符林江

新課標(biāo)指出：培養(yǎng)計算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。在實施建議部分，新課標(biāo)要求教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。新課標(biāo)的要求強(qiáng)調(diào)了計算教學(xué)中算理理解的重要性，教師要讓學(xué)生不僅會算，而且明白為什么這樣算。培養(yǎng)學(xué)生的計算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù)，學(xué)生計算能力的好與壞影響著學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)能力的提高、相關(guān)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)等方面，而且提升學(xué)生的計算能力也是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

但在現(xiàn)有的計算教學(xué)中，許多教師偏重于教學(xué)算法的多樣化，忽略了引導(dǎo)學(xué)生理解算理，這樣就顯得有法無理，法無理據(jù)。如果算法失去算理的支撐，一切就變得無道理可言。因此要提高學(xué)生的計算能力，首先要引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握算理，這些就關(guān)系到了教師平時算理教學(xué)的意識、實施和教學(xué)策略。本文以儋州市白馬井鎮(zhèn)中心學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教師和部分學(xué)生為調(diào)查對象，通過教師問卷調(diào)查、學(xué)生測試、深入課堂旁聽計算教學(xué)課的方式，開展了調(diào)查與分析，并以此為基礎(chǔ)探索算理教學(xué)的有效策略。

一、現(xiàn)狀調(diào)查結(jié)果與分析

1.教師問卷調(diào)查與學(xué)生測試成績分析。為了了解算理教學(xué)的現(xiàn)狀，筆者對儋州市白馬井鎮(zhèn)中心學(xué)校25名小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教師及兩個五年級班級進(jìn)行算理計算能力測試，結(jié)果如表1和表2：

從以上調(diào)查結(jié)果來看，大多數(shù)教師比較重視算理的教學(xué)，都知道算理教學(xué)的重要性，平時的計算教學(xué)都有注重算理的教學(xué)意識和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)算理的能力，清楚學(xué)生理解算理會對計算能力有所提升，對算理教學(xué)有一定的認(rèn)知。不過還是有一部分教師不知道算理和算法兩者之間的相互關(guān)系，僅僅停留在表層認(rèn)識。綜合問卷調(diào)查分析，多數(shù)教師都知道算理教學(xué)的重要性，都有這種共識和認(rèn)知，在平時的計算教學(xué)都有進(jìn)行算理講解，讓學(xué)生學(xué)習(xí)算理?？墒歉鶕?jù)學(xué)生的算理計算能力測試成績數(shù)據(jù)表明，大多學(xué)生的計算能力是比較差的，兩個班級的不及格率分別達(dá)到52.4%和54.3%，這意味著有超過一半學(xué)生的計算能力是不過關(guān)的，優(yōu)秀率僅為9.8%和5%，說明部分學(xué)生還未完全掌握算理和算法。

2.反思與疑惑。對比教師問卷調(diào)查和學(xué)生測試成績兩個數(shù)據(jù)，如若教師在計算教學(xué)中都注重算理的教學(xué)，都有意識地去指導(dǎo)講解實施算理學(xué)習(xí)的滲透，反觀學(xué)生的算理計算能力為什么還是偏差，這是值得去思考與反思之處。因此有幾點疑惑：（1）教師在平時的計算教學(xué)時，算理教學(xué)是深入性地探究還是淺層地學(xué)習(xí)？（2）算理教學(xué)采取的策略是否有針對性、有效性？（3）算理教學(xué)的方法是引導(dǎo)式學(xué)習(xí)還是填充式教授？（4）計算教學(xué)是否真正理法結(jié)合，兩者并驅(qū)？（5）平時的計算教學(xué)是否能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣？

3.課堂聽課分析。為了更加深入了解計算教學(xué)中算理教學(xué)的現(xiàn)狀，本校教研室組織教師講授了數(shù)十節(jié)計算教學(xué)示范課。通過對這數(shù)十節(jié)計算教學(xué)課的觀察發(fā)現(xiàn)存在許多不容忽視的問題，現(xiàn)分析計算教學(xué)課算理的教學(xué)現(xiàn)狀。（1）在教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)是被動式地接受學(xué)習(xí)，教學(xué)方式比較機(jī)械化，形成一問一答，不問不答的程序化現(xiàn)狀。學(xué)生缺乏主動探索、發(fā)現(xiàn)、驗證等學(xué)習(xí)過程，由此學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就得不到很好的培養(yǎng)。（2）教師在計算教學(xué)中，對算理的講解只是簡單介紹，一帶而過，學(xué)生根本不曉其理，只能照葫蘆畫瓢。（3）計算教學(xué)脫離生活實際聯(lián)系，俗話說：“數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸于生活。”如果脫離生活實際，就體現(xiàn)不了數(shù)學(xué)的價值。（4）過于側(cè)重算法多樣化的機(jī)械訓(xùn)練，算法的多樣化形成和掌握的前提就是首先要弄清其中的道理，道理都沒有弄清何談算法樣式的變化，這樣的教學(xué)是脫離實際的。綜上得知小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主要存在的問題是教學(xué)中采取的方法與策略比較單一、機(jī)械、生硬、枯燥?；诖?，筆者針對性地提出了解決對策。

