李林野，鄒 嶸，羅麗平，葉丹戈

（中國電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所，四川 成都 610036）

0 引言

大氣湍流效應(yīng)對激光傳輸?shù)挠绊憦V泛體現(xiàn)在激光成像、激光測距、激光通信以及高能激光系統(tǒng)等工程應(yīng)用領(lǐng)域，相關(guān)的學(xué)者也在大氣湍流對激光傳輸?shù)挠绊懛矫骈_展了相應(yīng)的研究工作[1]。由于大氣湍流對激光傳輸?shù)挠绊懙奈锢肀举|(zhì)是湍流引起傳播光束波前相位的隨機(jī)起伏，所以從已有的研究成果可知，目前常用的研究手段大多為通過構(gòu)建大氣湍流相位屏模擬真實(shí)的大氣湍流環(huán)境，并以激光經(jīng)大氣傳輸至接收端的光束質(zhì)量作為湍流對激光傳輸影響效果的評價依據(jù)。對于陣列合束激光，國內(nèi)外有學(xué)者通過仿真和試驗(yàn)手段對其在大氣中傳輸時受湍流的影響進(jìn)行了深入的分析研究[2]，比較全面地總結(jié)出了不同類型的合束激光在受到不同程度的大氣湍流影響后傳輸至目標(biāo)處的光束質(zhì)量的變化情況。從上述研究可知，用于模擬大氣湍流相位屏的方法大多是以功率譜反演（FFT）法[3]和Zernike 多項(xiàng)式法[4]為主，且模擬生成的湍流相位屏從空間上滿足對應(yīng)的功率譜模型。

大氣湍流的統(tǒng)計特性決定了其相位不僅是空間的函數(shù)，同時也是時間的函數(shù)。因此，在研究激光尤其是連續(xù)激光經(jīng)大氣傳輸后的特性時，大氣湍流的時變特性對于研究過程和結(jié)果顯得尤為重要。因此，本文在進(jìn)行非相干陣列合束激光的傳輸聚焦研究時，充分考慮了時變大氣湍流對激光傳輸特性的影響，分別在不同的大氣相干長度和風(fēng)速條件下構(gòu)建了隨時間變化的大氣湍流相位屏序列，并以激光經(jīng)湍流相位屏序列傳輸至目標(biāo)處的桶中功率比（Power In the Bucket，PIB）作為研究對象。

1 時變大氣湍流模型研究

1.1 相位屏序列構(gòu)造

常用的時變大氣湍流相位屏序列的生成方法主要為湍流凍結(jié)法和樣條插值法。湍流凍結(jié)法[13]基于泰勒湍流凍結(jié)假設(shè)理論。該理論認(rèn)為，在一定的時間間隔內(nèi)，大氣湍流畸變波前的空間相對結(jié)構(gòu)保持不變，在湍流介質(zhì)中以橫向風(fēng)速v掠過光學(xué)孔徑。因此可首先模擬生成一個較大尺度的相位屏（母屏），再根據(jù)橫向風(fēng)速v的大小連續(xù)選取母屏上的子區(qū)域作為子相位屏（子屏），最后將這些子屏構(gòu)成時變相位屏序列。該方法雖然能模擬任意功率譜的大氣湍流，但是模擬生成的母屏數(shù)據(jù)量很大，且低頻成分不突出。為了提高計算效率，本文選擇使用樣條差值法構(gòu)造相位屏序列。

樣條插值法[5]在使用Zernike 多項(xiàng)式法構(gòu)建靜態(tài)的大氣湍流相位屏的基礎(chǔ)上引入了時間變量。Zernike 多項(xiàng)式法可將大氣湍流的靜態(tài)相位表示為如下形式：

若式（1）中第k階多項(xiàng)式系數(shù)ak為滿足某種規(guī)律的時間變量，即可實(shí)現(xiàn)生成時變大氣湍流相位屏序列。因此，可在t=0 時刻，先利用式（1）生成初始靜態(tài)相位，然后當(dāng)t＞0 時，靜態(tài)相位的任意階系數(shù)隨時間變化，且變化過程滿足一定的規(guī)律，即可實(shí)現(xiàn)對時變大氣湍流相位屏序列的模擬，因此可令該序列表示為[6]：

