徐曉建，鄧子辰

（1.長安大學 公路學院 特殊地區(qū)公路工程教育部重點實驗室，西安 710064；2.西北工業(yè)大學 工程力學系，西安 710072）

引 言

板結構廣泛應用于航空航天、土木、機械等領域，在幾乎所有工程科學中廣泛存在.因此，對板結構的經典理論力學的研究一直是前沿課題.然而，隨著科技的快速發(fā)展，尤其是納米技術的革新，人們發(fā)現(xiàn)，越來越多工程結構的力學行為用經典結構力學理論預測會得到很大的誤差[1-2].例如，Lam 等[3]的微梁彎曲實驗結果表明，梁的歸一化剛度與其厚度有密切聯(lián)系；而傳統(tǒng)梁模型的歸一化剛度卻與梁厚度無關.Chen 等[4]研究表明，ZnO 結構的彈性模量具有尺寸效應.隨著研究的進一步深入，人們發(fā)現(xiàn)，材料所表現(xiàn)出的尺寸效應隨著材料/結構尺寸的減小逐漸明顯[5-6].

因此，如何建立能夠準確表征結構/材料尺寸效應的力學模型，近年來一直是力學工作者研究的關鍵科學問題和熱點問題[7].基于此，Wang 等[8-9]采用分子動力學和力學模型研究發(fā)現(xiàn)，碳納米管具有尺寸效應的波動行為，可由應變梯度模型較好地進行預測.Ansari 等[10]研究了薄板振動問題，并給出了非經典板模型與分子動力學結果吻合得很好的結論.Khakalo 等[11]研究了具有三維三角形結構的蜂窩板結構的力學模型，并利用均勻化方法給出了非經典材料參數(shù).王碧蓉等[12]通過修正剪力非局部參數(shù)，研究了雙臂碳納米管的波傳播特性.

近年來，研究者們廣泛關注板撓度的解析解及數(shù)值解的研究[13-14].然而，基于簡化的應變梯度理論的薄板模型的研究還較少.為彌補這一不足，本文提出一種新型薄板理論，并構建其邊值問題.以彈性地基板為例，研究了尺寸效應參數(shù)對薄板撓度解及自由振動頻率的影響.

1 應變梯度理論及Kirchhoff 板模型

1.1 應變梯度理論

根據(jù)簡化的應變梯度理論[15-16]，體積為V、平面域為 Ω的線彈性體的應變能為

式中

分別為應變張量和應變梯度張量（不失一般性，本文中所用符號均符合張量的符號約定）；高階應力張量 τi jk為

其中，l2為表征由于應變梯度引起的材料尺度效應的參數(shù).

根據(jù)文獻[17]，外力功為

系統(tǒng)的總動能包括經典動能和速度梯度引起的動能，即

式中，ρ，l1和分別為體密度、表征速度梯度的材料參數(shù)和速度梯度.

系統(tǒng)的總勢能由動能、應變能和外力功三個部分組成，其表達式為

1.2 薄板方程及邊界條件

考慮一各向同性的線彈性均質材料，厚度為h，在xOy平面內所圍成的平面域為Ω，該域邊界為分段光滑曲線Γ，切線方向為s，外法線方向為n，如圖1所示.規(guī)定n到s的轉向與x軸到y(tǒng)軸的轉向相同時為正，并且n和坐標x的夾角為θ.假定薄板承受一橫向載荷p3、邊界彎矩、 高階邊界彎矩和邊界力的作用，橫向位移為w(x,y).

圖1 板邊界及荷載Fig.1 Boundary conditions and loadings

由薄板的假定，得以下幾何關系：

本文中，下標中的希臘字母僅取x,y.

在平面應力狀態(tài)下的各向同性薄板的本構方程為

式中，E，μ和δ 分別為板的彈性模量、Poisson 比和δ 函數(shù).

