王輝，何天宇，都顯琛，王春潔，2，*

（1.北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100083；2.北京航空航天大學(xué)虛擬現(xiàn)實技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 100083）

隨著通信、遙感測量等領(lǐng)域的發(fā)展，星載天線成為各類衛(wèi)星上的重要功能組件。星載天線中，可展開拋物面天線因收納比大、剛度高、相對于平板天線工作精度更高等特點，受到了廣泛的研究和應(yīng)用。

為了在理論層面上研究并提升拋物面天線的性能，各國學(xué)者開展了大量有意義的研究。文獻(xiàn)［1］闡述了構(gòu)建模塊化拋物面天線的必要性，并分析論證了模塊個數(shù)對拋物面精度的影響。文獻(xiàn)［2］利用ANSYS軟件，建立了桁架式拋物面天線的等效有限元模型，研究了均布的繩索張緊力對天線前10階固有頻率的影響。文獻(xiàn)［3］針對大型可展開拋物面天線，利用ANSYS軟件將繩索以交叉布置與平行布置2種形式對天線的模態(tài)振型影響進(jìn)行了深入研究，得出繩索交叉布置形式對天線剛度提升作用優(yōu)于平行布置的結(jié)論。文獻(xiàn)［4-5］基于星載索桿式拋物面天線的特性，分析了其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并提出了一種全新的索桿張拉構(gòu)型。文獻(xiàn)［6］對拋物面天線張緊繩索的熱變形特性的影響因素進(jìn)行了敏感度分析，探究了減小結(jié)構(gòu)熱變形的方法，并指出減小熱變形應(yīng)該注意的問題。文獻(xiàn)［7］分析了3種拋物面天線的形面誤差，并對3種誤差的優(yōu)缺點進(jìn)行了對比和分析。文獻(xiàn)［8］針對一種索網(wǎng)式拋物面天線，利用有限元法分析了繩索長度公差和繩索預(yù)張力對工作網(wǎng)面精度的影響。文獻(xiàn)［9］采用有限體積法對一種索網(wǎng)式拋物面天線結(jié)構(gòu)進(jìn)行了靜力分析和撓度分析。文獻(xiàn)［10］在含繩索拋物面天線結(jié)構(gòu)的有限元模型基礎(chǔ)上，對結(jié)構(gòu)的固有頻率及模態(tài)振型進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［11］針對索網(wǎng)式拋物面天線結(jié)構(gòu)，基于力密度法，通過優(yōu)化設(shè)計，使天線獲得了較高的網(wǎng)面精度，并求解了最佳的索網(wǎng)預(yù)拉力。文獻(xiàn)［12］通過實驗測試，分析了控制天線展開繩索的壽命，并對影響展開繩索壽命的因素進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［13］對模塊化拋物面天線的構(gòu)型及外層模塊存在的角度誤差進(jìn)行了詳細(xì)推理分析。

上述文獻(xiàn)對拋物面天線的索網(wǎng)構(gòu)型設(shè)計、形面精度及振動特性進(jìn)行了大量的研究，但是針對構(gòu)架式拋物面天線張緊繩索的非均布布置方案的研究并不充分。對此，本文提出了一種新型的繩索分層布置方案，并利用有限元模型對方案的合理性進(jìn)行了驗證?；陧憫?yīng)面模型和多目標(biāo)優(yōu)化方法對繩索張緊力參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。

1 模塊化拋物面天線

1.1 天線構(gòu)型

本文以一種構(gòu)架式可展開拋物面天線為研究對象［1，13-14］，其工作口徑為4 m。該天線的構(gòu)架用于支撐金屬反射網(wǎng)，提高天線整體剛度。金屬反射網(wǎng)是天線的工作部分，負(fù)責(zé)反射傳輸信號。構(gòu)架是金屬反射網(wǎng)的支撐體系，其展開狀態(tài)會影響金屬反射網(wǎng)的精度。因此，保證構(gòu)架展開后的形面精度也是非常重要的。鑒于此，本文重點以拋物面天線構(gòu)架為研究對象，且下文所述的拋物面天線代指構(gòu)架。構(gòu)架主要由7個邊長相等的基本模塊構(gòu)成，中心模塊由6個角度間隔相等且完全相同的基本肋單元組成，周圍6個模塊由角度間隔近似相等的6個基本肋單元組成，整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 拋物面天線構(gòu)架結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure diagram of paraboloid antenna frame

