甘肅省蘭州市第六中學(xué) 焦永垚 （郵編：730060）

1 頂點(diǎn)定值子弦的含義

設(shè)點(diǎn)P是圓錐曲線的一個頂點(diǎn)，PA、PB是該曲線過頂點(diǎn)P的兩條弦，當(dāng)直線PA、PB的斜率的和（或積）為定值λ時，稱線段AB為該曲線頂點(diǎn)P的關(guān)于λ的斜率等和（或積）子弦[1].

圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦問題在歷年全國高考和競賽中頻繁出現(xiàn)，學(xué)生解題時往往先將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元后利用韋達(dá)定理求得兩根的關(guān)系，再根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化和計算，過程非常繁雜.現(xiàn)運(yùn)用“借切線法”解決圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦問題，思路新穎，運(yùn)算簡捷，有利于學(xué)生掌握.

2 構(gòu)建模型，初探方法

例1已知A、B為橢圓C:+y2=1 上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P(0,1)，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，且k1k2=求證：直線AB過定點(diǎn).

圖1

證明直線PA的方程為y=k1x+1，即k1x-y+1=0.同理直線PB的方程為k2xy+1=0，兩式相乘得(k1x-y+1)(k2x-y+1)=0，化簡整理得

點(diǎn)P、A、B同時滿足上式和橢圓的方程，由橢圓方程得x2=3-3y2，代入上式整理得y2+[(k1+k2)x+2]y-(k1+k2)x-3=0，分解因式可得(y-1)[(k1+k2)x+y+3]=0，則y-1=0 或(k1+k2)x+y+3=0，其中y-1=0 為橢圓在點(diǎn)P處的切線方程，則(k1+k2)x+y+3=0為直線AB的方程，恒過定點(diǎn)(0,-3)，得證.

3 探究本質(zhì)

為什么把橢圓方程x2=3-3y2代入方程+y2-(k1+k2)xy+(k1+k2)x-2y+1=0 中，就一定能分解為過頂點(diǎn)的切線方程與直線AB的方程相乘呢？這需要從曲線系方程談起，關(guān)于曲線系，有下面的結(jié)論：

⑴若直線l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0 與曲線C:f(x,y)=0 有四個不同交點(diǎn)，則過這四個交點(diǎn)的曲線系方程為：λf(x,y)+μ(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0(λ、μ∈R).

⑵若四直線li:Ai x+Bi y+Ci=0(i=1,2,3,4)有四個不同交點(diǎn)，則過這四個交點(diǎn)的曲線系方程為：

先探究頂點(diǎn)定值子弦問題一般情況（以橢圓及其上頂點(diǎn)為例）：

已知A、B為橢圓C:=1(a＞b＞0)上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P(0,b)，直線PA、PB的斜率分 別 為k1、k2，則直線PA、PB的方程為k1xy+b=0 和k2x-y+b=0，由結(jié)論可知過點(diǎn)P、A、B的曲線系方程為

此處點(diǎn)P可看作兩個交點(diǎn)蛻化成為一個點(diǎn)，則結(jié)論中四條直線中的一條蛻化成為過點(diǎn)P的切線，易知此切線方程為y-b=0；因?yàn)檫^三點(diǎn)P、A、B的曲線系中包含過點(diǎn)P的切線和直線AB，所以將方程y-b=0 代入①式，得=0；因?yàn)閤≡0，所以得λ=-a2k1k2，再代入①式消去“x2”.這一過程直接從橢圓方程中解出x2，再代入方程(k1x-y+b)(k2x-y+b)=0.這就是例1 解法的理論依據(jù).

由此可見，對于圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦問題，可采用“借切線法”解決，歸納為以下步驟：

⑴根據(jù)條件分別設(shè)出過頂點(diǎn)的兩條直線方程；

⑵把兩條直線的一般式方程相乘，并整理；

⑶把整理的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，如果頂點(diǎn)在y軸上，則消去x2，如果頂點(diǎn)在x軸上，則消去y2；

⑷把得到的方程整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再分解因式，得到兩條直線方程，其中一條為過頂點(diǎn)的切線方程，另一條為頂點(diǎn)定值子弦所在直線方程，從而可得此直線恒過定點(diǎn).

4 模型的應(yīng)用

4.1 頂點(diǎn)斜率等和子弦問題

⑴求C的方程；

⑵設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

易得C的方程為+y2=1.下面來證明第⑵問.

