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        一種相位域低積分旁瓣雷達波形優(yōu)化方法

        2022-04-30 02:00:32王鑫海王超宇張寧陳偉
        雷達學(xué)報 2022年2期
        關(guān)鍵詞:優(yōu)化

        王鑫海 王超宇 張寧 陳偉

        (中國船舶重工集團公司第七二四研究所 南京 211153)

        1 引言

        在雷達預(yù)警探測過程中,雷達波形起著非常重要的作用。對于脈沖壓縮雷達,在相同功率和脈沖寬度的條件下,使用具有低副瓣水平的雷達波形,在測量目標(biāo)與雷達距離時可獲得更高的信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)增益[1]。通過分析雷達反射信號,可以提取與感興趣目標(biāo)相關(guān)的高價值信息。眾所周知,雷達的性能一般由發(fā)射波形和接收處理方法兩個重要因素決定[2]。本文主要研究了恒模波形設(shè)計方法。

        為了獲得最高發(fā)射功率,提高雷達對目標(biāo)的探測性能,現(xiàn)代雷達的功率放大器通常工作在飽和狀態(tài)。這就要求雷達波形的包絡(luò)盡可能恒定。否則會導(dǎo)致發(fā)射波形失真,進而在接收端會導(dǎo)致匹配濾波器輸出增益下降[3]。值得注意的是,為了能夠提高脈沖壓縮雷達的目標(biāo)檢測性能,理想的雷達波形應(yīng)該具有逼近沖激形狀的自相關(guān)函數(shù)[4],這有助于雷達對小目標(biāo)的探測。基于雷達、通信等系統(tǒng)對具有良好自相關(guān)性能波形的需求,早期研究學(xué)者通過解析構(gòu)造、智能尋優(yōu)等手段獲得滿足實際應(yīng)用的波形序列,從二進制序列[5–11]逐漸延伸至多相碼或恒模序列[12–17]。一些具有較好自相關(guān)特性的波形可以通過閉式表達式得到,如Frank序列[12]和Golomb序列[13];一些基于智能尋優(yōu)的波形序列優(yōu)化方法有窮盡法[8]、遺傳算法[9]、啟發(fā)算法[11]和隨機優(yōu)化算法[13,14]等。這些算法計算量巨大,對長度大于等于103量級的序列優(yōu)化是不實際的。使用傳統(tǒng)的隨機信號處理理論,自相關(guān)函數(shù)及其對應(yīng)的功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)構(gòu)成了傅里葉變換對。在理想的條件下時域旁瓣為零的自相關(guān)函數(shù)意味著其對應(yīng)的信號在頻域中具有平坦的頻譜,基于該結(jié)論,文獻[18]和文獻[19]分別提出了循環(huán)算法(Cyclic Algorithm-New,CAN)和周期性循環(huán)算法(Periodic CAN,PeCAN)兩種迭代優(yōu)化技術(shù),可優(yōu)化得到長度大于等于106量級且具有低自相關(guān)積分旁瓣的恒模非周期性和周期性序列。針對非凸優(yōu)化問題,文獻[20]和文獻[21]分別利用基于MM (Majorisation-Minimisation)框架和隨機優(yōu)化技術(shù)實現(xiàn)了低自相關(guān)積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level,ISL)波形優(yōu)化。基于非線性約束優(yōu)化框架,文獻[22]提出了拉格朗日優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Lagrange Programming Neural Network,LPNN)算法,獲得了ISL性能水平低于–250 dB的波形序列。以上方案的共同缺點是計算復(fù)雜度高,尤其是LPNN的計算量異常龐大,不適合實際工程應(yīng)用。為了提高優(yōu)化效率,文獻[23]利用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)框架[24]對恒模波形進行高效的優(yōu)化求解。該方法將復(fù)數(shù)域變量轉(zhuǎn)換為實數(shù)變量,導(dǎo)致了優(yōu)化變量維數(shù)加倍。為了處理恒模序列的優(yōu)化問題,文獻[25]利用共軛梯度法[26]對序列的相位進行優(yōu)化求解,避免了直接處理恒模約束時出現(xiàn)的復(fù)雜計算過程。文獻[27]提出了基于快速傅里葉變換的共軛梯度法對低ISL波形進行尋優(yōu),獲得了最低ISL水平達–318 dB的周期性波形。文獻[28]提出基于MM算法和投影梯度下降法(Projected Gradient Descent algorithm,PGD)的波形優(yōu)化算法,獲得了具有理想模糊函數(shù)的恒模波形序列。

