達(dá)楊陽(yáng)，萬(wàn)佑紅，張帥帥

(南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇南京 210023)

鋰離子電池因其比能高、負(fù)載能力高、自放電率低等優(yōu)點(diǎn)[1]，在電動(dòng)汽車和儲(chǔ)能系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。SOC作為電池內(nèi)部狀態(tài)量，無(wú)法直接量測(cè)，只能通過(guò)電池外部電壓和電流進(jìn)行估計(jì)[2]。對(duì)SOC的不準(zhǔn)確估計(jì)很容易導(dǎo)致電池過(guò)充或過(guò)放，從而危害電池本身并產(chǎn)生安全問(wèn)題[3]。

SOC估計(jì)中常用的方法有：(1)安時(shí)積分法[4]和開(kāi)路電壓法[5]，理論簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，但受限于精度和測(cè)量條件;(2)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]，模糊邏輯建模[7]，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]等機(jī)器學(xué)習(xí)方法,需要大量精確數(shù)據(jù)，且結(jié)果易受不同數(shù)據(jù)集影響;(3)Kalman 濾波法，其衍生算法在SOC估計(jì)中應(yīng)用最為廣泛。

鋰離子電池實(shí)質(zhì)上是非線性系統(tǒng)，由于模型誤差和量測(cè)儀器偏差等因素，系統(tǒng)中常包含不確定性噪聲。標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波極度依賴于模型的準(zhǔn)確性，魯棒性較差。擴(kuò)展Kalman 濾波(EKF)[9]對(duì)非線性函數(shù)作一階泰勒展開(kāi)處理，忽略了二階及以上誤差，在系統(tǒng)非線性強(qiáng)度較大時(shí)誤差比較明顯。無(wú)跡Kalman 濾波(UKF)[10]采用sigma 點(diǎn)近似而非泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，避免了對(duì)非線性函數(shù)解析求導(dǎo)，但模型階數(shù)增加會(huì)增加sigma點(diǎn)數(shù)量，增大計(jì)算復(fù)雜度。中心差分卡爾曼濾波方法(CDKF)[11]以中心差分代替泰勒公式中的一階和二階導(dǎo)數(shù)，避免復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算，精度與UKF 相仿。H∞濾波[12]通過(guò)設(shè)計(jì)合適的代價(jià)函數(shù)J來(lái)確保系統(tǒng)狀態(tài)在不確定性噪聲影響下不會(huì)超出設(shè)定的性能邊界，將噪聲對(duì)狀態(tài)估計(jì)的負(fù)面影響降到最低。但H∞濾波并非最優(yōu)估計(jì)，算法估計(jì)結(jié)果偏保守。

本文采用等效電路模型對(duì)鋰離子電池進(jìn)行分析。為在模型精度和計(jì)算復(fù)雜度間取得平衡，建立二階RC 等效電路模型，提出一種基于多新息的中心差分Kalman 濾波方法，將傳統(tǒng)Kalman 濾波方法的標(biāo)量新息拓展為新息向量，根據(jù)各歷史信息與當(dāng)前時(shí)刻數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)程度賦予相應(yīng)權(quán)值，有效提高SOC估計(jì)精度和魯棒性。

1 鋰離子電池建模與參數(shù)辨識(shí)

1.1 模型選取與建立

本文建立的二階RC 等效電路模型如圖1 所示。

圖1 中，Uoc為開(kāi)路電壓；Ut為電池端電壓；R1和C1分別是電化學(xué)極化電阻、電容；R2和C2分別是濃差極化電阻、電容；R0為內(nèi)阻；I為電池電流，充電為正；U1為電阻R1端電壓；U2為電阻R2端電壓。

圖1 二階RC 等效電路模型

根據(jù)基爾霍夫定律和安時(shí)積分法表達(dá)式，對(duì)等效電路模型建立狀態(tài)空間方程為：

式中：Cn為電池的容量；η 為庫(kù)侖效率系數(shù)；Δt為采樣周期；vk-1和nk分別為k-1 時(shí)刻過(guò)程噪聲和k時(shí)刻量測(cè)噪聲；τ1和τ2為RC 網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù)，τ1=R1′C1，τ2=R2′C2；Uoc()為Uoc關(guān)于SOC的函數(shù)；Ik-1為k-1 時(shí)刻的電流，Ik同理。

