何愛美

摘要：幾何類綜合題主要考查學(xué)生對幾何知識的靈活運用能力，其特點在于知識覆蓋面較廣、條件設(shè)置較為隱蔽且關(guān)系較為復(fù)雜.因此，解答幾何類綜合題需要學(xué)生具備扎實的基礎(chǔ)知識和熟練的解題技巧，并掌握一些常見的解題策略.本文中結(jié)合具體案例介紹幾種常見的解答幾何類綜合題的方法，為師生提供參考.

關(guān)鍵詞：幾何綜合題;分析法;方程法;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;解題技巧

1 綜合分析法

綜合分析法具體是指同時對條件和所求結(jié)論進行分析，結(jié)合問題所給信息和問題所求進行理解、聯(lián)想和推導(dǎo)，找到已知條件和問題所求的中間關(guān)聯(lián)點，使已知和未知產(chǎn)生連接.這種同時對條件和問題所求進行分析解題的方法，也被稱為“兩頭湊”.

例1 已知AD是圓O的的直徑，CE⊥AD于點E，連接AC，過A點任作圓O的弦AB交CE（或其延長線）于點F.

求證：AC2=AF·AB.

分析：如圖1，根據(jù)已知條件和具體圖形如△ACE∽△ADC，可知AC2=AE·AD.

因為需要證明的結(jié)論為AC2=AF·AB，

所以可轉(zhuǎn)化為證明AE·AD=AF·AB.

即等價于證明AEAF=ABAD，

于是只需要證明△AEF與△ABD相似即可.

2 方程法

方程法就是利用方程的思想來在幾何圖形中設(shè)置未知數(shù)溝通已知和未知的關(guān)系，然后通過建立方程組求出未知數(shù)，最終解決問題的一種思想方法.這種方法在幾何類綜合題的解題過程中的運用非常廣泛.一般來說，能夠找到線段、角度之間等量關(guān)系的幾何問題都可以考慮運用方程法求解.

例2 如圖2，AB是圓O的直徑，C是半圓上一點，圓C切AB于點D，交圓O于點E，F(xiàn)，連接EF交CD于點M.

求證：CM=MD.

證明：設(shè)CM=x，MD=y，延長CD交圓O于點G，交圓C于點H，如圖3所示.

由垂徑定理和切線性質(zhì)，可得CD=DG.

由相交弦定理，可知

EM·MF=CM·MG=MD·MH.

即xy+x+y=y（x+x+y）.

故x=y.

即CM=MD.

3 數(shù)形結(jié)合法

所謂數(shù)形結(jié)合法，就是同時運用數(shù)量關(guān)系和具體圖象性質(zhì)解答問題的方法.在幾何類綜合題解題過程中，主要有以數(shù)化形或以形代數(shù)兩種解題思路.

例3 如圖4所示，邊長為p的正方形ABCD內(nèi)接于邊長q的正方形EFGH，試求出qp最大值.

分析：直接通過圖形求解qp的最大值難度較大，運用以形代數(shù)的方式，憑借正方形的“內(nèi)接”性質(zhì)得到具體方程式，通過代數(shù)運算解決所求問題.

解：由題意可得，線段BE，AE的長度隨內(nèi)接正方形ABCD的位置的變化而變化.

由勾股定理，可得BE2+AE2=p2.

∵BF=AE，

∴BE2+BF2=p2.

又∵BE+BF=q，

∴BE2+BF2=（BE+BF）2-2BE·BF.

即p2=q2-2BE·BF.

∴BE·BF=q2-p22.

∴BE，BF的長度可看作是一元二次方程x2-qx+q2-p22=0的兩個根.

又∵BE，BF>0，

∴Δ=q2-4（q2-p2）2≥0.

∴q2p2≤2.

又∵qp>1，

∴1

故qp的最大值為 2.

4 化歸轉(zhuǎn)化法

化歸轉(zhuǎn)化法是指將需要解決的幾何問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的問題來解決的方法.這種方法可以化復(fù)雜為簡單，化抽象為具體，通過研究數(shù)學(xué)問題解決的本質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，最終解決問題.

例4 如圖5，已知△ABC的面積為12，BC=6，BC上有一動點P，過點P作PD∥AB交AC于點D，連接PA，假設(shè)PB=x，

當(dāng)x為何值時，△PAD的面積有最大值？最大面積是多少？

分析：求S△PAD的最大值，首先根據(jù)公式得到關(guān)于x的具體表達式.由于△PAD中沒有與x有關(guān)聯(lián)的直接條件，故解題的關(guān)鍵在于找出△PAD與PB存在的間接關(guān)系，并列出關(guān)系式.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)所求三角形面積S△PAD=S△ABC-S△ABP-S△PCD，因此本題可以轉(zhuǎn)化為以下思路求解：

（1）求S△ABP關(guān)于x的解析式;

（2）求S△PCD關(guān)于x的解析式;

（3）求S△PAD關(guān)于x的解析式;

（4）求SPAD有最大值的x的值，并求出面積的最大值.

解：（1）由S△ABC=12，BC=6，可得△ABC的BC邊上的高為4，則△ABP中BP邊上的高也為4，因此S△ABP=2x.

（2）由PD∥AB，可得△DPC∽△ABC.

所以S△PCDS△ABC=（6-x）262.

因此S△PCD=（6-x）23.

（3）S△PAD=S△ABC-S△ABP-S△PCD

=12-2x-（6-x）23

=-13x-32+3.

（4）當(dāng)x-3=0，即x=3時，S△PAD有最大值，△PAD的面積的最大值是3.

例5 如圖6所示，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AD=CD，AC交BD于點E.

求證：AD·CD-AE·EC=DE2.

分析：問題需要證明的等式左右兩邊形式不一致，解題時應(yīng)考慮化簡較為復(fù)雜的一邊，故首先化簡等式的左邊.

由題意可得△ADB∽△EDA，即ADBD=DEAD.

要證明AD·CD-AE·EC=DE2，

等價于證明

BD·DE-AE·EC=DE2.

移項可得BD·DE-DE2=AE·EC，

即

DEBD-DE=AE·EC.

故等價于證明DE·BE=AE·EC.

顯然，運用相交弦定理很容易得到這一結(jié)論，因此這道題就能得到完整地解決.

總而言之，幾何類綜合題在中考試卷中所占分值不容忽視，教師應(yīng)當(dāng)歸納常見的解題策略以幫助學(xué)生靈活應(yīng)對各種題型，最終提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與效率.

參考文獻：

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[2]劉毓?jié)?中考幾何綜合題的應(yīng)對[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（2）：27-28.