        為了獲得具有類沖激自相關(guān)函數(shù)的恒模波形,本文提出了相位域坐標(biāo)下降法(Phase-only Coordinate-Descent Method,PCDM),將恒模約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為相位域無約束優(yōu)化問題,規(guī)避非凸約束條件,簡化了優(yōu)化問題求解步驟。PCDM算法采用迭代更新的方式對變量進行優(yōu)化求解,直至收斂。為了避免高維度變量梯度求解帶來的較大復(fù)雜度,在每次迭代過程中,PCDM利用閉式解對波形序列進行更新,實現(xiàn)了優(yōu)化變量的高效求解,且波形序列性能優(yōu)于已有算法。

        論文組織安排如下:第2節(jié)對低ISL的恒模波形優(yōu)化問題進行詳細描述;第3節(jié)提出了PCDM算法,推導(dǎo)了具體實現(xiàn)過程,并分析了計算復(fù)雜度;第4節(jié)通過數(shù)值仿真驗證了所提出方法的有效性;第5節(jié)總結(jié)性歸納了本文所提算法的相關(guān)結(jié)論和未來可能的研究方向。

        本文采用粗體小寫字母表示矢量,用粗體大寫字母表示矩陣;轉(zhuǎn)置,共軛和共軛轉(zhuǎn)置運算符分別用符號(·)T,(·)*和(·)H等表示;diag{A}定義為提取矩陣A對角線上元素,使之排列為一列矢量。矢量a的lp范數(shù)定義為‖a‖2;字母j作為虛數(shù)單位;對于復(fù)變量a,其實部和虛部分別表示為?(a)和?(a);0M×N,1M×N和IN分別表示M×N的零矢量,M×N的全1矢量和N×N的單位矩陣。對于復(fù)數(shù)a,|a|和arg(a)分別表示a的模和相位參數(shù)。此外,縮寫“s.t.”表示約束條件。

        2 波形序列優(yōu)化問題

        本節(jié)針對具有低自相關(guān)旁瓣恒模波形優(yōu)化問題的建模過程進行詳細介紹。假設(shè)s=[s0,s1,...,sN?1]T表示均勻采樣長度為N的雷達波形序列。在不失一般性條件下,將序列的幅值固定為1,即[15]

        如果s是周期信號,則它的自相關(guān)函數(shù)定義為

        其中,mod為取模算子。類似地,非周期信號sa的自相關(guān)函數(shù)定義為

        則關(guān)于復(fù)數(shù)恒模波形序列的最小化ISL優(yōu)化問題可表示為

        本文首先以周期波形為例對低ISL周期波形優(yōu)化問題進行建模,相關(guān)結(jié)論可用于非周期波形的設(shè)計。以最小化ISL為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題表示

        其中,目標(biāo)函數(shù)即為波形序列自相關(guān)函數(shù)所有副瓣電平的平方和。

        基于零自相關(guān)旁瓣波形序列具有平坦的功率譜這一結(jié)論,最小化ISL優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可以進行頻域表示。根據(jù)Parseval定理,波形的ISL時域形式可以等價地在頻域中表示[18,19],具體數(shù)學(xué)表示形式為

        其中,u(k)是s(n)的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT),即

        為了規(guī)避求解4次多項式最小化的問題,可將基于功率譜密度表示的目標(biāo)函數(shù)等價為表示頻譜幅度的形式,具體數(shù)學(xué)表達形式為[18]

        令離散傅里葉基矢量為

        因此,u(k)矢量形式可表示為u(k)=。進一步地,若n點DFT基矩陣可為

        然后,式(11)更為緊湊的表達式為[23]

        其中,P和κ可分別構(gòu)造為

        由于恒模約束條件為非凸集,故式(12)為非凸優(yōu)化問題。

        借鑒以上推導(dǎo)方法,非周期波形序列優(yōu)化問題可表示為

        3 相位域坐標(biāo)下降法(Phase-only Coordinate-Descent Method,PCDM)

