李頌，周長(zhǎng)城，張?jiān)粕?，李鵬雷

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255049；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司，山東 淄博 255410)

螺旋彈簧是最基本的彈性元件之一，廣泛應(yīng)用于汽車等工業(yè)中[1],其中最為常見(jiàn)是圓柱螺旋彈簧[2]。這類彈簧安裝時(shí)，對(duì)空間有一定的要求，但在某些特殊的應(yīng)用中，空間受到限制，使用組合圓柱螺旋彈簧又無(wú)法滿足剛度要求[3-4]，此時(shí)橢圓式螺旋彈簧可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題。

目前，螺旋彈簧設(shè)計(jì)的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)多適應(yīng)于圓形中徑螺旋彈簧[5]，國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究也多以圓柱螺旋彈簧為基礎(chǔ)進(jìn)行。Wahl[6]將螺旋彈簧看作受剪切和扭轉(zhuǎn)作用的圓桿，分析得出了圓柱螺旋彈簧的剛度公式。張健等[7]以改進(jìn)后的精確幾何模型梁?jiǎn)卧獮榛A(chǔ)，對(duì)圓柱螺旋彈簧的非線性特性進(jìn)行了分析。然而目前對(duì)于橢圓形中徑螺旋彈簧的研究卻非常少。張英會(huì)[8]給出了橢圓形彈簧圈螺旋彈簧的變形及應(yīng)力的計(jì)算式，但是此計(jì)算式是將橢圓形中徑等效成圓形中徑彈簧得出的近似修正式。對(duì)于橢圓形絲徑的研究，日本彈簧協(xié)會(huì)以等圓面積法對(duì)橢圓形截面簧進(jìn)行了計(jì)算分析[9]。Gzal等[10]給出了小螺旋角橢圓截面簧的應(yīng)力公式，但其僅考慮扭轉(zhuǎn)應(yīng)力作用，也忽略了曲率的影響。上述文獻(xiàn)所用的研究分析方法雖然準(zhǔn)確，但只考慮了彈簧圈為圓形時(shí)的情況，亦或是未給出準(zhǔn)確的計(jì)算方法。以上方法應(yīng)用于橢圓式螺旋彈簧時(shí)，計(jì)算得出的剛度及應(yīng)力值偏差過(guò)大。

本文根據(jù)橢圓式螺旋彈簧的力學(xué)模型，利用卡氏定理建立其撓度、剛度計(jì)算方法，利用半逆解法建立考慮扭轉(zhuǎn)及彎曲應(yīng)力同時(shí)作用的復(fù)合切應(yīng)力計(jì)算方法。根據(jù)復(fù)合切應(yīng)力計(jì)算方法，總結(jié)橢圓式螺旋彈簧截面復(fù)合切應(yīng)力、彎曲切應(yīng)力以及彈簧圈上應(yīng)力分布情況和變化規(guī)律。最后，通過(guò)實(shí)例參數(shù)對(duì)橢圓式螺旋彈簧進(jìn)行ANSYS仿真驗(yàn)證。

1 橢圓式螺旋彈簧基本參數(shù)

橢圓式螺旋彈簧在軸向的投影輪廓如圖1所示。圖1中，長(zhǎng)半軸為az, 短半軸為bz,R為任意角度αz下彈簧圈的半徑,O為彈簧軸心。

圖1 橢圓式螺旋彈簧中徑參數(shù)

橢圓式螺旋彈簧的簧絲截面如圖2所示。圖2中，長(zhǎng)半軸為as,短半軸為bs,r為任意角度下簧絲的半徑,O1為簧絲形心。

圖2 橢圓式螺旋彈簧絲徑參數(shù)

由三角函數(shù)及比例關(guān)系，可推得任意角度αz、αs下的彈簧圈半徑R、簧絲半徑r表達(dá)式如下：

(1)