1.2 工作性能評估

為了減弱振動對工作性能的影響，有必要提升天線的結(jié)構(gòu)剛度。提高天線的結(jié)構(gòu)剛度，除了通過改善桿件材料性能和桿件截面尺寸以外，還可以在肋條間加裝張緊繩索。但加裝繩索的同時，會使背架發(fā)生形變，從而產(chǎn)生形面誤差，其變形狀況如圖2和圖3所示。為了更明顯地顯示出形面誤差，圖3將變形尺寸擴(kuò)大了500倍。

圖2 構(gòu)架變形前Fig.2 Frame before deformation

圖3 構(gòu)架變形后Fig.3 Frame after deformation

為了定量分析形面誤差，需要先給出其評價參數(shù)。在拋物面構(gòu)架上選取若干個取樣點，在繩索張緊力的作用下，每個取樣點會偏離原有位置，使天線產(chǎn)生誤差，單個取樣點變形前后的距離及全部取樣點偏移距離的均值表示為

式中：Dxi、Dyi、Dzi為樣本點變形前坐標(biāo)；D＾x*i、D＾y*i、D＾z*i為樣本點變形后的新坐標(biāo)；N為樣本點個數(shù)。

本文以天線的固有頻率作為結(jié)構(gòu)剛度的評價標(biāo)準(zhǔn)，并將天線的若干階固有頻率整合為一個性能評價參數(shù)，其表達(dá)式為

式中：C為天線前m階的平均固有頻率；λi為天線的第i階固有頻率；λ0為指定的基準(zhǔn)頻率。結(jié)合文獻(xiàn)［15］，1階固有頻率對天線的性能影響權(quán)重較大，其他低階固有頻率也對天線的性能有一定的影響，綜合考慮本文研究對象后，取λ0為0.2 Hz。上述方法解決了在以結(jié)構(gòu)固有頻率為研究目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計問題中，仍然存在目標(biāo)函數(shù)振蕩、收斂過程緩慢的問題。

加裝繩索可以提升天線的平均固有頻率，同時會使拋物面產(chǎn)生形面誤差，導(dǎo)致其形面精度降低，天線的2個性能之間存在矛盾，故需要細(xì)化繩索的加裝方法。

2 張緊繩索加裝方法

在繩索張緊力大小相同的情況下，相比于平行布置方案，交叉布置方案對提高天線高階固有頻率的效果更加明顯［3］，因此本文選擇交叉布置方案。

以往的模塊化拋物面天線繩索布置方案中，通常將所有繩索的張緊力大小設(shè)置為相同值［2］，并沒有考慮不同位置繩索加載不同大小張緊力的情況。傳統(tǒng)布置方案雖然提高了天線剛度，但會使天線產(chǎn)生較大的形面誤差。為了解決傳統(tǒng)方案存在的問題，本文在已有研究的基礎(chǔ)上提出了一種新的模塊化拋物面天線繩索張緊力分層加載方案。將張緊繩索由內(nèi)向外按層分成4個部分進(jìn)行張緊力的添加，通過合理配置各層張緊力的大小，達(dá)到既保證天線的剛度，也保證天線的形面誤差最小的目的。天線未展開時，繩索處于松弛狀態(tài)；展開過程中，中心支柱根部彈簧驅(qū)動天線展開；即將到達(dá)指定展開狀態(tài)時，各層繩索依次張緊，同時對繩索張緊力進(jìn)行測量，保證同層繩索中每段受力大小相同，可以實現(xiàn)將中心模塊連接的6個模塊均勻展開，完成展開過程［13］。布置方案如圖4所示。圖中，A、B、C、D、E、F、G分別為組成天線構(gòu)架的7個模塊單元?？紤]到該方案各層繩索的張緊力會存在差異，因此在實際應(yīng)用中需要將張緊繩索分段安裝。

圖4 張緊力繩索布置方案Fig.4 Arrangement scheme of tension rope

天線在展開過程中需保證中心模塊的6個繩索張緊力大小一致，從而使每個肋單元之間的角度相等［13］，新方案中心模塊上的第一層繩索張緊力形成閉合力環(huán)，第二層張緊力對第一層模塊的拉力矢量和為0，滿足要求。外層6個模塊肋單元間隔不完全相同，張緊力存在差別，其角度可依靠第二層接頭處自由度釋放實現(xiàn)調(diào)整［13］。中心模塊受力如圖5所示。圖中各力滿足：