令Rαβ和Mαβ分別為厚度引起的單位寬度廣義力和經典彎矩，定義如下物理量：

則以位移w表示的彎矩為

由式(9)和(10)可知，由厚度引起的廣義力與彎矩存在如下關系：

在平面應力狀態(tài)下，可以忽略所有帶有z指標的應力，如 σαz=0.但由式(3)和(8)可知，ηαβz=εαβ,z=?w,αβ≠0.因此，文獻[18]簡單地忽略ηαβz對應變能的影響，會產生較大的誤差.

根據(jù)式(1)、(3)和(4)，應變能的一階變分為

結合式(8)和式(13)，并考慮到式(10)中彎矩的定義，可以改寫式(13).隨后對所得方程的指標γ 進行一次分部積分后，式(13)最終可改寫為如下三個積分之和：

將指標依次代入，式(14)中I1可展開為如下分量形式：

如無特殊說明，本文公式中的偏微分算子 L2僅 作用于彎矩，且L2(·)=1?(·),γγ.

式(15)可通過使用兩次Gauss 散度定理，最后結果為

令任意函數(shù)f1=f1(x,y)和f2=f2(x,y)，將Stokes 公式

代入式(16)，可將面積分轉化為線積分.隨后，利用附錄A 并經過繁瑣的推導，得以下線積分表達式：

其中

式中，Qn1，Mnn1和Mns分別為僅考慮x,y影響的非經典剪力、法向彎矩和切向彎矩.

利用式(11)，式(18)～(20)可以改寫為直角坐標系下xOy的結果.隨后，利用附錄A，式(18)～(20)可進一步改寫成局部坐標系(n, s)的形式，結果為

式中，[Mns]k為第k個角點的彎矩.

相似地，通過繁瑣的推導，式(14)中I3為

式中

式（23）的第一個等號利用了Stokes 公式，第二個等號利用了附錄A 中的轉換關系和兩次對s的分部積分.

結合式(17)、(23)和I2，應變能式(14)的一階變分為

式中

分別為非經典總等效剪力和總法向彎矩.

利用式(21)和(24)，式(26)和(27)可以改寫為如下位移形式：

由式(25)，可知外力虛功的形式為

考慮到式(6)，可得動能在時間間隔[t0,t1]的一階變分為

式中，L1(·)=1(·),γγ.值得一提的是，當薄板的位形在初始時刻t=t0和 最終時刻t=t1給定時，式(31)最后結果中等號右端第二項為零.

利用Hamilton 原理，有

將式(25)、(30)和(31)代入到式(32)并考慮到式(11)，得承受橫向分布載荷下的薄板控制方程為

邊界條件為

顯然，當應變梯度參數(shù)和速度梯度參數(shù)都取零時，式(33)退化為經典薄板的控制方程，式(34)和(35)退化為經典薄板的邊界條件，式(36)將自動滿足.對于一般梯度薄板來講，式(34)～(36)給出了光滑平面域內的非經典邊界條件.當不考慮z方向的微分（即令I2=0）和速度梯度影響時，式(33)退化成文獻[18]的結果.

本小節(jié)將討論工程中常見非經典薄板的邊界條件：

(ⅰ)對于周邊固支圓板，其周向撓度和法向轉角為零.因此，式(34)給出的經典邊界條件為w=0，式(35)給出的經典邊界條件為w,n=0.由于邊界高階彎矩不為零，式(36)給出的非經典高階邊界條件為w,nn=0.

(ⅱ)對于周邊簡支圓板，其周向撓度和彎矩為零.因此，式(34)給出的經典邊界條件為w=0，式(35)給出的經典邊界條件為==0.由于邊界存在高階彎矩或法向曲率不為零的情況，式(36)給出的非經典高階邊界條件為Mnnn=0或w,nn=0.

對于矩形薄板，以邊界線法向為x軸正向為例，此時有 θ =0，且(n,s)與(x,y)坐標系重合.這表明，可以簡單地把邊界條件(34)～(36)中的n,s分別替換為x,y.因此，3 種常見薄板的邊界條件列于表1中.