1.2 SOC-OCV 曲線

本文基于BT-2018D 國(guó)產(chǎn)鋰電池測(cè)試系統(tǒng)、電池?cái)?shù)據(jù)采集系統(tǒng)對(duì)LG18650HG2 三元鋰電池進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。單體電池額定容量3 Ah，額定電壓3.6 V，電壓檢測(cè)誤差±1.5 mV，溫度檢測(cè)精度±1.5 ℃，數(shù)據(jù)采樣頻率為10 Hz，實(shí)驗(yàn)在25 ℃環(huán)境中進(jìn)行。

對(duì)電池進(jìn)行0.5C恒流充放電，充電或放電后將電池靜置一定時(shí)間以獲得準(zhǔn)確開(kāi)路電壓Uoc。圖2 為對(duì)充電和放電SOC-OCV曲線均值進(jìn)行擬合[13]，擬合式如下：

圖2 SOC-OCV曲線

1.3 帶遺忘因子遞推最小二乘法

由于鋰離子電池模型中參數(shù)會(huì)受到環(huán)境溫度和電池老化程度的影響，參數(shù)會(huì)隨SOC變化而變化，因此采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。帶遺忘因子遞推最小二乘法(FFRLS)[14]在遞推最小二乘法(RLS)的基礎(chǔ)上引入遺忘因子λ，降低舊數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，避免數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象。λ 一般取值0.90～1.00 之間，本文取值為0.96。FFRLS 表達(dá)式為：

式中：θk為待辨識(shí)參數(shù)向量為估計(jì)參數(shù)向量；Kk為增益向量；zk為系統(tǒng)實(shí)際輸出值；hk為數(shù)據(jù)向量；T 為矩陣或向量的轉(zhuǎn)置；Pk為估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣；E為單位矩陣。

1.4 模型參數(shù)辨識(shí)

鋰電池通?？梢暈榉蔷€性時(shí)變系統(tǒng)，式(1)對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)為：

式中：a1，a2，b1，b2，b3為AR 模型待辨識(shí)參數(shù)。

令Uk=Ut，k-Uoc，k，由脈沖響應(yīng)不變法將式(4)轉(zhuǎn)換為差分方程：

式中：a1，a2，b1，b2，b3為AR 模型待辨識(shí)參數(shù)，這些參數(shù)與二階RC 模型中的電阻和電容可相互轉(zhuǎn)換。令Zk=Ut，k-Uoc，k，=[Zk-1,Zk-2,Ik,Ik-1,Ik-2]，待辨識(shí)參數(shù)向量a1，a2，b1，b2，b3]。設(shè)為合理初值，P0為103×E5×5，E5×5為5 階單位矩陣。對(duì)DST 工況數(shù)據(jù)應(yīng)用FFRLS 進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到各電阻電容實(shí)時(shí)值。將模型輸出值與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比及誤差見(jiàn)圖3。

圖3 模型輸出與實(shí)際電壓對(duì)比及誤差

從平均相對(duì)誤差(MRE)、絕對(duì)誤差均值(MAE)和均方根誤差(RMSE)三方面進(jìn)行評(píng)測(cè)，各指標(biāo)定義如下：

式中：N為采樣點(diǎn)總數(shù)。由參數(shù)辨識(shí)結(jié)果得MRE為0.148 68%，MAE為5.4 mV，RMSE為7.7 mV，辨識(shí)精度較高。

2 基于MI-CDKF 的SOC 估計(jì)算法

相比于EKF 需要進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，CDKF 方法采用Sterling差值公式，采用中心差分替代EKF 的一階和二階導(dǎo)數(shù)。中心差分通過(guò)對(duì)非線性函數(shù)特定點(diǎn)的值進(jìn)行計(jì)算，避免了復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算，CDKF 的迭代流程見(jiàn)圖4。

