周宗杰
(安徽省淮北市第一中學(xué) 235000)
分析這是一道網(wǎng)紅題,各大資料書和搜題軟件都能看到該題,然而它卻是個錯題.
網(wǎng)紅錯誤解法由正弦定理,得a2=2bc.
由余弦定理,得b2+c2-2bccosA=a2.
因為A為銳角,
為了便于理解對上面問題的分析,我們先來看這樣一個變式題:
顯然由構(gòu)成三角形的條件可知公比q的范圍不可能是R+,必定有個范圍約束,因此下面只要根據(jù)題目條件求出公比q的取值范圍即可.
由三角形任意兩邊之和大于第三邊可知
通過上面對變式問題的分析,可以看出文初對引例的解答是存在問題的,我們還可以借鑒變式題的處理方法來解決引例的問題.
由△ABC為銳角三角形,得
即b2+c2-a2>0,a2+c2-b2>0,a2+b2-c2>0.
引例錯因分析上面的解法從方法上借鑒了變式題中構(gòu)造等比數(shù)列的處理方式,這樣可以將求解范圍問題轉(zhuǎn)換為求關(guān)于q的函數(shù)的值域問題,而定義域的求解就成了最容易出錯的地方,而這也是文初錯誤解法的錯因所在.
按照上面的分析我們不難看出:
我們知道三角形中有很多固定關(guān)系比如內(nèi)角和關(guān)系、正弦定理、余弦定理等,三角形中也有一些不等關(guān)系,特別是邊長關(guān)系,在解題中經(jīng)常會有所考查,往往這類題目并不是單獨考查三角形中邊的關(guān)系,也沒有明確說明考查這塊內(nèi)容,而是結(jié)合別的知識點來進行間接考查,所以有時候不注意就會掉入陷阱,從而致錯.
練習(xí)1已知等腰△ABC的周長為20,底邊長y可以表示成腰長x的函數(shù),請寫出函數(shù)y=f(x).
簡解不要忘了函數(shù)的定義域,也要注意定義域要滿足三角形中邊的關(guān)系
f(x)=20-2x,5 練習(xí)2已知△ABC的三邊長a,b,c成等差數(shù)列,且a2+b2+c2=84,則邊b的取值范圍是____. 簡解設(shè)該等差數(shù)列公差為d(d>0),則 a=b-d,c=b+d. 由a2+b2+c2=84,得3b2+2d2=84. 由三角形中邊的關(guān)系,得a+b>c. 即b-d+b>b+d,則b>2d. 經(jīng)比較可得f(x)max=f(e)=e-1+h. 故有2(1+h)>e-1+h且h+1>0. 解得h>e-3.