鞏朋成，吳云韜

（1.武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430205；2.智能機(jī)器人湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430205）

0 引言

低截獲（LPI,low probability of intercept）[1]雷達(dá)能夠在探測(cè)目標(biāo)的同時(shí)降低被敵方發(fā)現(xiàn)的概率，為雷達(dá)及其載體的安全性提供保障。LPI 技術(shù)在雷達(dá)發(fā)射端的研究包括三方面[2]：1) 將能量分散在頻率域中，設(shè)計(jì)寬帶波形；2) 將能量分散在時(shí)間域中，設(shè)計(jì)高占空比波形；3) 將能量分散在空間域中，設(shè)計(jì)寬發(fā)射天線波束。本文研究在雷達(dá)完成正常探測(cè)任務(wù)前提下，盡可能降低雷達(dá)在目標(biāo)區(qū)域的發(fā)射功率。

首先，雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)的性能依賴(lài)于輸出信干噪比（SINR,signal to interference plus noise ratio）。近年來(lái)，關(guān)于最大化輸出SINR 的波形設(shè)計(jì)得到關(guān)注，其分為兩類(lèi)。

一類(lèi)是通過(guò)聯(lián)合設(shè)計(jì)發(fā)射波形和接收濾波器使輸出SINR 最大化。文獻(xiàn)[3]提出了一種雜波條件下最大化多輸入多輸出（MIMO,multiple-input multiple-output）雷達(dá)輸出SINR 的發(fā)射波形和接收濾波器的循環(huán)優(yōu)化方法，并將該優(yōu)化方法擴(kuò)展到了帶約束（如恒模和相似性）的波形設(shè)計(jì)。同樣，Cui等[4]為了增強(qiáng)信號(hào)依賴(lài)性雜波下運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)，提出一種恒模和相似性約束下聯(lián)合設(shè)計(jì)空時(shí)發(fā)射編碼和接收濾波器的迭代方法，該方法在每次迭代中將非凸的最大化SINR 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題求解。文獻(xiàn)[5]提出了慢速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)情況下峰均比和發(fā)射功率約束的MIMO 雷達(dá)發(fā)射波形和接收濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)方法，該方法利用半正定規(guī)劃（SDP,semi-denite programming）技術(shù)求解發(fā)射波形和接收濾波器。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于優(yōu)化最小化（MM,majorization-minimization）方法的MIMO 雷達(dá)發(fā)射波形和濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)。針對(duì)同樣的帶約束波形設(shè)計(jì)問(wèn)題，Cheng 等[7]提出了一種聯(lián)合塊連續(xù)上界最小化（BSUM,block successive upper-bound minimization）方法和有效集合法（ASM,active set method）設(shè)計(jì)發(fā)射波形的循環(huán)優(yōu)化方法。

另一類(lèi)是聯(lián)合設(shè)計(jì)發(fā)射和接收波束成形使輸出SINR 最大化。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于最大化SINR 進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器的循環(huán)優(yōu)化方法，但其缺點(diǎn)是利用優(yōu)化工具包CVX求解發(fā)射加權(quán)矩陣。為了有效地抑制干擾信號(hào)并進(jìn)一步提高雷達(dá)系統(tǒng)的性能，黃俊生等[9]提出了一種基于二維相控陣MIMO 雷達(dá)的聯(lián)合發(fā)射子陣劃分和波束成形的設(shè)計(jì)方法。針對(duì)子孔徑MIMO 雷達(dá)最大化SINR 問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]提出了一種功率約束的發(fā)射和接收波束成形聯(lián)合設(shè)計(jì)方法。Cheng 等[11]也研究了雜波和波形相似性約束下最大化MIMO 雷達(dá)SINR 問(wèn)題，并提出了一種基于SDP 方法的發(fā)射和接收波束成形聯(lián)合優(yōu)化方法。