        以周期波形優(yōu)化問題(12)為例,通過觀察式(12)可將其目標(biāo)函數(shù)展開,則式(12)可轉(zhuǎn)換為

        其中,Ξ=PHP。同理,優(yōu)化問題(15)可轉(zhuǎn)換為與式(17)結(jié)構(gòu)相似的等價問題。

        式(17)中的恒模約束為非凸約束,無法借助CVX[29],Sedumi[30]等凸優(yōu)化工具直接求解。為了將式(17)轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題,避免恒模約束所帶來的復(fù)雜計算過程,本節(jié)提出了相位域坐標(biāo)下降法求解恒模波形。PCDM算法將優(yōu)化變量κ轉(zhuǎn)換為其對應(yīng)相位組成的相位變量,因此,可將恒模約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為相位域的無約束優(yōu)化問題。本節(jié)借助坐標(biāo)下降法思想分析了κ中各元素相位行為與目標(biāo)函數(shù)的解析關(guān)系,從而以最小化目標(biāo)函數(shù)為準(zhǔn)則確定當(dāng)前元素的相位表達式,即用其他元素表示當(dāng)前元素的最優(yōu)值。為了找到κ(i)與目標(biāo)函數(shù)κHΞκ的關(guān)系,以周期波形優(yōu)化問題(17)為例,從目標(biāo)函數(shù)中提取第i個元素κ(i)作為自變量,經(jīng)整理κHΞκ可展開為

        由式(18)可見,κ(i)模值已知,則第1項與κ(i)優(yōu)化無關(guān),第3項為常數(shù),因此只有第2項決定了κ(i)與目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)系。此時針對κ(i)構(gòu)造子優(yōu)化問題為

        此時對κ(i)更新時,其余(2N–1)個元素是固定的,可對其進行單獨求解,則子問題(19)中κ(i)最優(yōu)解的表達式為

        其中

        對于維度為2N的優(yōu)化變量κ,優(yōu)化問題(16)的一次迭代可以分解為2N個關(guān)于一維優(yōu)化變量的子優(yōu)化問題。一次迭代過程可對κ中所有元素更新,通過循環(huán)迭代的方式對κ的相位向量進行多次迭代尋優(yōu),直至滿足終止條件,最終得到κ的優(yōu)化結(jié)果κ?,從而得到最終的優(yōu)化波形s?=κ?(0:N ?1)。綜上所述,PCDM算法對順序優(yōu)化κ(0),κ(1),···,κ(2N?1)的過程可逐一實現(xiàn),直到滿足收斂條件,相應(yīng)的計算復(fù)雜度為完整的PCDM算法過程見表1(以求解式(17)為例)。

        表1 PCDM算法Tab.1 PCDM algorithm

        4 數(shù)值仿真

        本節(jié)將PCDM算法與現(xiàn)有的基于ADMM低ISL波形設(shè)計算法[23]進行了比較。通過MATLAB仿真手段對兩種算法優(yōu)化后的波形自相關(guān)積分旁瓣電平進行比較,驗證PCDM算法的有效性,并通過運行時間(由于計算機配置不同,運算時間統(tǒng)計結(jié)果可能與其他文獻結(jié)果存在差異,本文意在通過統(tǒng)計不同算法在同一平臺的運行時間,比較不同算法的運算效率)的對比,說明PCDM算法在降低計算復(fù)雜度上的優(yōu)勢。仿真參數(shù)設(shè)置:周期與非周期波形序列長度均為1 2 8;計算機配置為I n t e l(R)Core(TM) i5-7500 CPU @ 3.40 GHz,內(nèi)存4 GB;對ADMM的數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果由本文方法復(fù)現(xiàn)所得,雖與文獻[23]中數(shù)據(jù)略有差異,但基本保持一致。

        由于解決非凸優(yōu)化問題時優(yōu)化與初始輸入有關(guān),故本文分別對ADMM算法與PCDM算法做了600次隨機試驗,每次試驗對兩種算法輸入相同初始變量,設(shè)置相同的收斂參數(shù),如表2所示,最終得到的周期波形序列的自相關(guān)函數(shù)如圖1所示,同時對ISL水平低于–250 dB的波形數(shù)量進行了統(tǒng)計,并計算了其在所有產(chǎn)生波形數(shù)量中的占比。從隨機試驗最終結(jié)果可知:ADMM算法的最優(yōu)波形與PCDM算法得到的最優(yōu)波形的ISL分別可達–285.2 dB和–320.2 dB;對于ISL小于–250 dB的序列占比,ADMM算法所得到的波形序列數(shù)量在總試驗次數(shù)中所占比例可達73.83%,PCDM算法的波形序列數(shù)量在總試驗次數(shù)中占比可達到82.20%;ADMM算法和PCDM算法所有序列的平均自相關(guān)函數(shù)如圖2所示,ADMM算法優(yōu)化序列的平均自相關(guān)積分旁瓣經(jīng)統(tǒng)計約為–253.2 dB,PCDM算法所得到所有波形的自相關(guān)函數(shù)ISL平均值經(jīng)統(tǒng)計為–256.9 dB。因此,基于大量試驗的統(tǒng)計結(jié)果,PCDM算法均優(yōu)于ADMM算法,且所獲得最低波形ISL水平優(yōu)于參考文獻[27]。

