張毅菲，宋 妮，商慧晶

(中北大學 理學院，山西 太原 030051)

0 引 言

孤立子又被稱為孤子(Soliton)，在不受外界阻力影響的理想狀態(tài)下，其性狀基本穩(wěn)定[1-2]. 目前，對于孤子的精確定義還無法做到統(tǒng)一，但是有關孤子的幾個特性卻是眾所周知的：(1)孤子的能量大多集中在一個狹小的波包中. (2)相互作用后的孤子仍保持原來的速度與振幅屬于孤子間的彈性碰撞； 碰撞之后會發(fā)生相移，即碰撞后孤子的移動軌跡會發(fā)生偏離屬于孤子間的非彈性碰撞. (3)同向孤子相互吸引，異向孤子則相互排斥. 孤子動力學性態(tài)的研究成果對物理實驗和工程實踐具有重大意義.

非線性薛定諤(NLS)方程常用來描述Kerr介質中光孤子的傳播，NLS方程的可積推廣以及高階干擾項修正是學者們研究的熱點. Gerdjikov-Ivanov(GI)方程是NLS方程的一種可積推廣，此方程是理論物理中的一個重要模型，在空間凝聚態(tài)物理和非線性光學中有廣泛應用[3-4]，也稱為帶導數(shù)的非線性薛定諤方程(NLSEIII)[5-6].

(1)

此外，還有兩類帶導數(shù)的NLS方程，分別稱為Kaup-Newell方程[7]和Chen-Lee-Liu方程[8]，這三個方程之間存在含有積分的復雜變換，從其他兩個方程的性質結論很難得到第三個方程的性質結論，因此這三個方程通常分別進行研究. 已經有很多學者對GI方程進行了研究和討論，Xu[9]等通過2-重Darboux變換得到GI方程的呼吸解和怪波解； Yilmaz等[10]基于擬行列式的方法也得到GI方程的解. 目前，關于耦合GI方程高階孤子解間相互作用的研究較少.

本文研究耦合Gerdjikov-Ivanov(cGI)[11-12]方程

|q2|2)2q1=0，

|q2|2)2q2=0

(2)

高階孤子解的相互作用，其中，q1，q2是與自變量x和t有關的波函數(shù)；t是時間變量；x是空間變量.當q1=q2時，方程(2)簡化為方程(1). Zhang等[12]通過研究方程(2)的黎曼-希爾伯特問題獲得到亮-亮孤子解； Wang等[13]利用廣義Darboux變換得到方程(2)的暗-亮孤子； Dong等[14]構造Darboux-dressing變換得到方程(2)的局域波解. 本文利用廣義Darboux變換得到cGI方程的二階孤子和三階孤子解的迭代表達式，通過數(shù)值模擬分析高階孤子間的相互作用和動力學特性.

1 廣義Darboux變換

方程(2)的Lax對為

(3)

Φt=VΦ=(2λ4J+2λ3Q+λ2Q2J+λQxJ+

式中：Φ=(φ(x,t),φ(x,t),χ(x,t))T為(x,t)的三維向量函數(shù)；λ為光譜參數(shù)； T表示向量的轉置，星號表示共軛.利用符號計算，方程(2)可由相容性條件Ut-Vx+[U,V]=0得到.

假設種子解q1[0]=q2[0]=0，代入方程(3)得到Lax對方程對應譜參數(shù)λ=λ1和λ=λ2的解

(4)

式中：Γ1i和Γ2i(i=1,2,3)是自由參數(shù).

構造Φ2[1]=(φ22[1]φ22[1]χ22[1])T=T[1]Φ2[0]，其中

T[1]為達布矩陣，?表示向量的共軛轉置，Φ2[1] 為Lax對方程對應譜參數(shù)λ=λ2的解. 根據(jù)經典Darboux變換，得到方程(2)的一階孤子解的表達式

(5)

式中：P11=|φ11[0]|2+|φ11[0]|2+|χ11[0]|2，Q11=|φ11[0]|2+|φ11[0]|2-|χ11[0]|2.

根據(jù)上述經典達布變換過程，構造方程(2)的廣義達布變換.假設Ψ(λ3+η)=Φ2[1]|λ2=λ3+η是Lax對方程對應譜參數(shù)λ2=λ3+η的解，其中η是小參數(shù)，利用maple將Ψ(λ3+η)在η=0處泰勒展開

Ψ(λ3+η)=Ψ0+Ψ1η+Ψ2η2+…,

(6)

式中：Ψ0=(φ23[0]φ23[0]χ23[0])T,Ψ1=(φ23[1]φ23[1]χ23[1])T，由于表達式較復雜，這里不再詳細給出.定義方程(2)的(N-1)階廣義達布變換(N=2,3)為

(7)

Φ1[1]=(φ24[0]φ24[0]χ24[0])T=Ψ0+T[2]Ψ1,

(8)

q1[N]=q1[N-1]-

q2[N]=q2[N-1]-

(9)

其中

P2(N+1)=|φ2(N+1)[0]|2+|φ2(N+1)[0]|2+

|χ2(N+1)[0]|2,

Q2(N+1)=|φ2(N+1)[0]|2+|φ2(N+1)[0]|2-

|χ2(N+1)[0]|2.