其次，多數(shù)研究LPI 雷達(dá)的文獻(xiàn)利用相控陣實(shí)現(xiàn)特定方向的能量控制，而頻控陣（FDA,frequency diverse array）[12-13]可實(shí)現(xiàn)不同距離處發(fā)射功率控制，這為L(zhǎng)PI 雷達(dá)實(shí)現(xiàn)特定區(qū)域能量控制的應(yīng)用提供了可能。FDA 雷達(dá)的概念是Antonik 等[14]在IEEE雷達(dá)年會(huì)上提出的，其通過(guò)相鄰陣元增加一個(gè)較小的頻率步進(jìn)量，其發(fā)射導(dǎo)向向量不僅依賴(lài)于角度，而且依賴(lài)于距離，即產(chǎn)生了具有角度和距離依賴(lài)性的發(fā)射波束。利用FDA 的發(fā)射方向圖和能量分布可以控制的特性，Wang[15]考慮了動(dòng)目標(biāo)跟蹤的射頻隱身波束成形方法，基于頻控陣的特性，利用稀疏模型設(shè)計(jì)了頻控陣MIMO（FDA-MIMO）雷達(dá)的發(fā)射波束矩陣[16]，以減少采樣快拍數(shù)的同時(shí)獲得足夠的距離和角度分辨率，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)目標(biāo)的距離和角度的聯(lián)合估計(jì)。針對(duì)干擾與目標(biāo)位于同一個(gè)波束內(nèi)的目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題，廖桂生教授團(tuán)隊(duì)[17]利用FDA 的距離角度依賴(lài)性，研究了基于FDA-MIMO 雷達(dá)對(duì)抗欺騙式干擾的原理，進(jìn)一步提出了基于多假設(shè)檢驗(yàn)的干擾樣本挑選方法。

為了解決信號(hào)依賴(lài)性雜波散射體與目標(biāo)位于同一方向上的低截獲問(wèn)題，本文提出一種基于交替方向乘子法（ADMM,alternating direction method of multipliers）[18]的FDA-MIMO 雷達(dá)發(fā)射波束設(shè)計(jì)方法。本文主要的研究工作如下。1) 優(yōu)化準(zhǔn)則，本文方法是在保證每個(gè)天線上發(fā)射能量恒定和輸出SINR約束下，最小化目標(biāo)區(qū)域（距離-方位）的輻射能量。2) 優(yōu)化發(fā)射波束時(shí)，本文沒(méi)有利用二階二次近似方法，而是利用輔助變量和ADMM 相結(jié)合，解決分式規(guī)劃不等式約束的二次規(guī)劃問(wèn)題。3) 分析了本文方法的收斂性和計(jì)算復(fù)雜度。仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文方法的有效性。

1 信號(hào)模型及問(wèn)題描述

1.1 FDA-MIMO 雷達(dá)信號(hào)模型

不失一般性，考慮由Mt個(gè)發(fā)射天線和Mr個(gè)接收天線構(gòu)成的窄帶FDA-MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)，其第m個(gè)天線上的發(fā)射信號(hào)形式可表示為

假設(shè)空間遠(yuǎn)場(chǎng)除了感興趣的點(diǎn)目標(biāo)外，存在Q個(gè)信號(hào)依賴(lài)性的雜波散射體，L個(gè)來(lái)自不同方向的干擾，且第q個(gè)雜波位于(rc,q,θc,q)空間位置，以及第l個(gè)干擾的角度為θj,l。于是，發(fā)射信號(hào)經(jīng)目標(biāo)空間后在接收端通過(guò)下變頻和匹配濾波的信號(hào)為

其中，各因式說(shuō)明如下。

1)β(r,θ)表示目標(biāo)所對(duì)應(yīng)的散射系數(shù)，?表示Kronecker 積，IMr表示M r×Mr階的單位矩陣，a(r,θ)和b(θ)分別表示發(fā)射和接收陣列的導(dǎo)向向量。

其中，c 表示光速，Δφm=-f0(m-1)d tsinθ-(m-1)Δfd tsinθ+(m-1)rΔf，dt和dr表示發(fā)射和接收陣列的陣元間隔。

5)e表示均值為零、協(xié)方差為的復(fù)高斯噪聲。

觀察式(1)和式(3)可知，F(xiàn)DA-MIMO 雷達(dá)通過(guò)相鄰陣元增加一個(gè)較小的頻率步進(jìn)量，其發(fā)射導(dǎo)向向量不僅依賴(lài)于角度，也依賴(lài)于距離，即產(chǎn)生了具有角度和距離依賴(lài)性的發(fā)射波束，這一特性為實(shí)現(xiàn)不同距離處發(fā)射功率控制、以降低雷達(dá)被截獲概率提供可能。

