωg3變化較明顯.該結(jié)論對(duì)工程實(shí)際應(yīng)用中帶通濾波器的設(shè)計(jì)可提供一定的理論參考價(jià)值.

4 結(jié)論

本文緊密?chē)@簡(jiǎn)諧及最近鄰雙重近似條件下所獲得的一維j原子鏈晶格振動(dòng)方程組的一般表達(dá)式，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬分析.具體以一維四原子鏈晶格振動(dòng)為例分析了其色散關(guān)系，并進(jìn)一步探討了原子間距、恢復(fù)力系數(shù)及原子質(zhì)量等晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)晶格振動(dòng)的影響.結(jié)果表明：改變正空間中的原子間距直接影響了倒空間中的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)寬度，即隨著原子間距的增大簡(jiǎn)約布里淵區(qū)寬度按照反比例減??；隨著恢復(fù)力系數(shù)的減小，引起了格波頻率值減小、頻譜寬度和頻率禁帶變窄；原胞內(nèi)4種原子質(zhì)量的變化對(duì)4種格波的頻譜寬度、頻率禁帶均有影響.

簡(jiǎn)言之，本文所述內(nèi)容不僅可推出現(xiàn)有固體物理學(xué)教材及文獻(xiàn)中已有的一些重要內(nèi)容，而且還可以推導(dǎo)出一些有意義的新結(jié)論.表明本文所獲得的結(jié)果具有一般性，它對(duì)帶通濾波器的設(shè)計(jì)可提供一定的理論參考價(jià)值.