圖4 CDKF迭代流程圖

圖中：xav=[xTvT]T，xan=[xTnT]T，h≥1 為中心差分步長(zhǎng)，L為增廣狀態(tài)向量維數(shù)，Rv為過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣，Rn為量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣，(·)2為向量外積簡(jiǎn)寫(xiě)，如a2=aaT。

為對(duì)過(guò)去時(shí)刻歷史信息加以利用，引入多新息理論，與中心差分Kalman 濾波結(jié)合。將標(biāo)量新息擴(kuò)展為新息向量，同時(shí)將CDKF 的增益向量擴(kuò)展為增益矩陣Kp,k：

式中：p為新息向量長(zhǎng)度；Kp,k表示長(zhǎng)度為p的Kalman 增益矩陣；Kk-p+1為相對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻過(guò)去p-1 時(shí)刻的增益向量。

由量測(cè)更新中單獨(dú)提出后驗(yàn)估計(jì)式：

將標(biāo)量新息和增益向量換為擴(kuò)展后的新息向量和增益矩陣，表示如下：

式中：λj的取值會(huì)影響到MI-CDKF的性能改善程度。文獻(xiàn)[15]提到新量測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)比舊量測(cè)數(shù)據(jù)賦予更大權(quán)重。為保證當(dāng)前數(shù)據(jù)的更新誤差作用占主導(dǎo)地位，對(duì)λ 值的取值應(yīng)當(dāng)遵循以下原則：

式中：0＜h＜1，h趨于1 時(shí)，舊數(shù)據(jù)權(quán)重等同當(dāng)前數(shù)據(jù)，h趨于0時(shí)退化為CDKF。當(dāng)多新息向量長(zhǎng)度≤3 時(shí)，為突出當(dāng)前數(shù)據(jù)作用，h值根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可取0.80 以內(nèi)的值。多新息長(zhǎng)度大于3時(shí)，偏重對(duì)歷史信息的考慮，h值根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可取0.50 以上的值。

出于計(jì)算量考慮，多新息向量長(zhǎng)度一般限制在2～8 以內(nèi)，因此對(duì)λ 值的選取如下：

式中：α，β 值選取視多新息向量長(zhǎng)度而定。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)采用UDDS 工況對(duì)電池進(jìn)行放電，并在此工況數(shù)據(jù)下驗(yàn)證本文算法。為比較MI-CDKF 和EKF、UKF、CDKF 的魯棒性和收斂速度差異，將SOC初值設(shè)置為0.7。其中收斂速度用調(diào)節(jié)時(shí)間表示定義為：ts=max{t|(SOCes-SOCref)≥±5%}，式中SOCes為SOC估計(jì)值，SOCref為參考SOC值。為了在提升估計(jì)性能的同時(shí)不過(guò)多增加計(jì)算量，擴(kuò)展新息向量長(zhǎng)度取2、3、4 進(jìn)行比較。

基于式(11)的參數(shù)選取準(zhǔn)則，為兼顧收斂速度和估計(jì)精度，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)獲取較為合理的參數(shù)區(qū)間，見(jiàn)表1。

表1 不同長(zhǎng)度新息向量合理參數(shù)區(qū)間

表1 中參數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)收斂速度和估計(jì)精度都有所提升，但參數(shù)的選擇對(duì)收斂速度和估計(jì)精度的影響有偏重性。為兼顧兩者，當(dāng)p=2 時(shí)，選取α=0.9，β=0.3；p=3 時(shí)，選取α=0.8，β=0.4；p=4 時(shí)，選取α=0.7，β=0.4。對(duì)三種不同新息長(zhǎng)度的MI-CDKF 進(jìn)行仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5 和圖6 所示。為便于觀察估計(jì)精度和收斂速度，圖5 和圖6 加入了局部放大圖。

圖5 不同p值下SOC估計(jì)結(jié)果

圖5 中，CDKF 算法引入多新息理論后，估計(jì)精度得到了改善，其中p=3 時(shí)改善精度最佳。由圖6 可見(jiàn)MI-CDKF 的收斂速度快于標(biāo)準(zhǔn)CDKF，同時(shí)估計(jì)精度均得到不同程度改善。表2 顯示了不同p值下CDKF 的性能對(duì)比。對(duì)比各性能可見(jiàn)多新息向量長(zhǎng)度為3 時(shí)效果最佳。