二、解決對策

1.創(chuàng)設(shè)情境、聯(lián)系生活。喬納森說過：“情境是利用一個熟悉的參考物，幫助學(xué)生將一個要探究的概念與熟悉的經(jīng)驗聯(lián)系起來，引導(dǎo)他們利用這些經(jīng)驗來解釋、說明、構(gòu)建自己的科學(xué)知識。”數(shù)學(xué)源于生活，教師應(yīng)聯(lián)系生活在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)與生活有關(guān)的情境，建立生活數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生真正理解知識。發(fā)現(xiàn)和理解算理是一項比較復(fù)雜的智力活動，所以教師應(yīng)該注重數(shù)學(xué)知識與學(xué)生生活經(jīng)驗的聯(lián)系。改變枯燥乏味的課堂教學(xué)，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在生活中無處不在，充分感受到數(shù)學(xué)的價值，同時利用生活化的情境創(chuàng)設(shè)，將抽象的算理變得直觀化和具體化。

例如教學(xué)乘法分配律時，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣一個生活情境：“媽媽在商場購買了3套衣服，其中每件上衣的價格是125元，每件褲子的價格是85元，媽媽一共花了多少元？”學(xué)生借助情境和根據(jù)已有生活經(jīng)驗進(jìn)行解答，可以先求出一套衣服的價格，再求出3套衣服的價格，進(jìn)而得出媽媽一共花了多少元。①（115+85）×3=200×3=600（元）。也可以先求出3件上衣和3件褲子的價格各是多少元，最后再將上衣與褲子的價格相加。②115×3+85×3=345+255=600（元）。還可以通過去情境化把生活數(shù)學(xué)抽象成學(xué)科數(shù)學(xué)知識，將生活知識從具體的情境中分離抽象出來，幫助學(xué)生理解算理。（115+85）×3=600就是先算115和85的和，再算3個200是多少。115×3+85×3=600就是先算出3個115與3個85各是多少，再求和。學(xué)生借助生活情境建立生活數(shù)學(xué)去理解算理，無形中理解和掌握了算法的多樣化，形成數(shù)學(xué)模型（a+b）×c=a×c+b×c。這一學(xué)習(xí)過程從創(chuàng)設(shè)生活情境→建構(gòu)生活數(shù)學(xué)→去情境化抽象出學(xué)科數(shù)學(xué)理解算理→引出算法多樣化→建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生無形之中掌握了隱藏在情境后面的數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)含義。

2.動手操作、建立表象。《課程標(biāo)準(zhǔn)》在實施建議部分要求注意使學(xué)生能夠有機(jī)會獲得直接經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索交流等獲得基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。組織學(xué)生動手操作，不僅能有效地改變教師一味地講解、學(xué)生被動接受的教與學(xué)方式，讓學(xué)生能夠在“做中學(xué)、想中學(xué)”，親身經(jīng)歷探索、分析和抽象概括，在動作表征中直接獲取經(jīng)驗。因此在算理教學(xué)中學(xué)生要想獲得知識、形成技能和領(lǐng)悟算理算法，其中的動手操作是不可缺少的。

例如在教學(xué)52÷2時，通過擺小棒的方式讓學(xué)生動手操作分一分，把52擺成5捆小棒（每捆10根）和2根小棒。要計算52÷2即先把5捆小棒平均分成2份，每份是2捆（表示把5個十平均分成2份，每份是2個十），余下1捆。再把余下的1捆小棒和2根小棒合成12根小棒，再平均分成2份（表示把12個一平均分成2份，每份是6個一），最后把兩次分得的結(jié)果合起來，即26。

學(xué)生通過動手操作，建立表象，親自去感知、發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識、理解，經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)的過程。同時，這一過程也讓學(xué)生直觀化、具體化地感知算理、理解算理。使得算理摸得著、看得到，也能為學(xué)生探索除法豎式計算過程奠定基礎(chǔ)，從而啟發(fā)他們聯(lián)系操作經(jīng)驗理解并掌握豎式計算的過程與方法。

3.畫圖演示、圖象表征。小學(xué)生的思維是從形象思維逐步向抽象思維發(fā)展，他們對抽象的數(shù)學(xué)知識的理解存在一定困難。小學(xué)階段兒童認(rèn)知水平的最大特點是思維離不開具體直觀的支持。所以需要借助形象直觀豐富的感性材料。而畫圖的方式能使抽象變得形象、復(fù)雜變得簡單、模糊變得清晰，這樣的方式便于學(xué)生對抽象知識的理解和掌握。因此在計算教學(xué)中，對于抽象的算理和復(fù)雜的算法，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖演示直觀地去理解算理，進(jìn)而掌握算法。