1.2 問(wèn)題描述

設(shè)接收濾波器為x∈CMrK×1，則接收信號(hào)經(jīng)過(guò)濾波器后的輸出信雜噪比（SCNR,signal clutter-plus-noise ratio）為

利用代數(shù)變換，輸出SCNR 可轉(zhuǎn)換為[19]

因此，本文研究在每個(gè)天線上的能量恒定下，結(jié)合SCNR 約束要求，設(shè)計(jì)發(fā)射加權(quán)矩陣和接收濾波器使FDA-MIMO雷達(dá)在目標(biāo)處的輻射功率最小，其優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表示為

其中，(·)*表示共軛運(yùn)算，λ表示目標(biāo)SCNR 門(mén)限，1K表示全1 向量，Et表示每個(gè)天線上的能量。第一個(gè)約束保證目標(biāo)的輸出SCNR 不低于一個(gè)給定的閾值；第二個(gè)約束表示每個(gè)天線上的能量恒定。P(W)表示發(fā)射信號(hào)在目標(biāo)(r,θ)處的功率，其定義為

針對(duì)雜波和干擾情況下低截獲問(wèn)題，本文將其構(gòu)造成分式規(guī)劃不等式約束的二次規(guī)劃問(wèn)題，并提出一種循環(huán)迭代的方法求解該優(yōu)化問(wèn)題。

2 提出的發(fā)射波束設(shè)計(jì)

為了解決優(yōu)化問(wèn)題式(12)，本文將其轉(zhuǎn)化成2 個(gè)子優(yōu)化問(wèn)題，利用循環(huán)迭代的方法求解：1) 隨機(jī)初始化W，利用廣義瑞利熵求解x；2) 根據(jù)獲得的x，基于輔助變量和ADMM 求解W。

2.1 接收濾波器優(yōu)化

觀察式(12)可知，在已知發(fā)射波束矩陣W時(shí)，式(12)的目標(biāo)函數(shù)與x無(wú)關(guān)。于是，式(12)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題

式(14)的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)廣義瑞利熵，因此，很容易獲得式(14)的優(yōu)化解為

2.2 發(fā)射波束優(yōu)化

下面考慮在獲得x情況下，利用ADMM 求解W。首先，利用矩陣變換，式(12)的優(yōu)化問(wèn)題可等價(jià)變換為

式(16)中的不等式約束是分式規(guī)劃問(wèn)題，該問(wèn)題很難求解。對(duì)此，本文將式(16)轉(zhuǎn)化為

針對(duì)式(17)的不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，可以采用SDP 方法求解。然而，基于SDP 的方法需要很高的計(jì)算復(fù)雜度，且其收斂性也無(wú)法保證。對(duì)此，本文利用ADMM 求解式(17)。首先引入輔助變量zl，將式(17)轉(zhuǎn)化為等式約束，即

為了獲得式(18)的有效解，引入輔助變量h，且令h=d，則式(18)轉(zhuǎn)化為

本文利用ADMM 的縮放形式解決式(19)。在ADMM 的框架下，通過(guò)引入變量τ l、u、v，可以將等式約束轉(zhuǎn)化到增廣拉格朗日函數(shù)中，即式(19)的增廣拉格朗日函數(shù)為

其中，ρ1,ρ2,ρ3＞ 0為懲罰參數(shù)。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，ADMM 通過(guò)如下迭代的方式解決式(19)。1) 求解使式(20)最小的h，此時(shí)h的求解依賴(lài)于d,zl,τl,u,v和x，其中，x是由式(15)獲得，d,zl,τl,u,v是由初始值（可以是隨機(jī)數(shù)）獲得。2)根據(jù)獲得的h，求解使式(20)最小的d，此時(shí)d的求解依賴(lài)于h,zl,τl,u,v和x。3) 同理獲得zl。4) 根據(jù)獲得的d,h,zl，更新變量τl。5) 根據(jù)獲得的d,h,z l,τl，更新變量u。6) 同理更新變量v。具體地，在第(n+1)次迭代中，ADMM 的更新步驟如下。

1) 根據(jù)第n次迭代值，求解hn+1。式(19)的最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

