林建偉 王志煥

(1.莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,福建莆田 351100;2.華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建泉州 362000;3.金融數(shù)學(xué)福建省高校重點實驗室,福建莆田 351100)

1 引 言

公司債券和股票定價問題是金融數(shù)學(xué)研究的熱點問題,其定價的合理性直接決定著發(fā)行股票和債券公司的融資成本和公司的經(jīng)營效率.Merton[1]首次開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)化方法,對公司債券和股票進行定價.Merton的工作奠定了公司債券定價研究的基礎(chǔ), 但仍存在信用利差估計偏低的問題.基于Merton的工作,大量文獻從不同角度進行推廣和改進,Black等[2]提出首次時間通過模型考慮公司債券定價問題;Leland[3]利用結(jié)構(gòu)化方法,通過選取最佳破產(chǎn)邊界,完成了永久付息票公司債券的定價;Longstaff 等[4]在隨機利率背景下,考慮公司債券定價問題; Zhou[5]在公司資產(chǎn)演化服從跳擴散模型下, 采用隨機分析方法對公司債券進行定價; Chen 等[6]在公司資產(chǎn)演化服從雙指數(shù)跳擴散模型下,采用隨機分析方法考慮了永久公司債券定價問題等.但上述文獻都假定公司一旦宣布破產(chǎn),立即被清算,這與實際市場不符合.事實上,破產(chǎn)公司有權(quán)申請資產(chǎn)重組保護, 獲得一個暫時喘息的機會, 并希望通過資產(chǎn)重組, 使公司擺脫困境.鑒于此, Fan 等[7]首先提出策略債務(wù)支付和股票債券互換兩種不同資產(chǎn)重組模式,采用結(jié)構(gòu)化方法對于具有無限破產(chǎn)保護期永久公司債券進行定價, Fan等[7]的工作為后來人們研究資產(chǎn)重組公司債券定價問題提供了堅實的基礎(chǔ);Francois等[8]在Fan等[7]工作基礎(chǔ)上,采用隨機分析理論和方法,考慮了具有有限破產(chǎn)保護期永久公司債券定價問題;林建偉[9]采用偏微分方程方法和結(jié)構(gòu)化方法,推廣Francois等[8]模型至考慮公司在有限破產(chǎn)保護期內(nèi)策略債務(wù)支付息票大小;Broadie 等[10]采用二叉樹方法,考慮了具有有限破產(chǎn)保護期有限到期日公司債券定價的離散模型;Dai 等[11]通過偏微分方程方法和最優(yōu)停時技巧,在Broadie 等[10]模型基礎(chǔ)上,考慮了相應(yīng)定價的連續(xù)模型;林建偉等[12]采用結(jié)構(gòu)化方法,考慮具有無限破產(chǎn)保護期和有限到期日公司債券定價問題,通過偏微分方程懲罰函數(shù)的方法從理論上嚴格證明了最佳破產(chǎn)邊界的存在唯一性和單調(diào)性等性質(zhì).但上述文獻都僅考慮公司的破產(chǎn)風(fēng)險,而沒有考慮公司債券的流動性風(fēng)險.實際上,流動性是債券市場的生命力所在, 市場的流動性越高, 進行即時交易的成本就越低, 公司的融資成本越低.但市場流動性不足,將使公司增加額外的融資成本,即支付給債券持有者的流動性溢價.Leland 等[13]首次通過滾存風(fēng)險建立信用風(fēng)險和流動性風(fēng)險之間的相關(guān)性,基于結(jié)構(gòu)化方法獲得了公司債券的定價公式和最佳破產(chǎn)邊界,其工作為處理信用風(fēng)險和流動性風(fēng)險相關(guān)性奠定了堅實的基礎(chǔ),具有開創(chuàng)性意義.不足之處在于模型假定債券二級市場具有充足的流動性,與實際市場不符.He等[14]在Leland 等[13]基礎(chǔ)上,通過強度為ξ的Poisson過程來刻畫流動性沖擊所發(fā)生的次數(shù),通過偏微分方程的方法和Laplace變換的技巧,獲得了公司債券,股票價值和最佳破產(chǎn)邊界的表達式;He等[15]進一步考慮具有內(nèi)生債券流動性沖擊強度ξ相應(yīng)的公司債券定價問題;Ericsson等[16]在流動性沖擊強度服從CIR模型[17]下,考慮了具有流動性風(fēng)險公司債券的定價問題;周芳等[18]在公司資產(chǎn)價值受宏觀市場風(fēng)險和微觀流動性風(fēng)險影響下,且兩種風(fēng)險因素之間存在相關(guān)性條件下,考慮了具有流動性風(fēng)險因素的風(fēng)險資產(chǎn)定價問題;Bongaerts等[19]在流動性風(fēng)險和違約風(fēng)險相互獨立前提下,利用資產(chǎn)定價方法,對具有流動性風(fēng)險公司債券進行定價,并考察流動性水平和流動性風(fēng)險關(guān)于定價的影響.但上述文獻都沒有考慮資產(chǎn)重組條款和公司資產(chǎn)的跳躍情形,這與實際不符.事實上,金融市場上常常由于突發(fā)事件,自然災(zāi)害,重大信息的到來造成公司資產(chǎn)價值的劇烈震蕩,單純的幾何布朗運動連續(xù)性特征已經(jīng)不能準確刻畫公司資產(chǎn)價值演化過程,而引入跳擴散模型能夠更好地刻畫公司資產(chǎn)價值的連續(xù)性和跳躍性,因此公司資產(chǎn)價值跳擴散特征的準確刻畫對于公司債券定價的準確性具有重要意義.同時公司宣布破產(chǎn)時,公司資產(chǎn)重組這一重要條款也是影響公司債券定價的重要因素.