        圖1 ADMM算法與PCDM算法得到周期波形所對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)Fig.1 Comparison of the autocorrelations of the periodic waveforms obtained by different methods:ADMM and PCDM

        圖2 ADMM算法與PCDM算法得到周期波形所對應(yīng)的平均自相關(guān)函數(shù)Fig.2 Comparison of the average autocorrelations of the periodic waveforms obtained by ADMM and PCDM

        表2 周期波形優(yōu)化兩種算法所用參數(shù)Tab.2 Parameters used in two algorithms in periodic waveform optimization

        為了驗證PCDM算法收斂性能,圖3給出了在相同初始值和迭代終止條件下,ADMM算法與PCDM算法在迭代優(yōu)化周期波形過程中目標(biāo)函數(shù)值的變化情況,在波形序列長度為128和1024兩種情況下,PCDM收斂速度均比ADMM算法的收斂快,且具有更低的收斂值。

        圖3 ADMM算法與PCDM算法優(yōu)化周期波形過程的收斂性能Fig.3 The convergence performance of optimizing the period waveform using the different methods:ADMM and PCDM

        為了進一步評估算法運算效率,兩種算法的計算時間如表3所示。結(jié)果表明,PCDM算法相比ADMM算法耗費時間少4.7206 s(波形序列長度為128時)和157.1160 s(序列長度為1024時),PCDM算法的運算速度更快。

        表3 對于周期波形優(yōu)化ADMM算法與PCDM算法運算耗時比較Tab.3 Comparison of the computational time of ADMM and PCDM(Period)

        對于非周期信號優(yōu)化設(shè)計,ADMM算法與PCDM算法所得最優(yōu)序列的自相關(guān)函數(shù)如圖4所示。在相同初始值和迭代終止條件下,600次隨機試驗中,ADMM所得波形序列的最低ISL為–24.3 dB,PCDM所得波形序列的最低ISL為–26.89 dB。因此,PCDM算法結(jié)果優(yōu)于ADMM算法。由于受波形序列恒模特性的影響,兩種算法所得到的波形自相關(guān)函數(shù)最遠離主瓣的位置始終保持在–42.1442 dB。圖5給出了ADMM算法與PCDM算法所對應(yīng)的600次試驗下的平均自相關(guān)函數(shù),ADMM算法所得的波形序列自相關(guān)副瓣起伏較大,最接近和最遠離主瓣區(qū)域的電平較低,較遠離主瓣區(qū)域的副瓣電平較高,而PCDM算法得到的最優(yōu)波形對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)副瓣相對比較平穩(wěn),更有利于雷達的目標(biāo)檢測等應(yīng)用。

        圖4 ADMM算法與PCDM算法得到非周期波形所對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)Fig.4 Comparison of the autocorrelations of the aperiod waveforms obtained by different methods:ADMM and PCDM

        圖5 ADMM算法與PCDM算法得到非周期波形所對應(yīng)的平均自相關(guān)函數(shù)Fig.5 Comparison of the average autocorrelations of the aperiod waveforms obtained by ADMM and PCDM

        圖6給出了相同初始值和迭代終止條件下,ADMM算法與PCDM算法優(yōu)化非周期函數(shù)的收斂曲線。從放大圖可以看出,PCDM算法與ADMM算法的目標(biāo)函數(shù)最終收斂值幾乎相同,然而PCDM下降速率明顯較快。

        圖6 ADMM算法與PCDM算法優(yōu)化非周期波形過程的收斂性能Fig.6 The convergence performance of optimizing the aperiod waveform using the different methods:ADMM and PCDM

        在優(yōu)化非周期波形時,兩種算法的運行時間統(tǒng)計如表4所示。結(jié)果表明,PCDM算法相比ADMM算法耗費時間少46.9838 s(序列長度為128時)和560.3848 s(序列長度為1024時),PCDM算法運算速度更快。

