徐 寒，韓玉蘭，曹曉峰

（寧夏大學(xué) 物理與電子電氣工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

衡量一個算法的好壞往往需要合理的評估方法，因此評估方法是至關(guān)重要的。在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域，一般的評估方法是通過計(jì)算目標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)和目標(biāo)估計(jì)狀態(tài)之間的誤差來實(shí)現(xiàn)的。以點(diǎn)目標(biāo)為例，通常是使用目標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)和估計(jì)狀態(tài)的均方根誤差（RMSE），作為狀態(tài)估計(jì)性能好壞的指標(biāo)[1]。隨著傳感器精度的不斷提高，點(diǎn)目標(biāo)假設(shè)不再成立。在實(shí)際情況下，目標(biāo)在每個時刻可能會占據(jù)多個分辨單元，存在多個量測源，產(chǎn)生多個量測，這樣的目標(biāo)稱之為擴(kuò)展目標(biāo)。擴(kuò)展目標(biāo)的多個量測不僅可以對目標(biāo)的運(yùn)動學(xué)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，還可以提取目標(biāo)的形狀信息。因此，對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀估計(jì)性能進(jìn)行評估是十分重要的。

當(dāng)擴(kuò)展目標(biāo)為規(guī)則形狀時，濾波器對形狀的估計(jì)性能可由其主要參數(shù)的RMSE進(jìn)行度量。例如，針對Koch提出的基于隨機(jī)矩陣（RM）算法[2]，可以采用長軸、短軸、方向的RMSE來度量濾波器對橢圓形擴(kuò)展目標(biāo)的形狀估計(jì)性能，但這種方法不適用于不規(guī)則形狀[3]。為了能夠度量不規(guī)則形目標(biāo)的估計(jì)形狀，部分學(xué)者將計(jì)算機(jī)視覺和圖像處理領(lǐng)域的交并比（IoU）概念引入到擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤中，作為對形狀的估計(jì)性能指標(biāo)。但是IoU方法只采用了面積的交并比，對形狀的相似度不能夠很好地表示，如橢圓形和長方形的IoU值也有可能很大[4]。因此，IoU并不能很好地描述目標(biāo)的估計(jì)形狀和真實(shí)形狀的差異。部分學(xué)者采用擬Jaccard距離來對其進(jìn)行評估，但是在計(jì)算最短距離和最長距離時將估計(jì)形狀和真實(shí)形狀看作一個整體，這無疑忽略了兩者的獨(dú)立性[5-9]，導(dǎo)致了即使估計(jì)的形狀和目標(biāo)的真實(shí)形狀很相似，但是大小不同，得到的擬Jaccard距離會偏大，因此該方法也存在缺點(diǎn)。

為了解決上述問題，本文在Baum提出的隨機(jī)超曲面模型（Random hypersurface model-RHM）的基礎(chǔ)之上，提出了一種基于徑向函數(shù)的擴(kuò)展目標(biāo)形狀估計(jì)的評估方法。提出的方法對每一個角度上估計(jì)距離和到目標(biāo)邊界的真實(shí)距離進(jìn)行了比值運(yùn)算，然后對所有角度下得到的集合求解標(biāo)準(zhǔn)差，利用該集合中數(shù)據(jù)的離散程度來對擴(kuò)展目標(biāo)的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行評估。實(shí)驗(yàn)表明，提出的方法能夠較好地描述估計(jì)形狀和真實(shí)形狀之間相似度的變化。

1 擴(kuò)展目標(biāo)的形狀建模與跟蹤

Baum提出RHM可以描述星凸形目標(biāo)的形狀，對符合星凸形形狀條件的不規(guī)則的擴(kuò)展目標(biāo)直接建模。星凸形可以定義：如果集合S?SN當(dāng)中的任意一個點(diǎn)到質(zhì)心m的線段上所有的點(diǎn)都仍屬于此集合，則集合S形成的形狀稱為星凸形[10-12]。對于星凸形目標(biāo)，可以通過徑向函數(shù)來描述其形狀，其可以展開成如下的傅里葉級數(shù)形式：