鑒于此,本文擬在He 等[14]的工作的基礎(chǔ)上,統(tǒng)一考慮資產(chǎn)跳躍風(fēng)險、資產(chǎn)重組條款和債券流動性風(fēng)險這三個重要經(jīng)濟指標對公司債券定價的影響問題.即在公司標的資產(chǎn)服從跳擴散模型下,基于Fan 等[7]提出的股票債券互換資產(chǎn)重組模式,綜合采用隨機分析的理論方法和結(jié)構(gòu)化方法,考慮具有資產(chǎn)重組和流動性風(fēng)險的公司債券定價問題,建立相應(yīng)公司債券和股票定價的數(shù)學(xué)模型,通過偏微分方程方法和Laplace 變換技巧,獲得公司債券和股票定價的顯式表達式,以及最佳破產(chǎn)邊界解的表達式,并基于定價公式,分析公司資產(chǎn)的跳躍風(fēng)險、資產(chǎn)重組和流動性風(fēng)險對定價的影響和所隱含的金融意義.

2 具有資產(chǎn)重組和流動性風(fēng)險公司債券的定價

2.1 模型基本假設(shè)和納什均衡分配

2.1.1 基本假設(shè)

1) 市場無套利和無風(fēng)險利率為常數(shù)r.

2) 在概率測度空間(Ω,F,{Ft}t≥0,Q)上,公司資產(chǎn)價值Vt演化過程服從跳擴散模型

其中δ表示公司總的現(xiàn)金支付比率,σ表示公司資產(chǎn)的波動率,{Zt}t≥0和{ut}t≥0分別表示鞅測度Q下的標準布朗運動和具有強度為λ的Poisson點過程,且假定兩者互相獨立.

3) 固定債務(wù)結(jié)構(gòu): 公司在任意時刻保持一個連續(xù)債券,累積未付本金共P元,累積支付息票每年共C元.構(gòu)成連續(xù)債券中每個單一債券具有相同到期日T,且連續(xù)債券中各單一債券到期時間是均勻分布的,即在任意時間段(t,t+dt)上,連續(xù)債券的份債券將到期,且需要發(fā)行新債券去替換.