為了獲得式(21)的最小值，本文對(duì)式(21)求關(guān)于h導(dǎo)數(shù)，并使導(dǎo)數(shù)為0，即對(duì)式(21)中的三項(xiàng)分別求關(guān)于h導(dǎo)數(shù)，可得

本文推導(dǎo)了雜波情況下波束加權(quán)矩陣設(shè)計(jì)。然而，本文方法也可解決只有干擾和噪聲情況下的加權(quán)波束矩陣設(shè)計(jì)。假設(shè)本文方法求解W時(shí)的外迭代和內(nèi)迭代次數(shù)分別用k和n表示，根據(jù)上面的推導(dǎo)，基于ADMM 的發(fā)射波束設(shè)計(jì)如算法1 所示。

算法1基于ADMM 的低截獲FDA-MIMO 雷達(dá)發(fā)射波束設(shè)計(jì)算法

10)直到x和W收斂，即滿足，其中ε＞ 0。

3 性能分析

3.1 收斂性分析

本文方法每次迭代中需更新x和W。在k+1次迭代時(shí)，利用獲得的Wk優(yōu)化xk+1。利用式(14)，有

接著，在固定xk+1時(shí)，優(yōu)化Wk+1。本文利用ADMM 更新Wk+1，內(nèi)部迭代更新為

利用求解式(21)的最小化問(wèn)題，在n+1次迭代時(shí)，更新hn+1，有

類(lèi)似地，利用式(28)，更新dn+1，有

同理可得

綜上，結(jié)合式(40)～式(42)，有

即證明本文所提方法是收斂的。

3.2 計(jì)算復(fù)雜度分析

4 仿真分析

本節(jié)利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在存在雜波、干擾和噪聲情況下，對(duì)比分析本文方法與文獻(xiàn)[11]中的SDP方法的性能。實(shí)驗(yàn)中FDA-MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置如下：發(fā)射天線和接收天線數(shù)分別為Mt=8和Mr=8；雷達(dá)工作頻率為f0=1GHz，頻率步進(jìn)量為Δf=3 MHz；每個(gè)天線上的發(fā)射能量為Et=1。目標(biāo)空間位置為(50 m,10°)，其功率為20 dB；3 個(gè)與發(fā)射信號(hào)相干的點(diǎn)雜波位于(50 m,-50 °)、(25 m,10 °)和(75 m,40 °)，且雜波功率均為30 dB；2 個(gè)干擾信號(hào)分別來(lái)自-3 0°和60°，其功率均為35 dB；高斯噪聲的協(xié)方差為=0。

4.1 對(duì)比分析收斂性和輸出SCNR 的變化情況

本節(jié)實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析了在不同K和λ時(shí)，本文方法和SDP 方法的收斂性能以及功率隨天線變化情況，如圖1 所示。圖1 中沒(méi)有標(biāo)出K或λ值時(shí)默認(rèn)K=8，λ=18 dB 。圖1(a)和圖1(b)分別顯示了式(12)中的目標(biāo)函數(shù)和輸出SCNR 隨迭代次數(shù)的變化情況。由圖1(a)可知，本文方法和SDP 方法都可以很快收斂，但本文方法收斂后的穩(wěn)定性更好；本文方法的目標(biāo)函數(shù)隨著正交波形數(shù)目K（λ恒定）增加而減?。欢旧喜皇堞耍↘=8）的影響，這也驗(yàn)證了目標(biāo)函數(shù)只與K有關(guān)而與λ無(wú)關(guān)。從圖1(b)可知，相比SDP 方法，本文方法的輸出SCNR 隨著λ（K恒定）增加而增加，這也說(shuō)明SCNR 門(mén)限值越高，可用來(lái)設(shè)計(jì)發(fā)射波束矩陣的自由度越多。此外，由圖1(a)和圖1(b)可知，本文方法經(jīng)過(guò)10 次迭代后滿足了停止條件。

圖1(c)和圖1(d)分別對(duì)比了輸出SCNR 隨雜噪比（CNR,clutter-to-noise ratio）和信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）變化情況。由圖1(c)和圖1(d)可知，當(dāng)λ=18 dB和K=8 時(shí)，SDP 方法輸出SCNR優(yōu)于本文方法；但其他情況下，本文方法的SCNR要優(yōu)于SDP 方法。從圖1(d)也可以看到，本文方法和SDP 方法的輸出SCNR 隨SNR 的增加而線性增加。圖1(e)對(duì)比了在迭代次數(shù)為300 時(shí)，本文方法和SDP 方法的不同天線數(shù)上的發(fā)射功率比較。從圖1(e)可知，相比SDP 方法，本文方法在K=8 時(shí)能更有效地控制發(fā)射功率恒定。