圖6 不同p值下SOC估計(jì)誤差

表2 不同p 值下CDKF 性能對(duì)比

為驗(yàn)證MI-CDKF 對(duì)不同SOC初值的魯棒性，將SOC初值分別設(shè)置為0.3、0.5、0.7，得到的仿真結(jié)果如圖7 所示。其中SOC=0.3 時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間為11.7 s，SOC=0.5 時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間為7.1 s，SOC=0.7 時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間為3 s，MI-CDKF 方法對(duì)不同SOC初值均具有較強(qiáng)魯棒性。

圖7 不同SOC初值對(duì)比

將MI-CDKF(p=3)與EKF、UKF 和CDKF 進(jìn)行比較，對(duì)上述方法均設(shè)置過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣Q為diag([0.01 0.02 0.000 01])，其中diag表示對(duì)角陣，量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣R為0.01。結(jié)果如圖8 和圖9 所示。

圖8 不同SOC估計(jì)方法結(jié)果

圖9 不同SOC估計(jì)方法誤差對(duì)比

圖8 和圖9 中可以看到，MI-CDKF 在收斂速度和估計(jì)精度上都明顯優(yōu)于其他三種方法，四種方法的性能對(duì)比見(jiàn)表3。

表3 顯示，MI-CDKF 方法比起常用的EKF、UKF 和CDKF方法在絕對(duì)均值(MAE)、均方根誤差(RMSE)、最大誤差的絕對(duì)值(MAXE)和收斂速度上均更有優(yōu)勢(shì)。

表3 不同SOC 估計(jì)方法性能對(duì)比

在實(shí)際電池管理系統(tǒng)中，傳感器的誤差主要有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差可通過(guò)Kalman 濾波算法予以較好抑制，而系統(tǒng)誤差可以看作是加在測(cè)量值上的偏移值[16]。考慮到電池管理系統(tǒng)中常用電壓傳感器最大漂移范圍不超過(guò)0.01 V，電流傳感器最大漂移范圍不超過(guò)0.1 A，為驗(yàn)證所提方法魯棒性，分別在電壓和電流上人工加入固定電壓誤差和電流誤差，最后將兩種誤差合并加入。圖10 顯示四種不同狀況下MI-CDKF(p=3)方法SOC估計(jì)性能的對(duì)比，其中M1 表示MI-CDKF 無(wú)電壓電流漂移情況，M2 表示MI-CDKF 帶電壓漂移情況，M3 表示MI-CDKF 帶電流漂移情況，M4 表示MICDKF 帶電壓電流漂移情況。

圖10 四種情況下MI-CDKF性能對(duì)比

由于實(shí)際運(yùn)行中電壓信號(hào)和電流信號(hào)的最大漂移范圍小于設(shè)定值，因此此法在實(shí)際應(yīng)用中性能應(yīng)優(yōu)于實(shí)驗(yàn)中設(shè)定情況下測(cè)試所得性能。MI-CDKF 在傳感器帶漂移情況下依舊保持一定魯棒性。

4 結(jié)論

根據(jù)鋰離子電池的特性，建立了二階RC 等效電路和對(duì)應(yīng)的非線性狀態(tài)空間方程，采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法(FFRLS)對(duì)電池相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并將多新息理論引入中心差分卡爾曼濾波(CDKF)。首先對(duì)比不同新息向量長(zhǎng)度下的多新息中心差分卡爾曼濾波(MI-CDKF)和標(biāo)準(zhǔn)CDKF 的性能，當(dāng)p=3 時(shí)，MI-CDKF 的改善效果最佳。其次在不同SOC初值下驗(yàn)證MI-CDKF 的魯棒性，并將MI-CDKF 與傳統(tǒng)的EKF、UKF 和CDKF 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果表明MI-CDKF 在估計(jì)精度和收斂速度方面均優(yōu)于傳統(tǒng)方法。最后在傳感器漂移現(xiàn)象中驗(yàn)證了MI-CDKF 的魯棒性。