4) 新舊債券替換規(guī)定: 當連續(xù)債券中單一債券到期,公司將發(fā)行具有相同到期日和本金的新債券進行替換.新發(fā)行債券的市場價格可能高于或低于到期債券的本金,為了保持連續(xù)債券的結(jié)構(gòu),兩者產(chǎn)生的盈利或虧損將由公司的股東承擔,即若兩者差額為正,將直接作為紅利支付給股東,但若差額為負,公司將增發(fā)股票,通過股票稀釋來彌補損失.

5) 債券流動性風(fēng)險: 債券持有者面臨著債券市場流動性的沖擊,沖擊時刻通過具有強度為ξ的Poisson點過程{wt}t≥0的跳躍時刻刻畫,且假定{wt}t≥0,{Zt}t≥0和{ut}t≥0三者相互獨立.當沖擊時刻發(fā)生時,債券持有者被迫按照市場價的(1?k)比例出售債券合約,這里0

6) 股東按紅利獲得收益,且最佳破產(chǎn)邊界VB通過使得股票價值最大化選取.

7) 稅盾收益和清算風(fēng)險: 公司因發(fā)行債券可獲得每年稅盾收益πC元,這里0<π <1表示稅盾比例,但當公司宣布破產(chǎn)時,公司將損失α(0<α<1)比例的資產(chǎn)價值.

8) 資產(chǎn)重組模式—股票債券互換模式(Fan等[7]): 當公司宣布破產(chǎn)時,公司首先將債券等價轉(zhuǎn)化為股票,使得公司成為全股票融資公司,然后向外界投資者出售,獲得破產(chǎn)時刻公司的資產(chǎn)價值VB,由此避免直接清算造成的資產(chǎn)損失αVB.最后根據(jù)納什均衡原理對公司的資產(chǎn)價值VB在債權(quán)人和股東之間進行重組,并確定債權(quán)人和股東相應(yīng)最佳分配比例.

2.1.2 納什均衡分配

當公司的資產(chǎn)價值下降觸碰到公司的最佳破產(chǎn)邊界VB時,公司宣布破產(chǎn),若公司直接被清算,股票價值將一文不值,債券的價值為(1?α)VB;但是若公司進行資產(chǎn)重組,由基本假設(shè)8),債權(quán)人和股東按照納什均衡分配原理對公司的資產(chǎn)價值VB進行重新分配,即

W(VB)=θVB,D(VB)=(1?θ)VB,

其中W(V)和D(V)分別表示股票價值和全部債券價值,θ表示股東的分配比例.

由納什均衡分配原理,最佳分配比例θ?確定如下

其中ρ(0 ≤ρ≤1)表示股東的談判能力.因此,破產(chǎn)時刻股票和債券的價值表示為

W(VB)=αρVB,D(VB)=(1?αρ)VB.

2.2 單位連續(xù)債券價值定價

等式(1)右邊第一項表示從初始時刻到債券最終停時時刻單位連續(xù)債券所獲得的息票收益.第二項表示在最終停時時刻單位連續(xù)債券價值的貼現(xiàn)值:若發(fā)生流動性沖擊,按照模型基本假設(shè)5)計算單位連續(xù)債券價值,債券持有者只能按照市場價的(1?k)比例出售債券合約;若公司宣布破產(chǎn),公司按照股票債券互換資產(chǎn)重組模式進行資產(chǎn)重組,并依據(jù)納什均衡分配原理,單位連續(xù)債券價值為若到期,單位連續(xù)債券持有者將獲得本金p元.

基于單位連續(xù)債券b(Vt,gt),通過動態(tài)規(guī)劃原理和It公式,可得單位連續(xù)債券價值b(V,g)滿足

對定解問題(P2)進行求解,并返回原變量,有下列結(jié)論.

定理1任意給定破產(chǎn)邊界VB,單位連續(xù)債券價值b(V,g)解的顯式表達式表示為

其中

基于單位連續(xù)債券價值b(V,g)公式(5),對于任意給定破產(chǎn)邊界VB,公司全部債券價值D(V)和單位連續(xù)債券的信用利差J能分別表示為

其中R滿足如下等式

式(8)右邊表示一張具有常數(shù)息票c和到期本金p以及貼現(xiàn)率為R的無風(fēng)險債券的價值.

