戴林送,馬秀平

(安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶，246011)

BIRNBAUM[1]提出了應(yīng)力強(qiáng)度模型，記產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度為隨機(jī)變量X，產(chǎn)品所受的應(yīng)力為隨機(jī)變量Y，當(dāng)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)強(qiáng)度比所受的應(yīng)力大時(shí)，系統(tǒng)正常，否則失效，即產(chǎn)品可靠度為R=P(X>Y)。該模型在很多領(lǐng)域有著廣泛地運(yùn)用，如工程，醫(yī)療衛(wèi)生，生物等。

Xgamma分布在可靠性分析中有著重要的應(yīng)用，SAHA等[2]討論了該分布的可靠性特征以及相關(guān)的應(yīng)用。作為xgamma分布的一種推廣，YADAV等[3]提出了逆xgamma分布，這個(gè)新分布相較于指數(shù)分布、xgamma分布等更加靈活，通過運(yùn)用極大似然等方法得到逆xgamma分布中未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，在極大似然估計(jì)中采用了牛頓-拉夫遜迭代算法進(jìn)行了近似求解。對于逆xgamma分布的有關(guān)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，YADAVA等[4]進(jìn)行了詳細(xì)的分析，給出了參數(shù)的信息陣，并在漸進(jìn)刪失方案下運(yùn)用經(jīng)典貝葉斯方法對未知參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并與極大似然方法做了比較。雖然，逆xgamma分布近幾年受到了較多的關(guān)注，但基于該分布的應(yīng)力強(qiáng)度模型相關(guān)研究目前還未發(fā)現(xiàn)。

本文研究基于極大似然方法的逆xgamma分布應(yīng)力強(qiáng)度模型可靠度的點(diǎn)估計(jì)與置信區(qū)間，并通過隨機(jī)模擬和實(shí)例驗(yàn)證該方法的效果。

1 逆xgamma分布下的應(yīng)力強(qiáng)度模型可靠度

由YADAV等[3]可知：若X服從逆xgamma分布，則其概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為

其中，參數(shù)θ>0，記作X～I(xiàn)XGD(θ)。

記應(yīng)力強(qiáng)度模型中的強(qiáng)度變量為X，X～I(xiàn)XGD(θ1)，應(yīng)力變量為Y,Y～I(xiàn)XGD(θ2)，這里X，Y獨(dú)立。

2 基于牛頓迭代法的可靠度極大似然估計(jì)

根據(jù)極大似然估計(jì)，在滿足正則條件下考慮對數(shù)似然函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記x=(x1,x2,…,xn)T和y=(y1,y2,…,yn)T分別為強(qiáng)度與應(yīng)力的樣本，θ=(θ1,θ2)T為未知參數(shù)向量。L(θ)和l(θ)分別為逆xgamma分布應(yīng)力強(qiáng)度模型的似然函數(shù)以及對數(shù)似然函數(shù)，則：

xi,yi>0,i=1,2,…,n;

xi,yi>0,i=1,2,…,n。

對對數(shù)似然函數(shù)l(θ)關(guān)于參數(shù)θ1,θ2分別求一階偏導(dǎo)數(shù)，得：

整理可得：

其中，l(θ0)為對數(shù)似然函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)在θ0處構(gòu)成的矩陣，二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣如下：

矩陣中的元素分別為

3 可靠度的置信區(qū)間

根據(jù)文獻(xiàn)[5]的做法，記R為應(yīng)力強(qiáng)度模型的可靠度，則：

可以看出：應(yīng)力強(qiáng)度模型的可靠度與參數(shù)θ1,θ2有關(guān)。

定理: 可靠度R是參數(shù)θ的函數(shù)， 聯(lián)合分布關(guān)于R的信息陣I(R)與θ的信息陣I(θ)關(guān)系為

由極大似然估計(jì)的不變性與漸進(jìn)正態(tài)性有：

可得：

4 隨機(jī)模擬

針對逆xgamma分布應(yīng)力強(qiáng)度模型可靠度估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行隨機(jī)模擬，參數(shù)的真實(shí)值選擇讓可靠度真實(shí)值有一定的區(qū)別，同時(shí)，參數(shù)之間也有一定區(qū)別，本文參數(shù)真實(shí)值依次為(1.871 4，4.402 5)，(1.176 3，1.528 6)，(2.347 1，1.678 5)和(3.921 6，1.483 2)，相應(yīng)的可靠度真實(shí)值依次為0.255 3，0.409 0，0.609 0和0.707 0，分別產(chǎn)生樣本容量依次為10，50，100，150，200，250和300的樣本，對每種情況重復(fù)2 000次，取2 000次的平均值作為模擬結(jié)果，模擬結(jié)果分別見表1～4。從表1～4中可以看出：隨著樣本容量的增大，可靠度的估計(jì)值越接近真實(shí)值，相應(yīng)地可靠度的置信區(qū)間長度也逐漸減小。另外，可以看出：可靠度的真實(shí)值大小也會(huì)影響極大似然估計(jì)值，如真實(shí)值為0.255 3 與 0.409 0，即偏小的時(shí)候，估計(jì)值都是從真實(shí)值的右邊逐漸接近；而可靠度真實(shí)值為較大的0.609 0與0.707 0時(shí)，估計(jì)值從真實(shí)值的左邊逐漸接近。模擬的效果顯著，方法可行。

表1 參數(shù)值(θ1,θ2)=(1.871 3,4.402 5)時(shí)模擬情況Table 1 Results of simulation for θ1=1.871 3 and θ2=4.402 5

在得到可靠度極大似然估計(jì)結(jié)果以后，記極大似然(ML)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為Er(R)，即

其中，M為迭代次數(shù)。

表2 參數(shù)值(θ1,θ2)=(1.176 3,1.528 6)時(shí)模擬情況Table 2 Results of simulation for θ1=1.176 3 and θ2=1.528 6

表3 參數(shù)值(θ1,θ2)=(2.347 1,1.678 5)時(shí)模擬情況Table 3 Results of simulation for θ1=2.347 1 and θ2=1.678 5

表4 參數(shù)值(θ1,θ2)=(3.921 6,1.483 2)時(shí)模擬情況Table 4 Results of simulation for θ1=3.921 6 and θ2=1.483 2

5 實(shí)例分析

項(xiàng)目故障數(shù)據(jù)首次由CHHIKARA[6]給出，其中，共46個(gè)機(jī)載通信收發(fā)器的修復(fù)時(shí)間，以h為單位。 數(shù)據(jù)1是強(qiáng)度，數(shù)據(jù)2是應(yīng)力，樣本容量都是23。

可以得到參數(shù)的迭代修正極大似然估計(jì)值分別為

即強(qiáng)度X的概率密度函數(shù)為

應(yīng)力Y的概率密度函數(shù)為

由函數(shù)表達(dá)式可以得到項(xiàng)目故障強(qiáng)度X與應(yīng)力Y的概率密度函數(shù)圖像，橫向坐標(biāo)單位為h，縱向?yàn)楦怕拭芏戎?，見圖1和圖2。

圖1 項(xiàng)目故障強(qiáng)度X的概率密度函數(shù)圖Fig.1 Probability density function of project failure strength X

圖2 項(xiàng)目故障應(yīng)力Y的概率密度函數(shù)圖Fig.2 Probability density function of project failure stress Y

因此，對于完全樣本時(shí)變量相互獨(dú)立的逆xgamma分布應(yīng)力強(qiáng)度模型可靠度的估計(jì)，該方法可行，效果顯著。