其中，θk是k時刻質(zhì)心與邊界點(diǎn)的夾角，R（θk）是傅里葉系數(shù)，ak和bk是組成目標(biāo)形狀參數(shù)的分量。

加入縮放因子s，s∈（0，1]，星凸形擴(kuò)展目標(biāo)形狀S（xk）可以由下面式子來表示：

其中，e（θk）為單位向量，，分別表征了擴(kuò)展目標(biāo)在k時刻的坐標(biāo)、速度。量測方程可以表示：

其中，h是非線性函數(shù)，vk,l是量測噪聲，sk,l是第l個量測點(diǎn)的縮放因子。

2 基于徑向函數(shù)的估計(jì)形狀評估方法

對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀評估可以轉(zhuǎn)化為求解2個封閉曲線的相似度問題。在跟蹤擴(kuò)展目標(biāo)時，如果擴(kuò)展目標(biāo)的估計(jì)中點(diǎn)mk在真實(shí)目標(biāo)的內(nèi)部，則擴(kuò)展目標(biāo)的真實(shí)形狀和估計(jì)形狀的邊界都可以用徑向函數(shù)來表示，基于徑向函數(shù)的擴(kuò)展目標(biāo)形狀估計(jì)評價算法有如下解釋。

以估計(jì)中點(diǎn)mk為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，并引出一條射線，與所建立的平面直角坐標(biāo)系橫軸的正半軸的夾角為θ，到真實(shí)形狀的邊界和估計(jì)形狀的邊界的距離分別是Aθmk和Bθmk，由于星凸形在一個角度上只有一個確定的點(diǎn)，當(dāng)θ確定時，有：

dθ為在角度θ上真實(shí)邊界到估計(jì)邊界的比值，由實(shí)際幾何含義已知，當(dāng)比值dθ>1時，那么在角度為θ處，真實(shí)形狀是大于估計(jì)形狀的，反之則是小于估計(jì)形狀。借助角度均勻離散采樣的思想，在θ上均勻地取N個值，第N個角度用θN表示，將每個角度θ對應(yīng)的比值構(gòu)成的集合定義為Dk，該集合包含了每個角度下的估計(jì)形狀和真實(shí)形狀的相似度。如果該集合中的元素整體變化不大，則說明估計(jì)形狀和真實(shí)形狀很相近。該集合的均值可以表示：

為了描述這種變化，不妨采用總體標(biāo)準(zhǔn)差來表示：

由概率統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，總體標(biāo)準(zhǔn)差σk越小，則說明集合Dk中的元素離散程度越低，真實(shí)形狀和估計(jì)形狀的相似度越高；若總體標(biāo)準(zhǔn)差σk的值越大，則說明真實(shí)形狀和估計(jì)形狀的相似性很差。

由于星凸形的擴(kuò)展目標(biāo)的建模方式為上述的RHM，形狀估計(jì)中的徑向函數(shù)可以直接使用。擴(kuò)展目標(biāo)的估計(jì)形狀用表示，目標(biāo)的真實(shí)形狀用S（Cx）k表示，分別通過徑向距離函數(shù)來表示，即：

其中，θk∈[0，2π），采用角度均勻離散采樣的方式，將上式的連續(xù)集替換成離散集。

上式中，NS為采樣個數(shù)，將上述2個式子帶入到公式（7）中，有：

將式（12）直接帶入到式（8），可以得到基于徑向函數(shù)的擴(kuò)展目標(biāo)形狀評估結(jié)果。

3 仿真與對比性能評估

為了證明提出的評估標(biāo)準(zhǔn)有效性，將提出的算法與擬Jaccard距離算法、IoU算法在2個不同場景下進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，從而說明提出方法的有效性。