        表4 對非周期波形ADMM算法與PCDM算法運算耗時比較Tab.4 Comparison of the computational time of ADMM and PCDM (Aperiod)

        通過以上比較可知,本文所提的PCDM算法相比于ADMM算法可以以更大概率獲得低ISL波形,并且計算效率更高。一方面,ADMM算法求解時所考慮的可行集包含了波形幅度與相位兩個維度,而PCDM算法僅以波形的相位域矢量集為可行域,尋優(yōu)范圍大大縮小,故使用PCDM算法更容易獲得低ISL波形序列,且收斂速度更快;另一方面,坐標(biāo)下降法在每一次迭代中采用閉式解更新變量,規(guī)避了求解高維向量梯度,故可進一步提升波形優(yōu)化效率。

        模糊函數(shù)是分析波形性質(zhì)的基本工具。圖7和圖8分別給出了ADMM與PCDM算法所獲得的周期信號和非周期信號的模糊函數(shù)圖。通過比較圖7(a)和圖7(b)及圖8(a)和圖8(b),可知ADMM與PCDM算法所得的波形在零多普勒切面處均有凹陷,這是由于兩種算法所得波形具有多普勒敏感性。在零多普勒切面處,多普勒頻率對波形自相關(guān)無影響,波形具有低自相關(guān)積分旁瓣;而在多普勒非零切面,由于多普勒頻率的調(diào)制作用,改變了波形的自相關(guān)特性,抬高了波形的自相關(guān)積分旁瓣水平。圖7(a)和圖8(a)中零多普勒附近模糊函數(shù)幅度小于0.1的最小歸一化多普勒寬度分別為0.26,0.14,圖7(b)和圖8(b)中零多普勒附近模糊函數(shù)幅度小于0.1的最小歸一化多普勒寬度分別為0.38和0.19。相比于ADMM算法所得波形,PCDM算法所得波形對應(yīng)的模糊函數(shù)小于0.1的最小歸一化多普勒寬度增加了46.15%(周期波形)和35.71%(非周期波形),這說明對于周期/非周期波形在零多普勒附近,PCDM算法所得波形對多普勒調(diào)制的容忍性更優(yōu)。通過比較圖7(a)和圖8(a)、圖7(b)和圖8(b),周期信號相比于非周期波形,模糊函數(shù)在零多普勒切面具有更低的自相關(guān)積分旁瓣。這是由于在求解優(yōu)化問題過程中,周期波形序列中的所有元素均在參與自相關(guān)函數(shù)的計算,而非周期波形序列中參與自相關(guān)函數(shù)計算過程中元素數(shù)量隨著偏移量絕對值的增加而逐漸減少,導(dǎo)致周期波形相對于非周期波形具有更多的自由度,故可以獲得更低的目標(biāo)函數(shù)值,即更低的自相關(guān)積分旁瓣。

        圖7 ADMM與PCDM算法最優(yōu)周期波形的模糊函數(shù)Fig.7 The ambiguity function of the periodic waveform obtained by the different methods:ADMM and PCDM

        圖8 ADMM與PCDM算法最優(yōu)非周期波形的模糊函數(shù)Fig.8 The ambiguity function of the aperiodic waveform obtained by the different methods:ADMM and PCDM

        5 結(jié)論

        針對恒模約束下低自相關(guān)積分旁瓣波形設(shè)計問題的非凸性所帶來的計算復(fù)雜度高的問題,本文提出了相位域低ISL恒模波形的優(yōu)化設(shè)計算法—PCDM算法。PCDM算法將帶約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題,并通過計算閉式解達到快速迭代優(yōu)化波形的目的,即將恒模序列對應(yīng)的相位矢量作為優(yōu)化變量,將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為相位域內(nèi)的無約束優(yōu)化問題,減小計算難度。仿真結(jié)果表明,PCDM算法優(yōu)化波形得到的自相關(guān)性能優(yōu)于現(xiàn)有的基于ADMM算法的最優(yōu)解的自相關(guān)性能。與ADMM算法相比,PCDM算法計算復(fù)雜度更低。未來研究重點將聚焦在控制波形自相關(guān)形狀方面的波形快速設(shè)計問題,并針對新體制雷達對波形提出的新需求,開展進一步探索。

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