根據(jù)以上可知方程(2)的二階和三階孤子解的表達式為q1[N]和q2[N](N=2,3).

2 二階孤子和三階孤子的動力學特性

基于表達式(9)，在給定譜參數(shù)的前提下，對表達式中自由參數(shù)Γ1i和Γ2i(i=1,2,3)取值，研究零振幅背景下二階和三階孤子的動力學特性.

N=2時，討論二階孤子的動力學特性.根據(jù)譜參數(shù)λ1，λ3的實部和虛部是否相等，分為兩種情況：

1) 當Re(λ1)≠Im(λ1), Re(λ3)≠Im(λ3)時，q1和q2具有相同的動力學特性，表現(xiàn)為一個雙峰孤子和單峰孤子的彈性碰撞，發(fā)生碰撞后兩個孤子以原來的振幅和速度繼續(xù)向前運動，如圖 1 所示.

圖 1 Γ11=1,Γ12=2,Γ13=3,Γ21=1,Γ22=2,Γ23=3, λ1=0.25+0.25i,λ3=0.5+0.5i的二階孤子之間的彈性碰撞Fig.1 Evolution diagram of interaction between second-order solitons at Γ11=1,Γ12=2,Γ13=3,Γ21=1,Γ22=2,Γ23=3, λ1=0.25+0.25i,λ3=0.5+0.5i

2) 當Re(λ1)=Im(λ1), Re(λ3)=Im(λ3)時，q1和q2表現(xiàn)為兩個雙峰孤子發(fā)生彈性碰撞，碰撞后孤子的傳播軌跡和能量都沒有發(fā)生改變，在碰撞瞬間能量發(fā)生變化，如圖 2 所示.

圖 2 Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=2, λ1=0.5+0.5i,λ3=0.4+0.4i的二階孤子之間相互作用演化圖Fig.2 Evolution diagram of interaction between second-order solitons at Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=2, λ1=0.5+0.5i,λ3=0.4+0.4i

N=3時，討論三階孤子的動力學特性，比較譜參數(shù)λ1,λ3的實部和虛部，分為兩種情況：

1) 當Re(λ1)≠Re(λ3), Im(λ1)=Im(λ3)時，q1和q2都表現(xiàn)為三個孤子間發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后三個孤子的傳播軌跡和振幅都沒有發(fā)生改變，在碰撞瞬間振幅發(fā)生改變，如圖 3(a)和圖3(b)所示； 保持其他參數(shù)不變，調整Г22=3，q1的三個孤子間發(fā)生非彈性碰撞，沿t軸，單條孤子的振幅隨著時間的變化在減小，相比彈性碰撞，非彈性碰撞瞬間達到的最大振幅變小，能量損失，q1和q2具有相同的動力學特征，這里只展示q1孤子間相互作用演化圖，如圖 3(c) 所示.在情況(1)的前提下，調換譜參數(shù)λ1和λ3的值，q1和q2三個孤子的傳播方向發(fā)生改變，振幅減小，其他動力學特性與情況(1)相同，如圖 4 所示.

圖 3 Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=1,λ1=0.5+0.25i,λ3=1+0.25i的三階孤子之間相互作用演化圖

圖 4 Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=1,λ1=1+0.25i,λ3=0.5+0.25i的三階孤子之間相互作用演化圖Fig.4 Evolution diagram of interaction between third-order solitons at Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1, Γ23=1,λ1=1+0.25i,λ3=0.5+0.25i

2) 當Re(λ1)=Re(λ3)且Im(λ1)=Im(λ3)時，q1和q2的動力學特性相同，三個孤子有相同的傳播方向，傳播過程中振幅出現(xiàn)了有規(guī)律的振蕩，但碰撞前后能量沒有發(fā)生改變，碰撞瞬間的最大振幅為4，三個孤子之間存在彈性碰撞，如圖 5(a) 和圖 5(b)所示； 保持其他參數(shù)不變，調整Γ22=1.2，一個孤子的振幅由碰撞前的2減小為1，能量發(fā)生變化，此時三個孤子間存在非彈性碰撞，這里只展示q1孤子間相互作用演化圖，q2與q1類似，如圖5(c)所示.

圖 5 Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=1,λ1=1+0.25i,λ3=1+0.5i的三階孤子之間相互作用演化圖

3 結 論

本文利用廣義Darboux變換得到cGI方程的二階和三階孤子解的表達式，基于數(shù)值模擬繪制了二階和三階孤子間相互作用演化圖，在取定譜參數(shù)的前提下，通過改變方程解表達式中自由參數(shù)的取值，得到二階和三階孤子在傳播過程中存在的彈性碰撞和非彈性碰撞兩種動力學特性，所得結果進一步豐富了有關cGI方程解的研究.