圖5 中心模塊力矢量圖Fig.5 Force vector diagram of central module

3 模塊化拋物面天線結(jié)構(gòu)性能分析

3.1 有限元模型

為了分析天線的結(jié)構(gòu)剛度和形面誤差，本文采用ABAQUS軟件建立有限元模型，如圖6所示。

圖6 拋物面天線有限元模型Fig.6 Finite element model of paraboloid antenna

拋物面天線主要由多個桿件、鉸鏈及繩索組成。有限元模型中采用Bushing元來代替鉸鏈，可以很好地控制鉸鏈的自由度，更接近鉸鏈的真實狀態(tài)。剛度設(shè)置如表1和表2所示，表中D11、D22、D33、D44、D55、D66分別表示Bushing元控制沿X軸、Y軸、Z軸和繞X軸、Y軸、Z軸的剛度。鉸鏈在天線展開過程中是繞其局部坐標(biāo)系的Z軸轉(zhuǎn)動［2］，因此將其Z軸的剛度設(shè)置為較小值。

表1 Bushing元位移剛度參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting of displacement stiffness for Bushing coupling

表2 Bushing元轉(zhuǎn)動剛度參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameter setting of rotational stiffness for Bushing coupling

此外，結(jié)構(gòu)桿件和繩索分別采用梁單元和桁架等效建模，建模方法的合理性在文獻(xiàn)［2］中已進(jìn)行了充分的驗證。等效模型的關(guān)鍵參數(shù)值如表3所示。

表3 模型屬性設(shè)置Table 3 Model property setting

考慮到鉸鏈的質(zhì)量對結(jié)構(gòu)的性能也有一定的影響，在各個桿件的連接點處添加質(zhì)量點，以模擬鉸鏈質(zhì)量［2］。

3.2 結(jié)構(gòu)剛度分析

基于3.1節(jié)所述的有限元模型，本節(jié)對比了傳統(tǒng)方案與本文提出的新方案二者對天線前6階固有頻率的提升能力，配置參數(shù)及分析結(jié)果如表4～表6所示。表中，“方案0”為不加張緊繩索的方案，“方案1”為傳統(tǒng)布置方案，“方案2～方案4”為新型分層布置方案的3種布置方式。

將表6中4種方案對應(yīng)的各階固有頻率分別與表4進(jìn)行對比，傳統(tǒng)繩索張緊力布置方案1和新型繩索分層布置方案2～方案4對拋物面天線的前6階頻率均有提升。說明相對于傳統(tǒng)布置方案，新型布置方案同樣可以起到提升天線剛度的作用，且提升作用不低于傳統(tǒng)方案。

表4 無繩索天線固有頻率及平均固有頻率Table 4 Natural frequency and average natural frequency of cord less antenna

表5 張緊力布置方案Table 5 Tension arrangement scheme

表6 不同方案各階固有頻率及平均固有頻率Table 6 Natural frequency and average natural frequency of each order for different schemes

3.3 形面誤差分析

本文提出的新方案可以在保證天線剛度的同時減小形面誤差。首先，在拋物面天線上選取30個和金屬反射網(wǎng)連接的樣本點，作為天線形面誤差的研究對象，如圖7所示。

圖7 取樣點分布Fig.7 Distribution of sampling points

對于新型繩索預(yù)緊力布置方案，分別求得其對應(yīng)的形面誤差值，將結(jié)果與傳統(tǒng)布置方案的誤差值進(jìn)行對比，如表7所示。

表7 不同方案形面誤差Table 7 Shape error of different schemes

通過將傳統(tǒng)均勻繩索張緊力布置方案1與新型繩索張緊力分層布置方案2～方案4進(jìn)行對比，方案2～方案4條件下的形面誤差均低于方案1。在方案2的繩索張緊力布置條件下，形面誤差降低了62.71%；在方案3的條件下，形面誤差降低了38.42%；在方案4的條件下，形面誤差降低了68.36%；上述3種方案對降低拋物面天線的形面誤差有明顯作用。

表7中各方案的天線變形云圖如圖8所示?？梢钥闯觯瑐鹘y(tǒng)布置方案1和分層布置方案2～方案4在相同變形放大系數(shù)下，后者的變形趨勢明顯比前者的變形趨勢更加平緩。

