呂學(xué)兵

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215200)

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)在確保學(xué)生掌握知識(shí)基礎(chǔ)的前提下，更多的是需要訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升看待問題的多角度分析能力.在中考數(shù)學(xué)真題中，常常會(huì)存在一道題目多種解法的情況，然而學(xué)生會(huì)局限于中考時(shí)間的規(guī)定以及其它題目難度的設(shè)計(jì)，不會(huì)在實(shí)際解題的過程中去尋求多種解法.這就導(dǎo)致學(xué)生在看待一些中考真題時(shí)缺乏創(chuàng)新思維，也不能提高自身的數(shù)學(xué)技能.因此，教師要針對(duì)往年的數(shù)學(xué)中考真題，對(duì)那些可以一題多解的題目進(jìn)行解法的詳細(xì)分析，帶領(lǐng)學(xué)生思考不同解法下的數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)一題多解、培養(yǎng)發(fā)散思維.

1 試題與解法

1.1 試題呈現(xiàn)

(2020年蘇州中考第28題)如圖1，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左做勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上做勻速運(yùn)動(dòng)．連接PQ，交OT于點(diǎn)B．經(jīng)過O、P、Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連接PC、QC．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，其中0

圖1

(1)求OP+OQ的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

(3)求四邊形OPCQ的面積．

1.2 解法探索

解法一(1)根據(jù)題意可得，P從A出發(fā)在OA上做勻速運(yùn)動(dòng)，則AP=tcm，故OP=(8-t)cm，且OQ=tcm，則有：OP+OQ=8-t+t=8(cm)．

(2)當(dāng)t=4時(shí)，線段OB的長度最，理由如下：

圖2

所以四邊形OPCQ的面積為16cm2.

解法二(1)、(2)問如前所示；

(3)如圖3所示，過點(diǎn)C作CD⊥ON，CE⊥OM，因?yàn)镃P=CQ，∠PCE+∠QCE=∠QCD+∠QCE=90°，所以∠PCE=∠QCD，所以Rt△CDQ≌Rt△CEP(AAS)，所以S△CDQ=S△CEP，所以S四邊形CPOQ=S正方形OECD，因?yàn)镺E+OD=OP+OQ=8，所以O(shè)E=OD=4，所以S四邊形CPOQ=42=16．

圖3

針對(duì)第(3)小問，解法一中利用了“割補(bǔ)法”中的“割”，同時(shí)學(xué)生也可以通過“割”“補(bǔ)”雙管齊下，將四邊形通過拆分補(bǔ)全的形式，使之成為一個(gè)特殊的四邊形.首先考慮到這個(gè)四邊形是有兩個(gè)直角存在的，那么在割補(bǔ)的過程中要盡量保持住它直角的特性，這對(duì)后續(xù)求解面積會(huì)十分有利.因此，構(gòu)造輔助線：過點(diǎn)C作CD⊥ON，CE⊥OM，通過輔助線的繪制可以看出，△CDQ和△CPE都有一個(gè)直角，且斜邊分別為等腰直角三角形CPQ的兩條邊，因此可以證明Rt△QCD≌Rt△CPE(AAS)，進(jìn)而得出S△QCD=S△CPE.對(duì)這個(gè)四邊形的構(gòu)造進(jìn)行割補(bǔ)，將△CPE切割掉，用△CDQ來進(jìn)行補(bǔ)全，則這個(gè)四邊形與正方形ODCE的面積是相等的，再由正方形的面積公式即可求出答案.

2 解后反思

2.1 重視基礎(chǔ)，全面把握

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中要格外重視數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性以及全面性,通過對(duì)概念性質(zhì)的把握以及大量的做題經(jīng)驗(yàn)來掌握基礎(chǔ)知識(shí)、習(xí)得基本技能、構(gòu)建基本思想.努力做到自己腦海中的概念是清晰無誤的，且能夠在第一時(shí)間將這些概念與題目中的某些條件將結(jié)合，找到解體的突破點(diǎn).比如上述第(2)問的解題過程中學(xué)生在針對(duì)未知線段長度的求解時(shí)，應(yīng)該立刻想到用已知的參數(shù)將其代替，通過構(gòu)建方程或函數(shù)的形式來對(duì)其進(jìn)行求解.同時(shí)這也是對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中靈活變通，廣闊思路.當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)生也必須熟練準(zhǔn)確地掌握，不可在一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)運(yùn)算上丟分失分.

2.2 優(yōu)化思維，解法創(chuàng)新

在初中階段的學(xué)生要逐漸放棄小學(xué)階段一些固化的解題思維，要不斷優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),在解題學(xué)習(xí)時(shí)努力培養(yǎng)自身思維的深刻性以及廣闊性，在遇到一個(gè)題目時(shí)要思考其解法的多樣性，比如上題第(3)小問中在針對(duì)不是特殊圖形面積的求解時(shí)不僅要想到“割補(bǔ)法”，還要想到單純的分割圖形以及割補(bǔ)共同使用的兩種情況，然后基于這兩種情況尋求解題的有效條件，訓(xùn)練自身解題思維的靈活性與創(chuàng)新性.

2.3 提升能力，滲透本質(zhì)

學(xué)生在初中階段的學(xué)習(xí)中要不斷發(fā)展自身的探究能力,尋找解題過程中的本數(shù)學(xué)本質(zhì).如上述第(3)小問雖然是面積的求解,但實(shí)質(zhì)上是考察學(xué)生對(duì)圖形變換感知的敏銳性，如何將一般型的圖形變換為特殊型的圖形，通過特殊圖形面積的求解來間接解決一般圖形面積的求解.這樣的思維轉(zhuǎn)換下，學(xué)生就會(huì)加強(qiáng)特殊圖形性質(zhì)的理解，同時(shí)能提高自身的解題能力.因此，學(xué)生在解題時(shí)要時(shí)常思考探究，體會(huì)一個(gè)題目背后的深意以及涉及到的知識(shí)本質(zhì)，這樣才能有效答題，提高自身的數(shù)學(xué)技能.

綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中思考一題多解的情況不僅可以開拓學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生通過比較尋找出最適合自己理解的解題方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在尋找新解法時(shí)無形中增加自身的解題能力，提高自身的解題效率.因此，教師應(yīng)該在日常解題教學(xué)中向?qū)W生普及基礎(chǔ)知識(shí)掌握的重要性，以及解題思維創(chuàng)新的必要性，讓學(xué)生在尋求一題多解的過程中體會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用.