式中:kz=az/bz;ks=as/bs。

2 橢圓式螺旋彈簧剛度計(jì)算

如圖1所示，橢圓式螺旋彈簧的投影輪廓關(guān)于橫軸和縱軸對(duì)稱,因此只需對(duì)1/4彈簧圈進(jìn)行力學(xué)分析、推導(dǎo)撓度關(guān)系式。1/4橢圓式螺旋彈簧受力分析模型如圖3所示。

圖3 1/4橢圓式螺旋彈簧力學(xué)模型

彈簧中心受豎直向下的力F, 在彈簧線圈P點(diǎn)上產(chǎn)生一個(gè)力矩M,M與P點(diǎn)法線QQ′的夾角為β。過(guò)P點(diǎn)的切線NN′與橫軸的夾角為ξ, 當(dāng)αz改變時(shí)，半徑R、夾角β及ξ都隨之改變。根據(jù)切線斜率的定義,ξ可表示為

(2)

由角與角的關(guān)系，可以推出角αz、β、ξ之間的關(guān)系如下：

β=αz+ξ。

(3)

P處的力矩M可分解為沿切線方向的扭矩T與沿法線方向的彎矩Me, 表達(dá)式如下：

(4)

根據(jù)彈性力學(xué)知識(shí)，由載荷F作用的1/4橢圓式螺旋彈簧力學(xué)模型的應(yīng)變能U1可表示為

(5)

式中，J、I分別為彈簧截面的極慣性矩和慣性矩，且

(6)

則橢圓式螺旋彈簧總的應(yīng)變能U可表示為

U=4NU1，

(7)

式中N為彈簧的有效圈數(shù)。根據(jù)卡氏第二定理可知，橢圓式螺旋彈簧的撓度為

(8)

由于對(duì)應(yīng)變能U的公式積分化簡(jiǎn)存在一定的難度，因此利用微元法以及疊加原理對(duì)橢圓式螺旋彈簧的撓度進(jìn)行計(jì)算。將1/4彈簧力學(xué)模型的π/2角度等分為90個(gè)微元角，單位微元角為Δα=π/180，則任意角度αzi可表示為

(9)

根據(jù)上述公式，可整理得到橢圓式螺旋彈簧的撓度計(jì)算式

(10)

式中v為泊松比。由式(10)及撓度與剛度的關(guān)系式，可整理得到橢圓式螺旋彈簧剛度K的計(jì)算式為

(11)

3 橢圓式螺旋彈簧復(fù)合切應(yīng)力計(jì)算

3.1 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計(jì)算

橢圓式螺旋彈簧簧絲截面受扭轉(zhuǎn)應(yīng)力如圖4所示。

圖4 橢圓簧絲截面受扭轉(zhuǎn)應(yīng)力示意圖

設(shè)除應(yīng)力分量τ1zx,τ1zy外其余應(yīng)力均為0。根據(jù)彈性力學(xué)理論[11]可知，扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)需滿足微分方程和邊界條件

(12)

式中T為橢圓式螺旋彈簧所受扭矩。設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

(13)

式中m為一常數(shù)，顯然應(yīng)力函數(shù)滿足側(cè)面邊界條件。將式(13)帶入式(12)中的微分方程可求得m。因此，應(yīng)力函數(shù)可整理為

(14)

由彈性力學(xué)理論，可求得剪切應(yīng)力分量為

(15)

式中：γ為單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角；G為剪切模量。根據(jù)端面邊界條件可求得

(16)

式(16)中的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量是在直桿的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，若直接應(yīng)用于彈簧這類大曲率螺旋線上，則會(huì)造成實(shí)際誤差偏大；因此，需要引入扭轉(zhuǎn)應(yīng)力修正系數(shù)k對(duì)結(jié)果進(jìn)行偏差修正。修正系數(shù)k[12]的表達(dá)式為

(17)

式中：C為彈簧的旋繞比,C=R/r；k1=(4C-1)/(4C-4),k2=(4C+1)/(4C+4)。

3.2 彎曲切應(yīng)力的計(jì)算

彈簧所受的彎曲切應(yīng)力在某些條件下不應(yīng)被忽略，彈簧截面所受彎曲應(yīng)力如圖5所示。彈簧所受的剪力可簡(jiǎn)化為作用于圓心O1的力Fs, 受力分析后可知Fs=F。