2.3 公司股票價值定價

對于任一公司宣布破產(chǎn)時刻(停時)τB,由上述模型的基本假定4),6)和8),在風(fēng)險中性測度Q下,股票價值的數(shù)學(xué)模型描述為

其中T[0,+∞)表示所有破產(chǎn)停時的集合.等式(9)右邊第一項表示從初始時刻到停時時刻股東獲得的紅利收益貼現(xiàn)值.第二項表示為了保持連續(xù)債券的結(jié)構(gòu),任意時間段[t,t+dt]上,新舊債券替換所產(chǎn)生的盈利或虧損[b(Vt,T)?p]dt由公司的股東承擔,第三項表示破產(chǎn)時刻,公司通過資產(chǎn)重組獲得收益貼現(xiàn)值.

基于公司股票價值W(V)的數(shù)學(xué)模型(9),通過動態(tài)規(guī)劃原理和It公式,以及結(jié)合確定最優(yōu)破產(chǎn)邊界條件–光滑通過條件,可得W(V)滿足的自由邊界問題為

注意到方程(10)左端含有單位連續(xù)債券價值b(V,T),這給自由邊界問題(Q1)的求解帶來了一定難度,通常的常微分方程的方法無法對其進行求解,借助Laplace變換技巧進行求解,有下列結(jié)論.

定理2公司的股票價值W(V)和最佳破產(chǎn)邊界VB的表達式分別為

詳細的求解過程見附錄.

3 數(shù)值分析

基于公司債券和股票的定價公式(5)和公式(15), 以及最佳破產(chǎn)邊界和信用利差表達式(14)和式(7), 通過與He和Xiong(HX)[14]模型1He和Xiong(HX)模型里不考慮公司資產(chǎn)跳躍風(fēng)險和資產(chǎn)重組條款.比較,分析公司資產(chǎn)跳躍風(fēng)險和資產(chǎn)重組條款對于公司破產(chǎn)邊界和信用利差的影響,以及考察對公司債券和股票價值變化情況.為了方便與HX模型作比較, 選擇HX模型里基本參數(shù)作為數(shù)值計算的基本參數(shù),即:P= 61.68,V0= 100,T= 1,r= 0.08,δ= 0.02,σ= 0.23,C= 6.39,π=0.27,λ=0.05,ξ=1,k=0.01,ρ=0.5,α=0.4.

圖1～圖4顯示當公司資產(chǎn)跳躍強度為零時,相比于HX模型,資產(chǎn)重組條款對于最佳破產(chǎn)邊界,股票價值, 公司債券價值和信用利差所造成的影響.圖1表明最佳破產(chǎn)邊界隨著股東談判因子增大而增大, 但僅當η充分大時,最佳破產(chǎn)邊界值才高于HX 模型中的最佳破產(chǎn)邊界值.同時,最佳破產(chǎn)邊界值關(guān)于債券流動性風(fēng)險單調(diào)增加.實際上,在債券流動性風(fēng)險存在背景下,股東宣布破產(chǎn)時機選擇主要權(quán)衡兩個主要因素:資產(chǎn)重組獲益的大小和承擔新舊債券替換虧損的大小.特別當η= 0.9時,股東能從資產(chǎn)重組中獲得足夠多的利益,第一因素起主要作用,因此股東有更強的意愿提前宣布破產(chǎn)而進入重組程序,使得自己權(quán)益最大化.此外,由于公司債券流動性風(fēng)險越大,股東承擔新舊債券替換虧損風(fēng)險增大,股東面臨的破產(chǎn)風(fēng)險增大,因此最佳破產(chǎn)邊界值越高.

