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        三角形中的邊長關(guān)系在解題中的應(yīng)用

        2022-04-26 07:18:20周宗杰
        數(shù)理化解題研究 2022年10期
        關(guān)鍵詞:引例公比余弦定理

        周宗杰

        (安徽省淮北市第一中學(xué) 235000)

        1 提出問題

        分析這是一道網(wǎng)紅題,各大資料書和搜題軟件都能看到該題,然而它卻是個錯題.

        網(wǎng)紅錯誤解法由正弦定理,得a2=2bc.

        由余弦定理,得b2+c2-2bccosA=a2.

        因為A為銳角,

        2 分析問題

        為了便于理解對上面問題的分析,我們先來看這樣一個變式題:

        顯然由構(gòu)成三角形的條件可知公比q的范圍不可能是R+,必定有個范圍約束,因此下面只要根據(jù)題目條件求出公比q的取值范圍即可.

        由三角形任意兩邊之和大于第三邊可知

        通過上面對變式問題的分析,可以看出文初對引例的解答是存在問題的,我們還可以借鑒變式題的處理方法來解決引例的問題.

        由△ABC為銳角三角形,得

        即b2+c2-a2>0,a2+c2-b2>0,a2+b2-c2>0.

        引例錯因分析上面的解法從方法上借鑒了變式題中構(gòu)造等比數(shù)列的處理方式,這樣可以將求解范圍問題轉(zhuǎn)換為求關(guān)于q的函數(shù)的值域問題,而定義域的求解就成了最容易出錯的地方,而這也是文初錯誤解法的錯因所在.

        按照上面的分析我們不難看出:

        3 題后反思

        我們知道三角形中有很多固定關(guān)系比如內(nèi)角和關(guān)系、正弦定理、余弦定理等,三角形中也有一些不等關(guān)系,特別是邊長關(guān)系,在解題中經(jīng)常會有所考查,往往這類題目并不是單獨考查三角形中邊的關(guān)系,也沒有明確說明考查這塊內(nèi)容,而是結(jié)合別的知識點來進行間接考查,所以有時候不注意就會掉入陷阱,從而致錯.

        4 補充練習(xí)

        練習(xí)1已知等腰△ABC的周長為20,底邊長y可以表示成腰長x的函數(shù),請寫出函數(shù)y=f(x).

        簡解不要忘了函數(shù)的定義域,也要注意定義域要滿足三角形中邊的關(guān)系

        f(x)=20-2x,5

        練習(xí)2已知△ABC的三邊長a,b,c成等差數(shù)列,且a2+b2+c2=84,則邊b的取值范圍是____.

        簡解設(shè)該等差數(shù)列公差為d(d>0),則

        a=b-d,c=b+d.

        由a2+b2+c2=84,得3b2+2d2=84.

        由三角形中邊的關(guān)系,得a+b>c.

        即b-d+b>b+d,則b>2d.

        經(jīng)比較可得f(x)max=f(e)=e-1+h.

        故有2(1+h)>e-1+h且h+1>0.

        解得h>e-3.

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