本節(jié)使用的擴(kuò)展目標(biāo)為一個十字形目標(biāo)，如圖1所示。目標(biāo)的初始狀態(tài)為x=[20，10，10，10]T。目標(biāo)在二維笛卡爾坐標(biāo)平面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動，設(shè)初始估計(jì)的目標(biāo)形狀為半徑等于3的圓形。每一個時刻獲得的量測的個數(shù)為服從參數(shù)等于20的泊松分布，采樣周期間隔T=1 s。

圖1 擴(kuò)展目標(biāo)的真實(shí)形狀

眾所周知，在擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的過程中，傳感器噪聲對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀估計(jì)效果有著很大的影響。如果傳感器噪聲較小，那么對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀估計(jì)效果應(yīng)該更好，反之亦然。若對同一個目標(biāo)在不同噪聲下獲得的形狀估計(jì)進(jìn)行評估，那么傳感器噪聲較小的估計(jì)形狀應(yīng)該會有更好的指標(biāo)。分別給出2種不同噪聲情況下擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的形狀估計(jì)效果。擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的仿真結(jié)果如圖2所示，局部放大圖如圖3所示，3種不同評估算法對擴(kuò)展目標(biāo)在各個時刻的評估結(jié)果，如圖4所示。

圖2、圖3中，實(shí)線是低噪聲情況下得到的估計(jì)形狀，虛線是高噪聲情況下得到的估計(jì)形狀。在不同噪聲的情況下，每一個時刻獲得的量測數(shù)量是相同的。基于這一場景，考察的是形狀評估算法的可靠性。從圖4可以看出，3種算法均具有較好的可靠性。

圖2 場景1中的星凸形跟蹤估計(jì)圖

圖3 圖2的局部放大圖

圖4 3種不同算法在不同噪聲影響下的形狀估計(jì)評估圖

在低噪聲情況下，為了將每種算法較前一個時刻的優(yōu)化效果量化出來，不妨采用優(yōu)化率對每一個時刻的優(yōu)化效果進(jìn)行量化，結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，采用本文提出的評價方法具有更高的數(shù)值差異，這說明提出的方法具有更高的靈敏性。在第16-17時刻，估計(jì)結(jié)果有了較大的負(fù)優(yōu)化，量化后約為-11.4%。為了找到負(fù)優(yōu)化的原因并驗(yàn)證提出方法的合理性，查找16-17兩個時刻的估計(jì)形狀，找到兩個時刻下徑向函數(shù)中比值偏離均值較大的所在角度，二者差異如圖6所示。

圖5 3種算法在各個時刻的優(yōu)化率

圖6 目標(biāo)在16-17時刻的局部效果圖

從圖6可以看出，在低噪聲情況下（實(shí)線），在箭頭所指的部分，第16個時刻（右下）得到的估計(jì)形狀，比第17個時刻得到的估計(jì)形狀（左上）效果更貼近目標(biāo)的真實(shí)形狀，正是由于這一點(diǎn)的偏差，使得在第17個時刻產(chǎn)生了負(fù)優(yōu)化。而其他2種算法無法將這一細(xì)節(jié)通過數(shù)值來準(zhǔn)確地表示出來，由此可見本文提出方法的靈敏度與可靠性。

以上的仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的基于徑向函數(shù)的擴(kuò)展目標(biāo)形狀估計(jì)的評估算法，是合理且有效的，它對形狀的變化具有高度的靈敏性。

4 結(jié)束語

本文對基于隨機(jī)超曲面的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤，提出了一種基于徑向函數(shù)的形狀估計(jì)評估方法，作為擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤中的形狀估計(jì)好壞的指標(biāo)。實(shí)驗(yàn)證明了該方法是一種有效的度量指標(biāo)，相比較IoU和擬Jaccard距離方法，提出的方法具有好的靈敏性，對目標(biāo)的細(xì)微的變化也可以表示出來。下一步工作擬將其推廣到非星凸形擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤中。