例如1-1/2-1/4-1/8-1/16-1/32算式的計算教學(xué)。學(xué)生對該算式進(jìn)行計算時，一般的理解與思考是把分母化異為同，用通分的方法將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，即：1-16/32-8/32-4/32-2/32-1/32，表示求1減去幾個這樣的分?jǐn)?shù)計數(shù)單位（1/32），差是多少，然后再按同分母加減法進(jìn)行計算，即：1-16/32-8/32-4/32-2/32-1/32=1/32或1-（16/32+8/32+4/32+2/32+1/32）=1/32。以上是學(xué)生解答該題型慣常的解題思路。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方式來表示過程，推理出結(jié)果。讓學(xué)生通過探索圖形，直觀地理解其中的道理，進(jìn)而掌握其中的算法。如圖1可以用一個圓、一個正方形或一條線段表示“1”。

在圖形的形象呈現(xiàn)下，學(xué)生通過直觀的觀察發(fā)現(xiàn)把一個整體連續(xù)地減去各個部分，最后剩余的部分是1/32。因此可以推理出前面所連續(xù)減去的部分為1/2、1/4、1/8、1/16、1/32，它們的總和就是31/32。這個計算算式也可以從另一個角度去理解，就是把“一個整體-連續(xù)所減部分的總和=剩余部分”即：1-31/32=1/32。借助圖形的直觀表示，換個角度去思考并進(jìn)行逆向思維的推理，把抽象的算理形象化，把復(fù)雜的算法簡單化，使學(xué)生對算理算法的理解顯得清晰透徹。

4.注重思辨、語義內(nèi)化。思辨是一種思考的方式，也是思維活動的體現(xiàn)。而語言是思維活動的工具，是把思考的過程、結(jié)果現(xiàn)實地反映出來。新《課程標(biāo)準(zhǔn)》實施建議部分提出：“學(xué)生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，教師要注重啟發(fā)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生在思考的過程中構(gòu)建知識體系，形成整體的思路框架，把握知識的來龍去脈。”因此在算理教學(xué)中，教師要結(jié)合動作表征、圖象表征等多元表征，注意引導(dǎo)學(xué)生有序地思考“怎樣算”“為什么這樣算”“依據(jù)是什么”，調(diào)動學(xué)生深入地去探索。讓學(xué)生借助多元表征，深入思考、探究，理順?biāo)悸罚谜Z言表述探究、驗證和推導(dǎo)結(jié)論的思考過程與結(jié)果過程，進(jìn)而達(dá)到內(nèi)化算理鞏固算法目的。

以分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的例題教學(xué)為例：李伯伯家有一塊1/2公頃的地，種土豆的面積占這塊地的1/5，種土豆的面積有多少公頃？求1/2公頃的1/5，教師如果貪圖方便，只要求學(xué)生列出算式1/2×1/5，然后簡單地講解算法1/2×1/5=1×1/2×5=1/10，那么學(xué)生對以上分式的乘法這樣算的依據(jù)是什么，是有疑惑和不解的。為了避免學(xué)生“知其然而不知所以然”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用一張紙來表示1公頃的地。問：請你想辦法先表示出1/2公頃并涂上顏色，再表示出1/2公頃的1/5，該怎么操作呢？請你想一想，說一說。

學(xué)生在具體的操作過程中，一邊操作一邊思考，逐漸構(gòu)建知識框架。學(xué)生根據(jù)獲得經(jīng)驗說明：求1/2公頃的1/5，可以先把一張紙橫著對折，用有色筆涂出其中的一半就是1/2公頃，再把1/2公頃平均分成5份，用有色筆涂出其中的一份，就會發(fā)現(xiàn)1/2公頃的1/5其實就是把1公頃平均分成了（2×5=10）份，取了其中的1份，即（1/1×5）×1=1×1/2×5，所以1/2×1/5=（1/2×5）×1=1×1/2×5=1/10公頃。

通過具象化的教學(xué)，學(xué)生不僅弄清了怎樣算，還明白為什么這樣算的道理和依據(jù)。因此算理教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入探究、思考，在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行思辨，主動構(gòu)建知識體系，再運用語言有序、完整地進(jìn)行表述，從而實現(xiàn)知識的內(nèi)化。

以上是筆者對小學(xué)數(shù)學(xué)算理教學(xué)的現(xiàn)狀分析和采取的解決對策。雖然各校數(shù)學(xué)學(xué)科計算教學(xué)中算理教學(xué)的現(xiàn)狀有所不同，但是算理教學(xué)一直都是計算教學(xué)的重中之重。筆者在算理教學(xué)中采取了創(chuàng)設(shè)情境、動手操作、畫圖演示、思辨內(nèi)化的策略。算理教學(xué)的策略遠(yuǎn)不止于此，因此需要廣大教師長期的研究和探索，在實踐中不斷總結(jié)和完善。

（基金項目：本文系海南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度一般課題“提高小學(xué)中高年級學(xué)生計算能力的策略研究”的研究成果，課題編號：QJY20201068）