本文選取最常見的滿足Kolmogrov 譜分布的大氣湍流進(jìn)行分析，根據(jù)Tatarski's 模型理論[7]，該譜對應(yīng)的相位屏序列在時域上的相位方差具有高斯隨機(jī)分布的特性，所以式（2）中第k階多項(xiàng)式里的時變系數(shù)Xk可視為時間序列上的高斯隨機(jī)噪聲，其服從均值為0、方差為某一特定值的高斯分布。若只考慮式（2）中的時變狀態(tài)，則令：

式（2）可改寫為：

NOLL 定義了湍流相位的均方殘差，其表達(dá)式可寫為：

式中：ρ為在對應(yīng)的相位分布圓域內(nèi)的歸一化的極坐標(biāo)徑向變量，W(ρ)為單位圓內(nèi)的光瞳函數(shù)。

φ(ρ)為時變湍流相位的理論值，φ(ρ)為時變湍流相位的擬合值，即為式（4），<*>為系綜平均。根據(jù)大氣湍流的統(tǒng)計理論，由于湍流相位屏在系綜域上也滿足高斯分布，所以在后續(xù)推導(dǎo)中將時間平均等同于系統(tǒng)平均考慮。

同時，若選擇使用前K項(xiàng)Zernike 多項(xiàng)式進(jìn)行相位屏擬合，則式（5）經(jīng)過推導(dǎo)后可簡化為如下形式：

FRIED 經(jīng)過計算歸納得到了均方殘差ΔK的取值規(guī)律[8]如表1 所示。表1 中，D為光學(xué)孔徑，r0為大氣相干長度。

將表1 中的計算結(jié)果代入式（6）進(jìn)行遞推計算后，可得到表2 所示的計算結(jié)果。

表1 ΔK 計算結(jié)果

表2 計算結(jié)果

由上述計算結(jié)果可知，只要確定了光學(xué)孔徑D和大氣相干長度r0，即可確定每一個多項(xiàng)式系數(shù)bk平方的系綜平均，而ak為已知參數(shù)，所以由式（4）可計算每一個多項(xiàng)式對應(yīng)的Xk在時間序列上的方差，最終可得到每一個Xk隨時間t變化的序列，同時將序列進(jìn)行3 次樣條插值即得到連續(xù)變化的曲線，它表征了大氣湍流相位屏對應(yīng)的不同的Zernike項(xiàng)隨時間變化的趨勢。

令光學(xué)孔徑D=400 mm，在對應(yīng)激光波長λ=1 080 nm 條件下的大氣相干長度r0=10 cm。圖1 為從經(jīng)過樣條插值后的大氣湍流相位屏序列中任意抽出的連續(xù)變化的9 幅相位屏圖像。

從圖1 可以看出，利用插值法得到的連續(xù)變化的大氣湍流相位屏的變換過程較為平滑，可以更真實(shí)地模擬大氣湍流在時域上的變化狀態(tài)。

圖1 連續(xù)變化的大氣湍流相位屏（從左到右，從上到下）

1.2 大氣湍流相位屏序列數(shù)與時間長度的關(guān)系

對于能量型的激光應(yīng)用系統(tǒng)，在研究大氣對激光傳輸特性的影響時，一般關(guān)心激光傳輸至目標(biāo)處的遠(yuǎn)場光束質(zhì)量，在這個過程中，同時考慮時間的累積效應(yīng)會對研究更有意義，因此本節(jié)將研究把相位屏序列數(shù)與時間長度進(jìn)行關(guān)聯(lián)。根據(jù)泰勒湍流凍結(jié)假設(shè)理論[9]，可以假設(shè)時長t為平均風(fēng)速為v時大氣湍流畸變波前完全掠過口徑為D的光學(xué)孔徑所需的時間。因此，經(jīng)過時間t后，光學(xué)孔徑D對應(yīng)的湍流波前可以用另一個同樣滿足Kolmogorov湍流統(tǒng)計特性的隨機(jī)波前來表示，且t的表達(dá)式為：

同時，與空域尺度上的大氣相干長度r0對應(yīng)，時域尺度上的大氣相干時間τ0也是另外一個重要的大氣參數(shù)，它表示通過大氣到達(dá)系統(tǒng)波前的時間相關(guān)性，不同時刻到達(dá)觀測點(diǎn)的波前，如果時間間隔超過τ0，就認(rèn)為它們之間的相位擾動不再相關(guān)，其表達(dá)式為：