證明設(shè)直線P2A的斜率為k，則直線P2A的方程為y=kx+1，即kx-y+1=0，由題知直線P2B的斜率為-(k+1)，則直線P2B的方程為y=-(k+1)x+1，即(k+1)x+y-1=0，兩式相乘整理得k(k+1)x2-y2-xy+x+2y-1=0.點(diǎn)P2、A、B同時滿足上式和橢圓C的方程，由橢圓的方程得x2=4-4y2，代入上式得(2k+1)2y2+xy-x-2y-4k2-4k+1=0，方程可化為(y-1)[(2k+1)2(y+1)+x-2]=0，解得y-1=0 或(2k+1)2(y+1)+x-2=0，其中y-1=0 為橢圓在點(diǎn)P2處的切線方程，(2k+1)2(y+1)+x-2=0為直線AB的方程，易知直線AB過定點(diǎn)(2,-1)，即l過定點(diǎn)(2,-1).

點(diǎn)評本題第⑵問常規(guī)解法是設(shè)直線l的斜截式方程與橢圓的方程聯(lián)立，還需討論l的斜率是否存在.另外，把直線P2A與直線P2B的斜率之和用坐標(biāo)表示，運(yùn)算過程相當(dāng)復(fù)雜.而利用“借切線法”解決過程明顯比較簡捷，大大提高了學(xué)生的解題效率.

4.2 頂點(diǎn)斜率等積子弦問題

例3（2013 年四川省高中數(shù)學(xué)預(yù)賽第15 題）已知點(diǎn)B(0,1)，P、Q為橢圓+y2=1 上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn)，且BP⊥BQ.若點(diǎn)B在線段PQ上的射影為M，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解由題意，直線BP、BQ的斜率均存在且不為0，故設(shè)直線BP的方程為y=kx+1，即kxy+1=0，則直線BQ的方程為y=-+1，即為x+ky-k=0，兩式相乘整理得kx2-ky2+(k2-1)xy-(k2-1)x+2ky-k=0 .點(diǎn)B、P、Q同時滿足上式和橢圓的方程，由橢圓的方程得x2=4-4y2，代入上式得5ky2-[(k2-1)x+2k]y+(k2-1)x-3k=0，即 為(y-1)[5ky-(k2-1)x+3k]=0，可得y-1=0 或 5ky-(k2-1)x+3k=0，其中y-1=0 為橢圓在點(diǎn)B處的切線方程，5ky-(k2-1)x+3k=0 為直線PQ的方程，即y=則直線PQ恒過定點(diǎn)

如圖2，因?yàn)锽M⊥PQ，所以點(diǎn)M的軌跡是以線段BN為直徑的圓（除去點(diǎn)B），其方程為0，即

圖2

點(diǎn)評本題由條件BP⊥BQ把問題轉(zhuǎn)化成為頂點(diǎn)斜率等積子弦問題，再利用“借切線法”解決，過程與例2 解法類似.

有一類頂點(diǎn)弦問題，雖然表面上不是圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦問題，但也可以將其轉(zhuǎn)化為這類模型解決.請看下面例子：

例4（2020 年全國卷Ⅰ理科第20 題）已知A、B分別為橢E:+y2=1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，=8，P為直線x=6 上的點(diǎn)，PA與E的另一個交點(diǎn)為C，PB與E的另一個交點(diǎn)為D.

圖3

⑴求E的方程；

⑵證明：直線CD過定點(diǎn).

點(diǎn)評此題雖然表面上看沒有明確給出斜率之和（或積）為定值的關(guān)系式，但通過計算構(gòu)造出了一個斜率之積為定值的式子kAC·kAD=-從而把問題轉(zhuǎn)化成了頂點(diǎn)斜率等積子弦問題，再用“借切線法”解決.此類頂點(diǎn)弦問題在歷年全國高考和競賽中多次出現(xiàn)，如2020 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽第12 題、2020 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)市級選拔賽第11 題、2018 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶預(yù)賽第9 題、2010 年江蘇省高考理科第18 題等等，同學(xué)們應(yīng)予以重視.

5 結(jié)束語

圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦問題的解法靈活多樣，本文介紹的“借切線法”為學(xué)生提供了一種新穎的解題視角，豐富了學(xué)生的解題思路，開拓了學(xué)生的解題視野.在圓錐曲線備考復(fù)習(xí)中優(yōu)化解題思路和簡化運(yùn)算過程始終是教師和學(xué)生所追求的目標(biāo)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在平時解題中多思考，勤動腦，多總結(jié)歸納，在數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).