圖5 橢圓簧絲截面受彎曲應(yīng)力示意圖

由彈性力學(xué)理論可知，橢圓截面彎曲應(yīng)力函數(shù)需滿足微分方程以及邊界條件

(18)

式中：v為泊松比，一般取v=0.3；Cw為常數(shù)；Ix為橢圓截面的慣性矩。為滿足微分方程和邊界條件，假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

(19)

將式(19)帶入式(18)中的微分方程及邊界條件，即可求得mw。則彎曲應(yīng)力函數(shù)可整理為

(20)

已知彎曲應(yīng)力函數(shù)，由彈性力學(xué)理論，則可求得彎曲應(yīng)力分量

(21)

3.3 總切應(yīng)力的計(jì)算

橢圓式螺旋彈簧總的切應(yīng)力應(yīng)為修正后的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力的疊加之和，即

(22)

總切應(yīng)力τ為

(23)

4 仿真驗(yàn)證

4.1 實(shí)例參數(shù)

已知某橢圓式螺旋彈簧的主要參數(shù)如下：彈簧中徑長(zhǎng)半軸az=23.66 mm、短半軸bz=18.86 mm，彈簧絲徑長(zhǎng)半軸as=4.26 mm、短半軸bs=3.34 mm，彈簧彈性模量E=206 Gpa，泊松比v=0.3，密度為7 800 kg/m3，彈簧的有效圈數(shù)為7.45，彈簧受軸向載荷F=1 950 N。

4.2 橢圓式螺旋彈簧剛度的ANSYS仿真驗(yàn)證

根據(jù)橢圓式螺旋彈簧的實(shí)例參數(shù)，在UG中建立其三維模型，將模型導(dǎo)入到ANSYS Workbench中進(jìn)行靜力學(xué)特性仿真。首先對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格收斂性分析，對(duì)彈簧模型一端施加固定約束，另一端施加大小為1 950 N的軸向載荷。分別對(duì)3組不同網(wǎng)格尺度下的彈簧撓度及應(yīng)力進(jìn)行仿真，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 網(wǎng)格收斂性分析

由表1可以看出，彈簧撓度及應(yīng)力的仿真結(jié)果隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加幾乎不變，說(shuō)明仿真結(jié)果具有很好的收斂性。仿真得到的橢圓式螺旋彈簧的變形云圖如圖6所示。

圖6 橢圓式螺旋彈簧變形云圖

由圖6可知，仿真得到的彈簧最大撓度為38.14 mm，剛度為51.13 N/mm。將實(shí)例參數(shù)帶入式(10)、式(11)中求得橢圓式彈簧撓度及剛度的計(jì)算值。計(jì)算值與仿真值的對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 彈簧撓度及剛度對(duì)比結(jié)果

由表2可知，彈簧撓度及剛度的計(jì)算值與仿真值偏差均在0.84%左右，表明本文建立的橢圓式螺旋彈簧剛度的計(jì)算方法是正確的。

4.3 橢圓式螺旋彈簧復(fù)合切應(yīng)力的ANSYS仿真驗(yàn)證

根據(jù)所建立的橢圓式螺旋彈簧模型，對(duì)簧絲截面邊界進(jìn)行應(yīng)力仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 簧絲截面應(yīng)力云圖

將截面實(shí)例參數(shù)帶入式(23)求得截面邊界應(yīng)力的計(jì)算值。提取邊界應(yīng)力的仿真結(jié)果與計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)比結(jié)果如圖8所示。

圖8 簧絲截面邊界切應(yīng)力曲線圖

簧絲邊界0°、180°及最大應(yīng)力所在位置313°的對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 彈簧切應(yīng)力結(jié)果分析