根據(jù)對τ0的定義可知，滿足Kolmogorov 統(tǒng)計特性的大氣湍流在經(jīng)過時間τ0后不再滿足該統(tǒng)計特性。因此，為了保持每一幀大氣湍流相位屏的Kolmogorov 統(tǒng)計特性不被破壞，就需要在t內(nèi)對每一個τ0點(diǎn)間隔進(jìn)行插值以更真實(shí)準(zhǔn)確地模擬大氣湍流的時域變化。需要插值的幀數(shù)N可表示為：

根據(jù)式（8）～式（10）可知，若需要研究的時間長度為T，則對應(yīng)未插值的大氣湍流相位屏序列數(shù)目可表示為：

每個相位屏之間應(yīng)進(jìn)行插值的數(shù)量最少為N-1。

2 時變大氣湍流對激光傳輸特性影響仿真

2.1 激光傳輸建模

以非相干陣列合成形式的激光系統(tǒng)為例，激光經(jīng)過調(diào)焦?fàn)顟B(tài)的發(fā)射望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)擴(kuò)束后傳輸聚焦至L處的傳輸過程可等效為激光先經(jīng)過無焦?fàn)顟B(tài)的擴(kuò)束望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，然后再經(jīng)過焦距為L的單透鏡聚焦。因此，根據(jù)角譜衍射理論，可計算得到激光在真空條件下傳輸距離為L時的復(fù)振幅分布，而大氣湍流相位屏則用于對復(fù)振幅的相位部分進(jìn)行調(diào)制。

對于表征時變狀態(tài)的大氣湍流相位屏序列，可先用序列中每一個相位屏對激光的初始復(fù)振幅的相位部分進(jìn)行調(diào)制，同時得到每一個傳輸后的激光復(fù)振幅，最后再將所有傳輸后的激光復(fù)振幅進(jìn)行相加即可模擬得到受時變大氣湍流影響后的激光光強(qiáng)分布。

令單束激光為基模高斯光束，經(jīng)過發(fā)射望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)后的主要參數(shù)如表3 所示。

表3 激光參數(shù)

結(jié)合表3 的參數(shù)，根據(jù)激光傳輸模型仿真計算后可得激光在真空中傳輸前后的光強(qiáng)分布如圖2所示。

圖2 激光光強(qiáng)分布圖

2.2 不同大氣相干長度對激光傳輸特性的影響

從1.2 節(jié)可知，使用插值法模擬生成大氣湍流相位屏序列時，若陣列激光的光學(xué)孔徑D、激光傳輸時長T確定，則大氣相干長度r0與風(fēng)速v會影響生成的相位屏序列數(shù)量，最終會影響陣列合束激光經(jīng)大氣傳輸后的光束質(zhì)量。

假設(shè)陣列激光的光學(xué)孔徑D=400 mm，激光作用時長T=1 s，且傳輸?shù)沫h(huán)境中風(fēng)速v=3 m·s-1，分別取大氣相干長度為5 cm、10 cm、20 cm 和40 cm，根據(jù)上述參數(shù)以及式（8）～式（11）可計算得到不同大氣相干長度對應(yīng)得到的不同數(shù)量的大氣湍流相位屏序列，同時將其代入激光傳輸模型中進(jìn)行仿真計算，可得到非相干合成形式的陣列激光傳輸聚焦至1 km 處遠(yuǎn)場時的聚焦光斑分布及桶中功率比，如圖3 所示。

圖3 不同大氣相干長度下的激光遠(yuǎn)場光強(qiáng)分布圖

計算桶中功率比所需的環(huán)圍圓是以非相干合成形式的陣列激光在自由空間中傳輸聚焦至l=1 km處時光斑占總功率86.5%范圍對應(yīng)的圓域，其直徑經(jīng)計算為D=60.3 mm，如圖2（b）所示。仿真結(jié)果如圖3 所示，數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如表4 所示。

由圖3 和表4 可知，在相同的作用時間內(nèi)，若其他因素不變，則隨著大氣相干長度增大，即湍流強(qiáng)度減弱，合束激光遠(yuǎn)場光斑直徑會變小，桶中功率比會增大，且逐漸接近理想值。

表4 不同大氣相干長度下激光遠(yuǎn)場參數(shù)