表1 矩形薄板3 種常見的邊界條件Table 1 Three common boundary conditions (BCs)for a rectangular plate

1.3 角點條件

本小節(jié)將考慮板邊界為分段光滑邊界的角點問題.在推導邊界條件時，角點條件由以下五部分組成.

第一部分由式(17)等號右邊最后一項產生，為

第二部分由I2產生，為

第三部分由式(23)第一個等號右邊第一項產生，為

第四部分由式(23)第一個等號右邊第二項產生，為

第五部分由式(23)第一個等號右邊第三項產生，為

疊加以上五式，得以位移表示的角點條件為

值得一提的是，轉化為本文符號后，文獻[18]通過變分原理導出的角點條件為

顯然，文獻[18]中把 δw,s項遺漏了.與文獻[18]不同，本文的創(chuàng)新性體現(xiàn)在以下幾個方面：1)考慮了速度梯度影響，即在總動能式(6)中考慮了含有l(wèi)1的微分項；2)考慮了沿厚度方向的微分對板有效抗彎剛度的貢獻，即考慮了由厚度引起的廣義力方程(12)對板剛度的影響.

2 彈性地基上的周邊簡支矩形板

考慮一放置于彈性地基上的均質等厚度各向同性薄板，其長寬高分別為a,b和h，如圖2所示.彈性地基符合Winkler 地基模型，則地基反力為-Kw(x,y)，K為地基剛度系數(shù).

圖2 彈性地基上的周邊簡支矩形板Fig.2 A fully simply supported rectangular plate resting on an elastic foundation

2.1 靜位移分析

首先考慮一承受橫向均布荷載為p的四邊簡支薄板的靜位移問題.此時板的控制微分方程(33)改寫為

撓度可用雙三角級數(shù)表示為

式中，wmn為待求參數(shù)，λm=mπ/a，λn=nπ/b.

均布荷載p可用雙三角級數(shù)表示為

將式(45)和(46)同時代入式(44)，可得wmn的表達式.再將該表達式回代入式(45)，得撓度解為

當l2不存在時，上式可退化成經典文獻[19]的結果.

2.2 自由振動分析

其次考慮一周邊簡支薄板的自由振動問題.此時式(33)可改寫為以下頻域方程：

將式(45)代入式(48)，可得板固有頻率解為

如令l1=l2=0，即不考慮應變梯度和速度梯度參數(shù)的影響時，式(49)可退化為經典結果[19].

3 結果和討論

為研究梯度參數(shù)和地基參數(shù)對板結構力學行為的影響，本節(jié)分別選取板的靜位移和固有頻率進行研究.根據(jù)經典板理論，引入以下無量綱化位移及無量綱化固有頻率參數(shù)：

如無特殊說明，板為正方形板，邊長為a，且計算參數(shù)為

3.1 有效性驗證

當不考慮地基影響時，Ansari 等[10]利用分子動力學（MD）的方法研究了zigzag 型方形石墨烯的自由振動頻率問題.為驗證本文模型的有效性，本小節(jié)將對比他們的結果.文獻[10]中板的計算參數(shù)為

式中，D，ρ，h分別為板的抗彎剛度、體密度和厚度.

將以上材料參數(shù)代入到式(49)，并令m=n=1,K=0，得到擬合函數(shù).利用擬合函數(shù)擬合文獻[10]中的數(shù)據(jù)，得尺寸效應參數(shù)為

需要說明的是，式(52)中的材料參數(shù)僅適用于文獻[10]中擬合石墨烯MD 的結果.對于碳納米管等結構來說，基于應變梯度和速度梯度理論的材料參數(shù)l1和l2也可通過類似的方法通過擬合得到，如文獻[20]給出的擬合結果為l2=0.035 5 nm，l1/l2=2.5.

不失一般性，后文采用式(52)的材料參數(shù)計算.