圖8 拋物面天線變形圖Fig.8 Deformation diagram of paraboloid antenna

4 張緊力參數(shù)優(yōu)化

在新的繩索布置方案下，為使拋物面天線有較高結(jié)構(gòu)剛度的同時保證形面誤差最小，需要對每層繩索的張緊力進(jìn)行優(yōu)化?？紤]有限元模型計算效率較低，如果在優(yōu)化迭代計算中，仍用有限元模型計算拋物面的性能表征參數(shù)將花費(fèi)大量時間。為此，本文采用完全四階多項式建立以繩索力為輸入、形面誤差或平均頻率為輸出的響應(yīng)面模型，利用響應(yīng)面模型參與優(yōu)化迭代計算將大幅度提高計算效率［16-18］。

4.1 建立繩索力優(yōu)化模型

本文選取各層張緊力作為設(shè)計變量，選取平均固有頻率和形面誤差為目標(biāo)函數(shù)。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

4.2 代理模型

為了提高計算效率，本文采用完全四階多項式建立C、T與F1、F2、F3、F4的映射關(guān)系，其一般表達(dá)式為

式中：Y為每組樣本點對應(yīng)的仿真模型計算的真實值組成的n維列向量；X為樣本點輸入量組成的矩陣；α為由多項式待定系數(shù)組成的列向量；Y＾為響應(yīng)面近似函數(shù)值向量；ε為響應(yīng)面近似函數(shù)誤差向量。

式中：0＜RMSE，R2＜1；n為樣本點的個數(shù)；yi為樣本點代入到仿真模型中計算出的結(jié)果；＾yi為響應(yīng)面對應(yīng)的估計值；ˉy為yi的平均值。若RMSE的值越趨近于0，表示擬合精度越高，反之越差；若R2的值越趨近于1，表示擬合精度越高，反之越差。表8為本文擬合出的C、T對應(yīng)響應(yīng)面模型的RMSE及R2。

表8 響應(yīng)面精度系數(shù)Table 8 Response surface accuracy coefficient

結(jié)果顯示，響應(yīng)面模型精度較高，可參與后續(xù)的優(yōu)化計算。

4.3 優(yōu)化計算及結(jié)果分析

在解決多目標(biāo)優(yōu)化問題時，可以通過加權(quán)求和的方式將多個目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成單個目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而采用單目標(biāo)優(yōu)化算法完成優(yōu)化計算，但該方法得到的優(yōu)化結(jié)果比較依賴多個目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重系數(shù)。在本文的優(yōu)化問題中，2個目標(biāo)函數(shù)的取值差異較明顯，不易給出適當(dāng)?shù)臋?quán)重系數(shù)。因此，直接采用非劣排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）完成迭代計算。NSGA-Ⅱ基于帕累托最優(yōu)理論，可獲得多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解集，而非單個最優(yōu)解。優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置如表9所示。

表9 優(yōu)化算法參數(shù)配置Table 9 Parameter configuration of optimization algorithm

優(yōu)化過程中，利用響應(yīng)面模型計算出的C、T近似值來評價天線的性能。經(jīng)過迭代計算，得到該模型的帕累托最優(yōu)解集，繪制該模型對應(yīng)的帕累托前沿曲線，如圖9所示。

圖9 帕累托前沿曲線Fig.9 Curve of Pareto front

通過分析最優(yōu)解集，選取形面誤差最小的配置作為最優(yōu)解，即（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4）＝（271.95，249.21，103.38，101.13）N，將最優(yōu)解代入仿真模型進(jìn)行驗證，驗證結(jié)果如表10所示。

從表10可知，經(jīng)過優(yōu)化后，新分層方案相較于傳統(tǒng)方案使平均固有頻率提升0.1%，形面誤差降低了88.7%。

表10 最優(yōu)解驗證Table 10 Verification of optimal solution

5 結(jié) 論

1）本文以模塊化拋物面天線為研究對象，提出一種分層布置張緊繩索的方法，并采用有限元模型對該方法的合理性進(jìn)行了驗證。仿真結(jié)果表明，該方法在保證結(jié)構(gòu)剛度的同時，可以有效減小張緊力所引起的天線形面誤差。

2）結(jié)合響應(yīng)面模型和NSGA-Ⅱ?qū)Ρ疚姆椒ǖ膹埦o力參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，結(jié)果表明，優(yōu)化后的張緊力參數(shù)可以進(jìn)一步提升拋物面天線的性能。

3）本文方法可為構(gòu)架式可展開拋物面天線的設(shè)計提供理論指導(dǎo)，且可以引入到其他星載天線的設(shè)計過程中。