圖8與表3的結(jié)果表明，根據(jù)式(23)計(jì)算所得應(yīng)力值與仿真值趨勢(shì)相同，能夠較好地給出橢圓式螺旋彈簧應(yīng)力分布的情況。其中，最大切應(yīng)力的計(jì)算偏差在2.20%右右，表明提出的橢圓式螺旋彈簧復(fù)合切應(yīng)力的計(jì)算方法是正確的。

根據(jù)給出的計(jì)算方法，對(duì)簧絲截面內(nèi)部復(fù)合切應(yīng)力及彎曲切應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算分析，利用計(jì)算所得結(jié)果繪制如圖9、圖10所示的應(yīng)力分布圖。

圖9 簧絲截面復(fù)合切應(yīng)力分布圖

圖10 簧絲截面彎曲切應(yīng)力分布圖

根據(jù)圖9、圖10分析可知，簧絲截面復(fù)合切應(yīng)力在空間的分布形似飛機(jī)狀，由截面形心O1到截面邊界隨著半徑的增大而逐漸遞增，復(fù)合切應(yīng)力隨簧絲截面角度增加呈波浪式的變化。簧絲截面彎曲切應(yīng)力并非均勻分布在截面內(nèi)，其在空間的分布似雙漏斗狀；截面形心O1的彎曲切應(yīng)力最大，隨著半徑的增大，截面角度0°、180°、360°位置處的應(yīng)力略有下降，而約在90°、260°位置處的應(yīng)力急劇減小，在此角度邊界處的彎曲切應(yīng)力近乎為0。

根據(jù)復(fù)合切應(yīng)力計(jì)算方法，求取橢圓式螺旋彈簧表面的應(yīng)力值并繪制應(yīng)力分布圖，結(jié)果如圖11所示。

圖11 橢圓式螺旋彈簧表面應(yīng)力分布圖

由圖11可知，彈簧圈表面的復(fù)合切應(yīng)力隨著彈簧圈角度的增大呈余弦式變化。彈簧圈半徑為中徑長(zhǎng)半軸時(shí)，即彈簧圈角度取0°、180°、360°時(shí)復(fù)合切應(yīng)力最大；彈簧圈半徑為短徑長(zhǎng)半軸時(shí)，即彈簧圈角度取90°、270°時(shí)復(fù)合切應(yīng)力最小。

5 結(jié)論

1)對(duì)橢圓式螺旋彈簧模型進(jìn)行力學(xué)分析，利用卡氏第二定理，建立了橢圓式螺旋彈簧撓度及剛度的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)此彈簧撓度及剛度的準(zhǔn)確計(jì)算。

2)基于材料力學(xué)、彈性力學(xué)理論知識(shí)，利用半逆解法建立了同時(shí)考慮扭轉(zhuǎn)應(yīng)力及彎曲應(yīng)力的橢圓式螺旋彈簧的復(fù)合切應(yīng)力計(jì)算方法，可準(zhǔn)確計(jì)算彈簧任意位置處的復(fù)合切應(yīng)力。利用此計(jì)算方法，計(jì)算并繪制出彈簧簧絲截面、彈簧圈表面的復(fù)合切應(yīng)力分布圖以及簧絲截面彎曲切應(yīng)力的分布圖，通過(guò)對(duì)應(yīng)力分布圖進(jìn)行分析，總結(jié)出了切應(yīng)力的變化趨勢(shì)及分布情況。

3)ANSYS實(shí)例仿真結(jié)果表明，橢圓式螺旋彈簧剛度及復(fù)合切應(yīng)力的計(jì)算值與仿真值均相吻合。其中，彈簧剛度的相對(duì)偏差在0.84%左右，復(fù)合切應(yīng)力的相對(duì)偏差在2.20%左右。以上結(jié)果表明，所建立的橢圓式螺旋彈簧剛度及復(fù)合切應(yīng)力的計(jì)算方法是可靠的。

4)本文所建立的橢圓式螺旋彈簧的剛度及任意角度位置處的復(fù)合切應(yīng)力計(jì)算方法，經(jīng)仿真驗(yàn)證是準(zhǔn)確可靠的，可為橢圓式螺旋彈簧后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供一定的理論參考。