圖3給出了基頻隨方形板邊長的變化關系.可以看到，本文結果與MD 方法得到的結果吻合得很好，而經典薄板解卻不能很好地預測板振動頻率隨其邊長的變化，尤其當邊長a<15 nm 時.同時，當不考慮速度梯度影響時（即令l1=0），得到的基頻頻率與文獻[10]中的結果差異較大.這些間接地證明了本文模型的精確性及在工程實踐中預測微納米板結構力學行為的必要性.

圖3 周邊簡支方形板的基頻與其邊長的關系Fig.3 The fundamental frequency vs.the side length of a simply supported square plate

3.2 地基剛度參數(shù)的影響

圖4顯示了y=a/2 方形截面上地基參數(shù)對沿x方向位移的影響.由該圖可知，板位移隨著地基剛度參數(shù)的增加而減小，并且跨中取得最大撓度.這表明，地基參數(shù)使板的等效剛度變大.

圖4 地基剛度系數(shù)對周邊簡支方板位移形狀的影響Fig.4 Effects of the foundation stiffness on the displacement of a simply supported square plate for y=a/2

圖5給出了不同地基參數(shù)下板無量綱基頻隨其邊長的變化關系.由該圖可知，隨著邊長的增加，其無量綱基頻逐漸增大.同時，板的無量綱基頻隨地基剛度參數(shù)的增加而增加.這表明，材料梯度參數(shù)和地基參數(shù)均使板的等效剛度變大.

圖5 地基剛度系數(shù)對周邊簡支方板基頻的影響Fig.5 Effects of the foundation stiffness on the fundamental frequency of a simply supported square plate

3.3 應變梯度l2 的影響

圖6和圖7給出了應變梯度參數(shù)l2對方形板撓度和基頻的影響.由圖可知，位移隨l2的增大而迅速減小，而基頻卻相反.這表明，l2對板等效剛度有很大的影響，因而在工程應用中不可忽略.

3.4 速度梯度l1 的影響

速度梯度參數(shù)l1對方形板撓度和基頻的影響分別如圖8和圖9所示.由圖可知，速度梯度參數(shù)l1對方形板撓度無影響，這可由式(47)進行驗證.隨著l1的增大，基頻越來越小.這表明，l1的增大減少了板的等效剛度，因而在工程應用中應充分考慮，以得到準確的結果.

圖8 速度梯度參數(shù)l1 對周邊簡支方板位移形狀的影響Fig.8 Effects of velocity gradient parameter l1 on the displacement of a simply supported square plate for y=a/2

圖9 速度應變梯度參數(shù)l1 對周邊簡支方板基頻的影響Fig.9 Effects of velocity gradient parameter l1 on the fundamental frequency of a simply supported square plate

4 結 論

基于應變梯度理論，本文提出了考慮z軸梯度影響下的薄板邊值問題，給出了其變分自洽的角點條件.以周邊簡支薄板為例，研究了承受均布荷載作用下彈性地基板的靜撓度和自由振動頻率.所得結論如下：

1)本模型可有效捕捉經典板模型在預測其分子動力學結果方面的不足.

2)增大地基剛度參數(shù)和應變梯度參數(shù)可有效提高板的等效剛度.

3)增大速度梯度參數(shù)則會減少板的等效剛度.

本文得到的板的能量方程及邊界條件問題的提出，不僅對于構造其相應的數(shù)值方法提供理論依據(jù)，而且對其應用于土木結構、機械系統(tǒng)等領域提供一定的參考.

附錄A

圖A1 顯示了(n,s)坐標系和(x,y)坐標系，以及板邊界Γ，以逆時針為正，x軸正向到n軸正向夾角為θ.則任一函數(shù)對坐標x,y和n,s的偏導數(shù)之間存在如下關系：

圖A1 坐標系(x, y)和(n, s)及板邊界ΓFig.A1 Coordinate systems (x, y)and (n, s)at a piecewise smooth plate boundary Γ