圖1 收斂性能和功率比較

4.2 對(duì)比在目標(biāo)位置處的發(fā)射和接收方向圖

圖2 對(duì)比了在λ=18 dB和不同K值時(shí)，本文方法和SDP 方法在目標(biāo)位置處的發(fā)射和接收方向圖。由圖2(a)和圖2(b)可知，不管在距離維還是角度維，本文方法和SDP 方法的發(fā)射方向圖在目標(biāo)位置處形成的零陷隨著K增加而增加。此外，在相同K值時(shí)，相比SDP 方法，本文方法的發(fā)射方向圖在目標(biāo)處形成更深的零陷。

從圖2(c)可知，在角度維的主瓣區(qū)域，本文方法比SDP 方法能更好地聚焦。SDP 方法在雜波位置-50° 處沒(méi)有形成零陷；而本文方法在雜波位置-50°和10°，以及干擾-30°和60°處，形成的零陷都低于SDP 方法。由圖2(d)可知，在距離維的主瓣區(qū)域，本文方法能更好地在目標(biāo)距離50 m 處能量聚焦，而SDP 方法聚焦性能較差。在雜波位置25 m，本文方法和SDP 方法都形成了準(zhǔn)確的零陷，分別為-100 dB 和-59 dB。因此，不管在距離維還是角度維，本文方法和SDP 方法的接收方向圖在雜波和干擾信號(hào)處形成的零陷隨著K增加而增加；但在相同K值時(shí)，相比SDP 方法，本文方法的發(fā)射方向在雜波和干擾處形成更深的零陷。

圖2 發(fā)射方向圖和接收方向圖比較

3) 對(duì)比分析在雜波位置處的接收方向圖

本文方法和SDP 方法在雜波位置處的接收方向圖如圖3所示。圖3(a)和圖3(b)顯示了本文方法和SDP方法分別在25 m 和75 m 處角度維的接收方向圖。由圖3(a)和圖3(b)可知，本文方法和SDP方法在雜波10°和40°，以及干擾-3 0°和60° 處，分別形成了-100 dB和-50 dB 以上的零陷。圖3(c)展示了本文方法和SDP方法在40 °處距離維的接收方向圖。從圖3(c)可知，本文方法在雜波75 m 處形成了至少-80 dB 以上的零陷，而SDP 方法沒(méi)有抑制75 m 處的波。

圖3 接收方向圖在雜波位置處比較

圖4(a)和圖4(b)分別展示了在λ=18 dB和K=8值時(shí)，SDP 方法和本文方法設(shè)計(jì)波形的回波能量在距離-方位域的分布情況。由圖4 可知，與SDP方法相比，本文方法在干擾和雜波處的線條顏色更深，表明在干擾和雜波處形成了更深的零陷?？傊?，相比SDP 方法，本文方法除了能夠保證目標(biāo)檢測(cè)性能，并實(shí)現(xiàn)目標(biāo)二維（距離-方位）區(qū)域上輻射能量控制外，能更加有效抑制雜波和干擾信號(hào)。

圖4 不同方法設(shè)計(jì)波形的回波能量分布

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)雜波情況下LPI 問(wèn)題，本文提出一種基于ADMM 改進(jìn)的FDA-MIMO 雷達(dá)發(fā)射波束設(shè)計(jì)方法。該方法在保證SCNR 要求的條件下抑制雜波和干擾的同時(shí)，最小化目標(biāo)二維空間區(qū)域的能量輻射。仿真結(jié)果表明，與SDP 方法相比，在相同K值時(shí)，本文方法能有效控制每個(gè)天線上的發(fā)射功率恒定。本文方法除了能夠保證目標(biāo)檢測(cè)性能，并實(shí)現(xiàn)目標(biāo)二維（距離-方位）區(qū)域上輻射能量控制外，能更加有效地抑制雜波和干擾信號(hào)。此外，本文方法也可解決只有干擾和噪聲情況下的發(fā)射波束設(shè)計(jì)。