2.3 不同風(fēng)速對激光傳輸特性的影響

在相同的光學(xué)孔徑、大氣湍流條件和激光作用時長條件下，設(shè)置不同的風(fēng)速參數(shù)進(jìn)行仿真，可得到當(dāng)風(fēng)速為1～8 m·s-1時對應(yīng)的激光遠(yuǎn)場桶中功率比。在每一個相同的大氣湍流條件下，當(dāng)光學(xué)孔徑D=400 mm，激光作用時長均T=1 s 時，不同風(fēng)速條件下對應(yīng)的非相干合成形式的陣列激光傳輸聚焦至1 km 處遠(yuǎn)場時的桶中功率比計算結(jié)果如圖4 所示。

圖4 不同風(fēng)速下的桶中功率比

由圖4 可知，在相同的大氣湍流條件下，若激光傳輸時長也不變，則隨著平均風(fēng)速的增大，合束激光傳輸至遠(yuǎn)場的桶中功率比會降低，即光束質(zhì)量下降。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

使用非相干陣列合束激光系統(tǒng)樣機(jī)在外場開展距離為1 km 的傳輸聚焦實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)布局如圖5 所示。

圖5 外場實(shí)驗(yàn)布局圖

實(shí)驗(yàn)選用Spiricon 公司的光束質(zhì)量分析儀，按照圖5 的布局放置好后，對光束質(zhì)量分析儀進(jìn)行背景濾除，再設(shè)置積分時間為1 s，最后進(jìn)行物象比標(biāo)定，得到比例系數(shù)k=39。通過大氣參數(shù)監(jiān)測系統(tǒng)實(shí)時監(jiān)測激光傳輸路徑上的大氣相干長度，當(dāng)r0=20 cm，風(fēng)速v=3 m·s-1時，系統(tǒng)樣機(jī)持續(xù)發(fā)射激光大于1 s。在激光發(fā)射結(jié)束后，讀取光束質(zhì)量分析儀上的測試結(jié)果，如圖6 所示。

圖6 1 km 處光斑測量結(jié)果

根據(jù)光束質(zhì)量分析儀的物象比k以及圖9 中光斑測量值結(jié)果可以得到上述實(shí)驗(yàn)距離下光斑直徑的實(shí)際值。該值與相同聚焦距離下的光斑直徑仿真值（圖3（c））非常接近。而由于桶中功率比與光斑直徑相關(guān)，因此激光桶中功率比的實(shí)際值與仿真值也非常接近，各值的具體參數(shù)如表5 所示。

表5 光斑直徑參數(shù)

4 結(jié)語

本文通過構(gòu)建時變大氣湍流相位屏序列，模擬了真實(shí)條件下大氣湍流隨時間的變化過程，并以非相干陣列合束激光經(jīng)大氣傳輸后的遠(yuǎn)場光斑桶中功率比為研究對象，分別在不同的大氣相干長度和不同的風(fēng)速條件下進(jìn)行了仿真計算。從計算結(jié)果可知，在相同的激光作用時間內(nèi)，合束激光遠(yuǎn)場光斑的桶中功率比會隨大氣相干長度的增大而增大，因?yàn)榇髿庀喔砷L度越大，大氣湍流效應(yīng)越弱，傳輸激光受到大氣的影響就會更小，所以遠(yuǎn)場光束質(zhì)量會更好；而在相同的激光作用時間和相同的大氣相干長度條件下，合束激光遠(yuǎn)場光斑的桶中功率比會隨風(fēng)速的增大而減小，因?yàn)轱L(fēng)速越大，大氣湍流波前畸變分布的變化頻率越快，則在相同的作用時間內(nèi)，傳輸激光就會受到更多不同的湍流波前畸變調(diào)制，最終的遠(yuǎn)場光束質(zhì)量會更差。同時，開展了外場驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在大氣相干長度r0=20 cm，風(fēng)速v=3 m·s-1的大氣條件下，非相干陣列合束激光傳輸聚焦至1 km 時的光斑直徑和桶中功率比與仿真結(jié)果基本一致。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了仿真過程的正確性。綜上所述，本文對大氣湍流的研究與實(shí)際情況更加吻合，可為改善能量型的激光應(yīng)用系統(tǒng)在激光傳輸過程中受大氣的影響提供更全面的參考。