圖1 最佳破產(chǎn)邊界VB關(guān)于η的變化關(guān)系(λ=0)Fig.1 The relationship between optimal bankruptcy boundary VB and η when λ=0

圖2和圖3表明股票價值隨著自身談判因子增大而增大,但股東和債權(quán)人能否借助于資產(chǎn)重組條款獲益依賴于自身談判因子的大小.相比于HX模型,在債券流動性風(fēng)險存在背景下,股東和債權(quán)人往往只能在自身談判因子充分大時借助于資產(chǎn)重組條款獲益.圖4表明公司債券的信用利差隨著股東談判因子增大而增大.實際上,當股東談判因子比較大時,股東有更強意愿提前宣布破產(chǎn),并借助于資產(chǎn)重組條款來最大化自身的利益,由此導(dǎo)致債權(quán)人獲得息票收益總和減少,降低了公司債券價值,從而提高了公司債券的信用利差.

圖2 股票價值W關(guān)于η的變化關(guān)系(λ=0)Fig.2 The relationship between equity value W and η when λ=0

圖3 債券價值b關(guān)于η的變化關(guān)系(λ=0)Fig.3 The relationship between debt value b and η when λ=0

圖4 信用利差J關(guān)于η的變化關(guān)系(λ=0)Fig.4 The relationship between credit spread J and η when λ=0

圖5～圖8顯示當資產(chǎn)重組條款不存在,但公司資產(chǎn)存在跳躍風(fēng)險時,相比于HX模型,公司資產(chǎn)跳躍風(fēng)險對于最佳破產(chǎn)邊界,股票價值,公司債券價值和信用利差所造成的影響.從圖5～圖8可以看出,相比于HX模型,在公司債券流動性風(fēng)險存在背景下,公司資產(chǎn)跳躍風(fēng)險降低了公司的破產(chǎn)風(fēng)險,降低了公司股票和債券的價值,提高了公司債券的信用利差.實際上,當公司資產(chǎn)存在不穩(wěn)定的因素比較多時,公司發(fā)行的股票和債券對于投資者的吸引度和青睞度減弱,由此導(dǎo)致公司股票和債券的市場價值下降,增大公司債券的信用利差.

圖5 最佳破產(chǎn)邊界VB關(guān)于ξ的變化關(guān)系(λ=0.05)Fig.5 The relationship between optimal bankruptcy boundary VB and ξ when λ=0.05

圖6 股票價值W關(guān)于V 的變化關(guān)系(λ=0.05)Fig.6 The relationship between equity value W and V when λ=0.05

圖8 信用利差J關(guān)于ξ的變化關(guān)系(λ=0.05)Fig.8 The relationship between credit spread J and ξ when λ=0.05

4 結(jié)束語

在公司資產(chǎn)價值服從跳擴散模型下,基于Fan等[7]提出股票債券互換資產(chǎn)重組模式,綜合運用隨機分析理論和結(jié)構(gòu)化方法考慮具有資產(chǎn)重組和流動性風(fēng)險公司債券定價問題,刻畫了公司債券和股票價值定價的數(shù)學(xué)模型,并通過偏微分方程的方法和Laplace 變換技巧,獲得了公司債券和股票定價解的顯式表達式,以及最佳破產(chǎn)邊界解的解析表達式.

附錄

定理2的求解過程:

對方程(16)兩邊取Laplace變換,可得

根據(jù)Laplace變換的性質(zhì),以及結(jié)合邊界條件(17)和邊界條件(19),可得

由此可得

進一步化簡可得

其中η,γ為如下方程的兩根,即

且滿足η=z ?a>1和γ=a+z >0,這里

利用b(V,T)的表達式(5),進一步整理可得

由此可得

記M(x;w,a+w,q)=?K(x;w,q), M(x;w,o,a+w)=K(x;w,o),則

由此可得

另外,容易計算

根據(jù)定解條件(18), 可知當x →+∞時,W(x)關(guān)于ex線性增長, 又由于η >1和γ >0, 可得當x →+∞時, 式子(23)中eηx項的系數(shù)必須為零,即

記

式(24)進一步簡化為

由此即可求得最佳破產(chǎn)邊界VB的表達式(14).

最后,綜合式(23)和式(24),并返回原變量V,可得到W(V)的表達式(15). 證畢.